Lógica probabilística

La lógica probabilística (también conocida como lógica de probabilidad y razonamiento probabilístico ) implica el uso de la probabilidad y la lógica para abordar situaciones inciertas. La lógica probabilística extiende las tablas de verdad de la lógica tradicional con expresiones probabilísticas. Una dificultad de las lógicas probabilísticas radica en su tendencia a multiplicar la complejidad computacional de sus componentes probabilísticos y lógicos. Otras dificultades incluyen la posibilidad de resultados contraintuitivos, como en el caso de la fusión de creencias en la teoría de Dempster-Shafer . La confianza en la fuente y la incertidumbre epistémica sobre las probabilidades que proporciona, tal como se define en la lógica subjetiva , son elementos adicionales a considerar. La necesidad de abordar una amplia variedad de contextos y problemas ha dado lugar a numerosas propuestas diferentes.

Existen numerosas propuestas de lógicas probabilísticas. A grandes rasgos, se pueden clasificar en dos categorías: aquellas lógicas que intentan extender la implicación lógica de forma probabilística , como las redes lógicas de Markov , y aquellas que intentan abordar los problemas de incertidumbre y falta de evidencia (lógicas evidenciales).

Que el concepto de probabilidad pueda tener diferentes significados puede entenderse al observar que, a pesar de la matematización de la probabilidad en la Ilustración , la teoría matemática de la probabilidad permanece, hasta el día de hoy, completamente sin uso en los tribunales penales, al evaluar la "probabilidad" de culpabilidad de un presunto delincuente. ^{[ 1 ]}

Más precisamente, en lógica probatoria, es necesario distinguir la verdad objetiva de una afirmación de nuestra decisión sobre la veracidad de dicha afirmación, la cual, a su vez, debe distinguirse de nuestra confianza en su veracidad. Así, la culpabilidad real de un sospechoso no es necesariamente la misma que la decisión del juez sobre su culpabilidad, la cual, a su vez, no es lo mismo que asignar una probabilidad numérica a la comisión del delito y decidir si supera un umbral numérico de culpabilidad. El veredicto sobre un solo sospechoso puede ser culpable o inocente con cierta incertidumbre, al igual que el resultado de lanzar una moneda puede predecirse como cara o cruz con cierta incertidumbre. Dada una gran cantidad de sospechosos, un cierto porcentaje puede ser culpable, al igual que la probabilidad de obtener cara es de un medio. Sin embargo, es incorrecto aplicar esta ley de promedios a un solo delincuente (o a un solo lanzamiento de moneda): el delincuente no es más "un poco culpable" que predecir que un solo lanzamiento de moneda será "un poco cara y un poco cruz": simplemente no estamos seguros de cuál es el resultado. Expresar la incertidumbre como una probabilidad numérica puede ser aceptable al realizar mediciones científicas de magnitudes físicas, pero no deja de ser un modelo matemático de la incertidumbre que percibimos en el contexto del razonamiento y la lógica del "sentido común". Al igual que en el razonamiento judicial, el objetivo de emplear la inferencia incierta es reunir pruebas para reforzar la confianza en una proposición, en lugar de realizar algún tipo de implicación probabilística.

Históricamente, los intentos de cuantificar el razonamiento probabilístico se remontan a la antigüedad. Hubo un interés particularmente fuerte a partir del siglo XII, con la obra de los escolásticos , con la invención de la prueba parcial (de modo que dos pruebas parciales son suficientes para probar la culpabilidad), la elucidación de la certeza moral (certeza suficiente para actuar, pero sin llegar a la certeza absoluta), el desarrollo del probabilismo católico (la idea de que siempre es seguro seguir las reglas doctrinales establecidas o la opinión de los expertos, incluso cuando son menos probables), el razonamiento basado en casos de la casuística y el escándalo del laxismo (por el cual se utilizó el probabilismo para respaldar casi cualquier afirmación, siendo posible encontrar una opinión experta que apoyara casi cualquier proposición). ^{[ 1 ]}

A continuación se presenta una lista de propuestas para extensiones probabilísticas y evidenciales a la lógica clásica y de predicados .

• El término " lógica probabilística " fue utilizado por primera vez por John von Neumann en una serie de conferencias de Caltech en 1952 y en el artículo de 1956 "Lógicas probabilísticas y la síntesis de organismos fiables a partir de componentes no fiables", y posteriormente en un artículo de Nils Nilsson publicado en 1986, donde los valores de verdad de las oraciones son probabilidades . ^{[ 2 ]} La generalización semántica propuesta induce una implicación lógica probabilística, que se reduce a una implicación lógica ordinaria cuando las probabilidades de todas las oraciones son 0 o 1. Esta generalización se aplica a cualquier sistema lógico para el cual se pueda establecer la consistencia de un conjunto finito de oraciones.
• Gaifman ^{[ 3 ]} y Snir ^{[ 4 ]} han desarrollado una unificación globalmente consistente y empíricamente satisfactoria de la teoría clásica de la probabilidad y la lógica de primer orden, adecuada para el razonamiento inductivo. Su teoría asigna probabilidades o grados de creencia a las oraciones consistentes con la base de conocimiento (probabilidad 1 para hechos y axiomas), consistentes con los axiomas de probabilidad estándar (Kolmogorov) y la deducción lógica , y permite el razonamiento inductivo ( bayesiano ) y el aprendizaje en el límite . Lo más importante es que, a diferencia de la mayoría de las propuestas alternativas, permite la confirmación de hipótesis cuantificadas universalmente . La teoría también se ha extendido a la lógica de orden superior. ^{[ 5 ]} Ambas soluciones son puramente teóricas, pero han generado aproximaciones prácticas. ^{[ 6 ]}
• El concepto central en la teoría de la lógica subjetiva ^{[ 7 ]} son ​​las opiniones sobre algunas de las variables proposicionales involucradas en las oraciones lógicas dadas. Una opinión binomial se aplica a una sola proposición y se representa como una extensión tridimensional de un único valor de probabilidad para expresar la incertidumbre probabilística y epistémica sobre la verdad de la proposición. Para el cálculo de opiniones derivadas basadas en una estructura de opiniones argumentativas, la teoría propone operadores respectivos para varios conectores lógicos, como por ejemplo la multiplicación ( AND ), la comultiplicación ( OR ), la división (UN-AND) y la codivisión (UN-OR) de opiniones, ^{[ 8 ]} la deducción condicional ( MP ) y la abducción ( MT ), ^{[ 9 ]} así como el teorema de Bayes . ^{[ 10 ]}
• El formalismo de razonamiento aproximado propuesto por la lógica difusa puede utilizarse para obtener una lógica en la que los modelos son las distribuciones de probabilidad y las teorías son las envolventes inferiores. ^{[ 11 ]} En dicha lógica, la cuestión de la consistencia de la información disponible está estrechamente relacionada con la coherencia de la asignación probabilística parcial y, por lo tanto, con el fenómeno del libro holandés .
• Las redes lógicas de Markov implementan una forma de inferencia incierta basada en el principio de máxima entropía : la idea de que las probabilidades deben asignarse de tal manera que se maximice la entropía, de forma análoga a la forma en que las cadenas de Markov asignan probabilidades a las transiciones de las máquinas de estados finitos .
• Sistemas como las Redes Lógicas Probabilísticas (PLN) de Ben Goertzel añaden una clasificación de confianza explícita, así como una probabilidad, a los átomos y las oraciones. Las reglas de deducción e inducción incorporan esta incertidumbre, sorteando así las dificultades de los enfoques puramente bayesianos de la lógica (incluida la lógica de Markov), al tiempo que evitan las paradojas de la teoría de Dempster-Shafer . La implementación de PLN intenta utilizar y generalizar algoritmos de programación lógica , sujetos a estas extensiones.
• En el campo de la argumentación probabilística , se han propuesto varios marcos formales. El marco de "etiquetados probabilísticos" ^{[ 12 ]} , por ejemplo, se refiere a espacios de probabilidad donde un espacio muestral es un conjunto de etiquetados de grafos de argumentación . En el marco de "sistemas de argumentación probabilística" ^{[ 13 ] [ 14 ],} las probabilidades no están directamente asociadas a argumentos o oraciones lógicas. En cambio, se supone que un subconjunto particular${\displaystyle W}$de las variables${\displaystyle V}$involucrado en las oraciones define un espacio de probabilidad sobre la sub- σ-álgebra correspondiente . Esto induce dos medidas de probabilidad distintas con respecto a${\displaystyle V}$, que se denominan grado de soporte y grado de posibilidad , respectivamente. Los grados de soporte pueden considerarse como probabilidades no aditivas de demostrabilidad , lo que generaliza los conceptos de implicación lógica ordinaria (para${\displaystyle V=\{\}}$) y probabilidades posteriores clásicas (para${\displaystyle V=W}$). Matemáticamente, esta visión es compatible con la teoría de Dempster-Shafer .
• La teoría del razonamiento evidencial ^{[ 15 ]} también define probabilidades no aditivas de probabilidad (o probabilidades epistémicas ) como una noción general tanto para la implicación lógica (demostrabilidad) como para la probabilidad . La idea es ampliar la lógica proposicional estándar considerando un operador epistémico K que representa el estado de conocimiento que un agente racional tiene sobre el mundo. Las probabilidades se definen entonces sobre el universo epistémico resultante K p de todas las proposiciones p , y se argumenta que esta es la mejor información disponible para un analista. Desde esta perspectiva, la teoría de Dempster-Shafer parece ser una forma generalizada de razonamiento probabilístico.

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• Progicnet : Lógica probabilística y redes probabilísticas
• demostraciones de lógica subjetiva
• La Sociedad de Probabilidad Imprecisa