Lista de pruebas probabilísticas de teoremas no probabilísticos

La teoría de la probabilidad utiliza rutinariamente resultados de otros campos de las matemáticas (principalmente, análisis). Los casos opuestos, recogidos a continuación, son relativamente raros; sin embargo, la teoría de la probabilidad se utiliza sistemáticamente en combinatoria a través del método probabilístico . Se utilizan especialmente para demostraciones no constructivas .

• Existen números normales . Además, existen números normales computables . Estos teoremas de existencia no probabilísticos se deducen de resultados probabilísticos: (a) un número elegido al azar (uniformemente en (0,1)) es normal casi con seguridad (lo que se deduce fácilmente de la ley fuerte de los grandes números ); (b) algunas desigualdades probabilísticas detrás de la ley fuerte. La existencia de un número normal se deduce de (a) inmediatamente. La prueba de la existencia de números normales computables, basada en (b), implica argumentos adicionales. Todas las pruebas conocidas usan argumentos probabilísticos.
• El teorema de Dvoretzky , que establece que los cuerpos convexos de alta dimensión tienen porciones con forma de bola, se demuestra probabilísticamente. No se conoce ninguna construcción determinista, ni siquiera para muchos cuerpos específicos.
• El diámetro del compactum de Banach-Mazur se calculó mediante una construcción probabilística. No se conoce ninguna construcción determinista.
• La prueba original de que la desigualdad de Hausdorff-Young no se puede extender a es probabilística. La prueba del teorema de Leeuw-Kahane-Katznelson (que es una afirmación más sólida) es parcialmente probabilística. ^[1]${\displaystyle p>2}$
• La primera construcción de un conjunto de Salem fue probabilística. ^[2] Recién en 1981 Kaufman presentó una construcción determinista. ^[3]
• Toda función continua en un intervalo compacto puede aproximarse uniformemente mediante polinomios, lo que constituye el teorema de aproximación de Weierstrass . Una prueba probabilística utiliza la ley débil de los grandes números . Las pruebas no probabilísticas ya estaban disponibles anteriormente.
• La existencia de una función continua que no es derivable en ningún punto se deduce fácilmente de las propiedades del proceso de Wiener . Una prueba no probabilística ya estaba disponible.
• La fórmula de Stirling fue descubierta por primera vez por Abraham de Moivre en su obra La doctrina de las probabilidades (con una constante identificada posteriormente por Stirling) para su uso en la teoría de la probabilidad. En el siglo XX se encontraron varias pruebas probabilísticas de la fórmula de Stirling (y resultados relacionados). ^{[4] [5]}

• Las únicas funciones armónicas acotadas definidas en todo el plano son funciones constantes por el teorema de Liouville . Una prueba probabilística mediante el movimiento browniano n-dimensional es bien conocida. ^[6] Las pruebas no probabilísticas estaban disponibles anteriormente.
• Los valores de contorno no tangenciales ^[7] de una función analítica o armónica existen en casi todos los puntos de contorno de acotación no tangencial. Este resultado ( teorema de Privalov ), y varios resultados de este tipo, se deducen de la convergencia martingala . ^[8] Las demostraciones no probabilísticas estaban disponibles anteriormente.
• El principio de Harnack de contorno se demuestra utilizando el movimiento browniano ^[9] (véase también ^[10] ). Ya existían pruebas no probabilísticas.
• La suma de Basilea de Euler se puede demostrar considerando el tiempo de salida esperado del movimiento browniano planar desde una franja infinita. Se pueden deducir de manera similar otras identidades menos conocidas. ^[11]${\displaystyle \qquad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}},}$

• El teorema de Picard se puede demostrar utilizando las propiedades de bobinado del movimiento browniano planar. ^{[12] [13]}
• El hecho de que toda función de Lipschitz en la línea real es diferenciable casi en todas partes se puede demostrar utilizando la convergencia martingala .
• La fórmula de inversión de Fourier multidimensional se puede establecer mediante la ley débil de los grandes números y algunos resultados elementales del análisis complejo. ^[14]
• Abért y Weiss demostraron, mediante una construcción probabilística, que los desplazamientos de Bernoulli están contenidos débilmente (en el sentido de Kechris ) en cualquier acción libre que preserve la medida de un grupo discreto y contable en un espacio de probabilidad estándar. ^[15]

• Se han demostrado varios teoremas que establecen la existencia de grafos (y otras estructuras discretas) con propiedades deseadas mediante el método probabilístico . Existen pruebas no probabilísticas para algunos de ellos.
• La identidad de máximos-mínimos admite una prueba probabilística.
• Desigualdad de número de cruces que es un límite inferior en el número de cruces para cualquier dibujo de un gráfico en función del número de vértices y aristas que tiene el gráfico.

• El teorema fundamental del álgebra se puede demostrar utilizando el movimiento browniano bidimensional. ^[6] Las pruebas no probabilísticas estaban disponibles anteriormente.
• El teorema del índice para complejos elípticos se demuestra utilizando métodos probabilísticos ^[16] (en lugar de métodos de ecuación de calor). Una prueba no probabilística ya estaba disponible.

• Un límite suave es evidentemente bilateral, pero un límite no suave (especialmente, fractal) puede ser bastante complicado. Se conjeturó que era bilateral en el sentido de que la proyección natural del límite de Martin ^[17] al límite topológico es como máximo de 2 a 1 casi en todas partes. ^[18] Esta conjetura se demuestra utilizando el movimiento browniano , el tiempo local , la integración estocástica , el acoplamiento , la hipercontractividad, etc. ^[19] (véase también ^[20] ). Una prueba no probabilística se encuentra 18 años después. ^[21]
• La desigualdad del toro de Loewner relaciona el área de una superficie compacta (topológicamente, un toro) con su sístole . Se puede demostrar más fácilmente utilizando la noción probabilística de varianza . ^[22] Una prueba no probabilística estaba disponible anteriormente.
• El teorema del semiespacio débil para superficies mínimas establece que cualquier superficie mínima completa de curvatura acotada que no sea un plano no está contenida en ningún semiespacio. Este teorema se demuestra utilizando un acoplamiento entre movimientos brownianos en superficies mínimas. ^[23] Una prueba no probabilística ya estaba disponible.

• El teorema del número normal (1909), debido a Émile Borel , podría ser uno de los primeros ejemplos del método probabilístico , proporcionando la primera prueba de existencia de los números normales, con la ayuda de la primera versión de la ley fuerte de los grandes números (véase también el primer punto de la sección Análisis).
• Las identidades de Rogers-Ramanujan se prueban utilizando cadenas de Markov . ^[24] Una prueba no probabilística estaba disponible anteriormente.

• La dinámica no conmutativa (también llamada dinámica cuántica) se formula en términos de álgebras de von Neumann y productos tensoriales continuos de espacios de Hilbert . ^[25] Varios resultados (por ejemplo, un continuo de modelos mutuamente no isomorfos) se obtienen por medios probabilísticos ( conjuntos compactos aleatorios y movimiento browniano ). ^{[26] [27]} Una parte de esta teoría (los llamados sistemas de tipo III) se traduce al lenguaje analítico ^[28] y se está desarrollando analíticamente; ^[29] la otra parte (los llamados sistemas de tipo II) existe todavía solo en el lenguaje probabilístico.
• Los estados cuánticos tripartitas pueden dar lugar a violaciones arbitrarias de las desigualdades de Bell ^[30] (en marcado contraste con el caso bipartito). La prueba utiliza matrices unitarias aleatorias. No hay otra prueba disponible.

• La prueba del teorema de codificación de canal de Shannon utiliza codificación aleatoria para demostrar la existencia de un código que logra la capacidad del canal .

• Método probabilístico

• Pruebas probabilísticas de hechos analíticos en MathOverflow