colector cerrado

En matemáticas , una variedad cerrada es una variedad sin frontera que es compacta . En comparación, una variedad abierta es una variedad sin frontera que solo tiene componentes no compactas .

El único ejemplo unidimensional conexo es un círculo . La esfera , el toro y la botella de Klein son variedades bidimensionales cerradas. El espacio proyectivo real RP ⁿ es una variedad n -dimensional cerrada. El espacio proyectivo complejo CP ⁿ es una variedad 2 n -dimensional cerrada . ^{[ 1 ]} Una línea no es cerrada porque no es compacta. Un disco cerrado es una variedad bidimensional compacta, pero no es cerrado porque tiene un borde.

Toda variedad cerrada es una retracción de vecindad euclidiana y, por lo tanto, tiene grupos de homología generados finitamente. ^{[ 2 ]}

Si${\displaystyle M}$es una n-variedad cerrada y conexa, el n-ésimo grupo de homología${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$es${\displaystyle \mathbb {Z} }$o 0 dependiendo de si${\displaystyle M}$es orientable o no. ^{[ 3 ]} Además, el subgrupo de torsión del grupo de homología (n-1)-ésimo${\displaystyle H_{n-1}(M;\mathbb {Z} )}$es 0 o${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$dependiendo de si${\displaystyle M}$es orientable o no. Esto se deduce de una aplicación del teorema del coeficiente universal . ^{[ 4 ]}

Dejar${\displaystyle R}$sea ​​un anillo conmutativo.${\displaystyle R}$-orientable${\displaystyle M}$con clase fundamental${\displaystyle [M]\in H_{n}(M;R)}$, el mapa${\displaystyle D:H^{k}(M;R)\to H_{nk}(M;R)}$definido por${\displaystyle D(\alpha )=[M]\cap \alpha }$es un isomorfismo para todo k. Esta es la dualidad de Poincaré . ^{[ 5 ]} En particular, toda variedad cerrada es${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$-orientable. Por lo tanto, siempre existe un isomorfismo. ${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\cong H_{nk}(M;\mathbb {Z} _{2})}$.

Para una variedad conexa, "abierta" equivale a "sin frontera y no compacta", pero para una variedad disconexa, "abierta" es más fuerte. Por ejemplo, la unión disjunta de un círculo y una línea no es compacta, ya que una línea no es compacta, pero esto no es una variedad abierta, puesto que el círculo (uno de sus componentes) es compacto.

La mayoría de los libros definen una variedad como un espacio que, localmente, es homeomorfo al espacio euclidiano (junto con otras condiciones técnicas). Por lo tanto, según esta definición, una variedad no incluye su frontera cuando está incrustada en un espacio mayor. Sin embargo, esta definición no abarca algunos objetos básicos, como un disco cerrado , por lo que a veces los autores definen una variedad con frontera y, erróneamente, la denominan simplemente "variedad " sin hacer referencia a ella. No obstante, normalmente, una variedad compacta (compacta con respecto a su topología subyacente) puede usarse indistintamente para referirse a una variedad cerrada si se utiliza la definición habitual de variedad.

La noción de variedad cerrada no guarda relación con la de conjunto cerrado . Una recta es un subconjunto cerrado del plano y es una variedad, pero no una variedad cerrada.

La noción de un " universo cerrado " puede referirse a que el universo sea una variedad cerrada, pero es más probable que se refiera a que el universo sea una variedad de curvatura de Ricci positiva constante .

• Colector domesticado

• Michael Spivak : Introducción completa a la geometría diferencial. Volumen 1. 3.ª edición con correcciones. Publish or Perish, Houston, TX, 2005, ISBN 0-914098-70-5.
• Allen Hatcher , Topología algebraica. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.