Lógica blanda probabilística

Un programa PSL define una familia de modelos gráficos probabilísticos parametrizados por datos. Más específicamente, la familia de modelos gráficos que define pertenece a una clase especial de campo aleatorio de Markov conocido como campo de Markov de pérdida de bisagra (HL-MRF). Un HL-MRF determina una función de densidad sobre un conjunto de variables continuas.${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\cdots,y_{n})}$con dominio conjunto${\displaystyle [0,1]^{n}}$utilizando un conjunto de evidencia${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\cdots ,x_{m})}$pesos${\displaystyle \mathbf {w} =(w_{1},\cdots,w_{k})}$y funciones potenciales${\displaystyle \mathbf {\phi } =(\phi _{1},\cdots ,\phi _{k})}$de la forma${\displaystyle \mathbf {\phi _{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )} =\max(\ell _ {i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ),0)^{d_{i}}}$dónde${\displaystyle \ell _{i}}$es una función lineal y${\displaystyle d_{i}\in \{1,2\}}$. La distribución condicional de${\displaystyle \mathbf {y} }$dados los datos observados${\displaystyle \mathbf {x} }$se define como

${\displaystyle P(\mathbf {y} |\mathbf {x} )={\frac {1}{Z(\mathbf {y} )}}\exp(\sum _ {i=1}^{k}w_{i}\phi _ {i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ))}$

Dónde${\displaystyle Z(\mathbf {y} )=\int _{\mathbf {y} }\exp(\sum _{i=1}^{k}w_{i}\phi _{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ))}$es la función de partición. Esta densidad es una función logarítmicamente convexa y, por lo tanto, la tarea de inferencia común en PSL de encontrar una estimación a posteriori máxima del estado conjunto de${\displaystyle \mathbf {y} }$es un problema convexo. Esto permite que la inferencia en PSL se pueda lograr en tiempo polinomial.

En PSL, los predicados pueden etiquetarse como abiertos o cerrados.

Cuando un predicado se etiqueta como cerrado, PSL asume que existe un mundo cerrado : cualquier predicado que no se proporcione explícitamente a PSL se considera falso. En otras palabras, la suposición de mundo cerrado presupone que un predicado parcialmente verdadero también se sabe que es parcialmente verdadero. Por ejemplo, si tuviéramos las siguientes constantes en los datos para representar a las personas:${\displaystyle \{Alice,Bob\}}$y la siguiente constante para las películas:${\displaystyle \{Avatar\}}$y proporcionamos a PSL los datos del predicado.${\displaystyle \{rating(Alice,Avatar)=0.8\}}$y${\displaystyle rating(\cdot )}$Si se etiquetó como cerrado, entonces PSL asumiría que${\displaystyle \{rating(Bob,Avatar)=0\}}$aunque estos datos nunca se proporcionaron explícitamente al sistema.

Si un predicado está etiquetado como abierto, PSL no asume que se trata de un mundo cerrado. En cambio, PSL intentará inferir colectivamente las instancias no observadas.

Los datos se utilizan para instanciar varias funciones potenciales en un proceso llamado puesta a tierra. Las funciones potenciales resultantes se utilizan posteriormente para definir la HL-MRF.

La fundamentación de predicados en PSL es el proceso de realizar todas las sustituciones posibles de las variables en cada predicado con las constantes existentes en los datos, lo que da como resultado una colección de átomos fundamentales,${\displaystyle \mathbf {y} =\{y_{1},\cdots,y_{n}\}}$. Luego, se realizan todas las sustituciones posibles de los átomos básicos por los predicados en las reglas para crear reglas básicas.

Cada una de las reglas básicas se interpreta como potencial o restricción estricta en el HL-MRF inducido. Una regla lógica se traduce como una relajación continua de conectivos booleanos utilizando la lógica de Łukasiewicz . Una regla lógica básica se transforma en su forma normal disyuntiva . Sea${\displaystyle I^{+}}$sea ​​el conjunto de índices de las variables que corresponden a átomos que no están negados, y, asimismo,${\displaystyle I^{-}}$el conjunto de índices correspondientes a los átomos que se niegan, en la cláusula disyuntiva. Entonces la regla lógica se corresponde con la desigualdad:

${\displaystyle 1-\sum _{i\in I^{+}}y_{i}-\sum _{i\in I^{-}}(1-y_{i})\leq 0}$

Si la regla lógica está ponderada con un peso${\displaystyle w}$y exponencial con${\displaystyle d\in \{1,2\}}$, entonces el potencial

${\displaystyle \phi (\mathbf {y} )={\Big (}\max {\Big \{}1-\sum _{i\in I^{+}}y_{i}-\sum _{i\in I^{-}}(1-y_{i}),0{\Big \}}{\Big )}^{d}}$

se agrega al HL-MRF con un parámetro de ponderación de${\displaystyle w}$.

Se manipula una regla aritmética para${\displaystyle \ell (\mathbf {y} )\leq 0}$y el potencial resultante toma la forma${\displaystyle \phi (\mathbf {y} )=(\max\{\ell (\mathbf {y} ),0\})^{d}}$.