Flujo potencial

En dinámica de fluidos , el flujo potencial o flujo irrotacional se refiere al flujo idealizado y sin fricción de un fluido. De esta manera se visualizan dos tipos de flujos:

El flujo de un fluido no viscoso
El flujo de un fluido de baja viscosidad en regiones que no contienen una capa límite . Véase la hipótesis de Prandtl .

El flujo potencial describe el campo de velocidad como el gradiente de una función escalar: el potencial de velocidad . En consecuencia, un flujo potencial se caracteriza por un campo de velocidad irrotacional , lo cual constituye una aproximación válida para diversas aplicaciones. La irrotacionalidad de un flujo potencial se debe a que el rotacional del gradiente de un escalar siempre es igual a cero.

En el caso de un flujo incompresible, el potencial de velocidad satisface la ecuación de Laplace y se puede aplicar la teoría del potencial . Sin embargo, los flujos potenciales también se han utilizado para describir flujos compresibles y flujos de Hele-Shaw . El enfoque del flujo potencial se emplea en la modelización de flujos tanto estacionarios como no estacionarios. Entre las aplicaciones del flujo potencial se incluyen: el campo de flujo externo para perfiles aerodinámicos , las olas de agua , el flujo electroosmótico y el flujo de agua subterránea .

Una región que contiene fuerzas de fricción (descritas como fuerzas de corte y fuerzas viscosas) puede describirse como una región que contiene vorticidad . Para flujos (o partes de ellos) con fuertes efectos de vorticidad, la aproximación de flujo potencial no es aplicable. En regiones de flujo donde se sabe que la vorticidad es importante, como estelas y capas límite , la teoría del flujo potencial no puede proporcionar predicciones razonables del flujo. ^{[ 1 ]} Sin embargo, a menudo existen grandes regiones de un flujo en las que la suposición de irrotacionalidad es válida, lo que permite el uso del flujo potencial para diversas aplicaciones; estas incluyen el flujo alrededor de aeronaves , el flujo de agua subterránea , la acústica , las olas de agua y el flujo electroosmótico . ^{[ 2 ]}

Descripción y características

En flujo potencial o irrotacional, el campo vectorial de vorticidad es cero, es decir,

${\boldsymbol {\omega }}\equiv \nabla \times \mathbf {v} =0,$

dónde $\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)$ es el campo de velocidad y ${\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ,t)$ es el campo de vorticidad . Como cualquier campo vectorial con rotacional cero, el campo de velocidad puede expresarse como el gradiente de cierto escalar, por ejemplo $\varphi (\mathbf {x} ,t)$ que se denomina potencial de velocidad , puesto que el rotacional del gradiente es siempre cero. Por lo tanto, tenemos ^{[ 3 ]}

$\mathbf {v} =\nabla \varphi .$

El potencial de velocidad no está definido de forma única, ya que se le puede añadir una función arbitraria del tiempo, por ejemplo. $f(t)$ , sin afectar la cantidad física relevante que es $\mathbf {v}$ . La no unicidad se elimina generalmente seleccionando adecuadamente las condiciones iniciales o de contorno apropiadas que satisfacen $\varphi$ y, por lo tanto, el procedimiento puede variar de un problema a otro.

En flujo potencial, la circulación $\Gamma$ alrededor de cualquier contorno simplemente conectado $C$ es cero. Esto se puede demostrar utilizando el teorema de Stokes ,

$\Gamma \equiv \oint _ {C}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {l} =\int {\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {f} =0$

dónde $d\mathbf {l}$ es el elemento de línea en el contorno y $d\mathbf {f}$ es el elemento de área de cualquier superficie delimitada por el contorno. En el espacio multiplemente conectado (por ejemplo, alrededor de un contorno que encierra un cuerpo sólido en dos dimensiones o alrededor de un contorno que encierra un toroide en tres dimensiones) o en presencia de vórtices concentrados (por ejemplo, en los llamados vórtices irrotacionales o vórtices puntuales, o en anillos de humo), la circulación $\Gamma$ no tiene por qué ser cero. En el primer caso, el teorema de Stokes no se puede aplicar y en el segundo caso, ${\boldsymbol {\omega }}$ es distinto de cero dentro de la región delimitada por el contorno. Alrededor de un contorno que rodea un cilindro sólido infinitamente largo con el que el contorno se enrolla $N$ veces, tenemos

$\Gamma =N\kappa$

dónde $\kappa$ es una constante cíclica. Este ejemplo pertenece a un espacio doblemente conexo. En un $n$ -espacio totalmente conectado, hay $n-1$ tales constantes cíclicas, a saber, $\kappa _{1},\kappa _{2},\dots,\kappa _{n-1}.$

Flujo incompresible

En el caso de un flujo incompresible —por ejemplo, de un líquido o un gas a bajos números de Mach ; pero no para ondas sonoras— la velocidad $v$ tiene divergencia cero : ^{[ 3 ]}

$\nabla \cdot \mathbf {v} =0\,,$

Sustituyendo aquí $\mathbf {v} =\nabla \varphi$ muestra que $\varphi$ satisface la ecuación de Laplace ^{[ 3 ]}

$\nabla ^{2}\varphi =0\,,$

donde $\nabla 2 = \nabla \cdot \nabla$ es el operador de Laplace (a veces también escrito $Δ$ ). Dado que las soluciones de la ecuación de Laplace son funciones armónicas , cada función armónica representa una solución de flujo potencial. Como es evidente, en el caso incompresible, el campo de velocidad se determina completamente a partir de su cinemática : las suposiciones de irrotacionalidad y divergencia cero del flujo. La dinámica en conexión con las ecuaciones de momento, solo debe aplicarse posteriormente, si uno está interesado en calcular el campo de presión: por ejemplo para el flujo alrededor de perfiles aerodinámicos mediante el uso del principio de Bernoulli .

En flujos incompresibles, contrariamente a la idea errónea común, el flujo potencial sí satisface las ecuaciones completas de Navier-Stokes , no solo las ecuaciones de Euler , debido al término viscoso.

$\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} =\mu \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mu \nabla \times {\boldsymbol {\omega }}=0$

es idénticamente cero. La incapacidad del flujo potencial para satisfacer las condiciones de contorno requeridas, especialmente cerca de los límites sólidos, lo invalida para representar el campo de flujo necesario. Si el flujo potencial satisface las condiciones necesarias, entonces es la solución requerida de las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles.

En dos dimensiones, con la ayuda de la función armónica $\varphi$ y su función armónica conjugada $\psi$ (función de corriente), el flujo potencial incompresible se reduce a un sistema muy simple que se analiza utilizando análisis complejo (ver más abajo).

Flujo compresible

flujo constante

La teoría del flujo potencial también se puede utilizar para modelar el flujo compresible irrotacional. La derivación de la ecuación gobernante para $\varphi$ La ecuación de Euler es bastante sencilla. Las ecuaciones de continuidad y de momento (de flujo potencial) para flujos estacionarios vienen dadas por

$\rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0,\quad (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\nabla \rho$

donde la última ecuación se deduce del hecho de que la entropía es constante para una partícula fluida y que el cuadrado de la velocidad del sonido es $c^{2}=(\partial p/\partial \rho )_{s}$ . Eliminando $\nabla \rho$ de las dos ecuaciones gobernantes resulta en

$c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =0.$

La versión incompresible surge en el límite $c\to \infty$ Sustituyendo aquí $\mathbf {v} =\nabla \varphi$ resultados en ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

$(c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx})=0$

dónde $c=c(v)$ se expresa como una función de la magnitud de la velocidad $v^{2}=(\nabla \phi )^{2}$ . Para un gas politrópico , $c^{2}=(\gamma -1)(h_{0}-v^{2}/2)$ , dónde $\gamma$ es la relación de calores específicos y $h_{0}$ es la entalpía de estancamiento . En dos dimensiones, la ecuación se simplifica a

$(c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}-2\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}=0.$

Validez: Tal como está planteada, la ecuación es válida para cualquier flujo potencial no viscoso, independientemente de si el flujo es subsónico o supersónico (por ejemplo, el flujo de Prandtl-Meyer ). Sin embargo, en flujos supersónicos y también transónicos, pueden producirse ondas de choque que introducen entropía y vorticidad en el flujo, haciéndolo rotacional. No obstante, existen dos casos en los que el flujo potencial prevalece incluso en presencia de ondas de choque, los cuales se explican a partir de la ecuación de momento (no necesariamente potencial) escrita de la siguiente forma:

$\nabla (h+v^{2}/2)-\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=T\nabla s$

dónde $h$ es la entalpía específica , ${\boldsymbol {\omega }}$ es el campo de vorticidad , $T$ es la temperatura y $s$ es la entropía específica. Dado que delante de la onda de choque principal tenemos un flujo potencial, la ecuación de Bernoulli muestra que $h+v^{2}/2$ es constante, que también es constante a través de la onda de choque ( condiciones de Rankine-Hugoniot ) y por lo tanto podemos escribir ^{[ 4 ]}

$\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=-T\nabla s$

1) Cuando la onda de choque tiene una intensidad constante, la discontinuidad de entropía a través de la onda de choque también es constante, es decir, $\nabla s=0$ y por lo tanto la producción de vorticidad es cero. Las ondas de choque en el borde de ataque puntiagudo de una cuña bidimensional o un cono tridimensional ( flujo de Taylor-Maccoll ) tienen intensidad constante. 2) Para ondas de choque débiles, el salto de entropía a través de la onda de choque es una magnitud de tercer orden en términos de la fuerza de la onda de choque y por lo tanto $\nabla s$ pueden ser ignoradas. Las ondas de choque en cuerpos delgados son casi paralelas al cuerpo y son débiles.

Flujos casi paralelos: Cuando el flujo es predominantemente unidireccional con pequeñas desviaciones, como en el flujo alrededor de cuerpos delgados, la ecuación completa se puede simplificar aún más. Sea $U\mathbf {e} _{x}$ Sea la corriente principal y considere pequeñas desviaciones de este campo de velocidad. El potencial de velocidad correspondiente se puede escribir como $\varphi =xU+\phi$ dónde $\phi$ caracteriza la pequeña desviación del flujo uniforme y satisface la versión linealizada de la ecuación completa. Esto viene dado por

$(1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0$

dónde $M=U/c_{\infty }$ es el número de Mach constante correspondiente al flujo uniforme. Esta ecuación es válida siempre que $M$ no está cerca de la unidad. Cuando $|M-1|$ es pequeño (flujo transónico), tenemos la siguiente ecuación no lineal ^{[ 4 ]}

$2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}$

dónde $\alpha _{*}$ es el valor crítico de la derivada de Landau $\alpha =(c^{4}/2\upsilon ^{3})(\partial ^{2}\upsilon /\partial p^{2})_{s}$ ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} y $\upsilon =1/\rho$ es el volumen específico . El flujo transónico se caracteriza completamente por un único parámetro. $\alpha _{*}$ , que para un gas politrópico toma el valor $\alpha _{*}=\alpha =(\gamma +1)/2$ . Bajo la transformación del hodógrafo , la ecuación transónica en dos dimensiones se convierte en la ecuación de Euler-Tricomi .

Flujo inestable

Las ecuaciones de continuidad y de momento (de flujo potencial) para flujos no estacionarios vienen dadas por

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0,\quad {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\nabla \rho =-\nabla h.$

La primera integral de la ecuación de momento (de flujo potencial) viene dada por

${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {v^{2}}{2}}+h=f(t),\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial h}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial v^{2}}{\partial t}}+{\frac {df}{dt}}$

dónde $f(t)$ es una función arbitraria. Sin pérdida de generalidad, podemos establecer $f(t)=0$ desde $\varphi$ no está definido de forma única. Combinando estas ecuaciones, obtenemos

${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial v^{2}}{\partial t}}=c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} .$

Sustituyendo aquí $\mathbf {v} =\nabla \varphi$ resultados en

$\varphi _{tt}+(\varphi _{x}^{2}+\varphi _{y}^{2}+\varphi _{z}^{2})_{t}=(c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx}).$

Flujos casi paralelos: Como antes, para flujos casi paralelos, podemos escribir (después de introducir un tiempo reescalado) $\tau =c_{\infty }t$ )

${\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+2M{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=(1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}$

siempre que el número de Mach sea constante $M$ no está cerca de la unidad. Cuando $|M-1|$ es pequeño (flujo transónico), tenemos la siguiente ecuación no lineal ^{[ 4 ]}

${\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=-2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}.$

Ondas sonoras: En las ondas sonoras, la magnitud de la velocidad $v$ (o el número de Mach) es muy pequeño, aunque el término transitorio ahora es comparable a los otros términos principales de la ecuación. Por lo tanto, despreciando todos los términos cuadráticos y de orden superior y observando que en la misma aproximación, $c$ es una constante (por ejemplo, en gases politrópicos) $c^{2}=(\gamma -1)h_{0}$ ), tenemos ^{[ 8 ]}^{[ 4 ]}

${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\varphi ,$

que es una ecuación de onda lineal para el potencial de velocidad $φ$ . Nuevamente, la parte oscilatoria del vector de velocidad $v$ está relacionada con el potencial de velocidad mediante $v = \nabla φ$ , mientras que, como antes , $Δ$ es el operador de Laplace y $c$ es la velocidad media del sonido en el medio homogéneo . Nótese que también las partes oscilatorias de la presión $p$ y la densidad $ρ$ satisfacen individualmente la ecuación de onda, en esta aproximación.

Aplicabilidad y limitaciones

El flujo potencial no incluye todas las características de los flujos que se encuentran en el mundo real. La teoría del flujo potencial no se puede aplicar a flujos internos viscosos , ^{[ 1 ]} excepto para flujos entre placas muy próximas . Richard Feynman consideró que el flujo potencial era tan poco físico que el único fluido que obedecía las suposiciones era "agua seca" (citando a John von Neumann ). ^{[ 9 ]} El flujo potencial incompresible también hace una serie de predicciones inválidas, como la paradoja de d'Alembert , que afirma que la resistencia sobre cualquier objeto que se mueve a través de un fluido infinito que por lo demás está en reposo es cero. ^{[ 10 ]} Más precisamente, el flujo potencial no puede explicar el comportamiento de los flujos que incluyen una capa límite . ^{[ 1 ]} Sin embargo, comprender el flujo potencial es importante en muchas ramas de la mecánica de fluidos. En particular, los flujos potenciales simples (llamados flujos elementales ) como el vórtice libre y la fuente puntual poseen soluciones analíticas listas. Estas soluciones se pueden superponer para crear flujos más complejos que satisfacen una variedad de condiciones de contorno. Estos flujos se corresponden estrechamente con los flujos de la vida real en toda la mecánica de fluidos; Además, surgen muchas ideas valiosas al considerar la desviación (a menudo leve) entre un flujo observado y el flujo potencial correspondiente. El flujo potencial encuentra muchas aplicaciones en campos como el diseño de aeronaves. Por ejemplo, en dinámica de fluidos computacional , una técnica consiste en acoplar una solución de flujo potencial fuera de la capa límite con una solución de las ecuaciones de la capa límite dentro de la capa límite. La ausencia de efectos de la capa límite significa que cualquier línea de corriente puede ser reemplazada por un límite sólido sin cambiar el campo de flujo, una técnica utilizada en muchos enfoques de diseño aerodinámico. Otra técnica sería el uso de sólidos de Riabouchinsky .

Análisis para flujo incompresible bidimensional

El flujo potencial en dos dimensiones se analiza fácilmente mediante transformaciones conformes , utilizando transformaciones del plano complejo . Sin embargo, no se requiere el uso de números complejos, como por ejemplo en el análisis clásico del flujo de fluidos alrededor de un cilindro. No es posible resolver un flujo potencial en tres dimensiones utilizando números complejos . ^{[ 11 ]}

La idea básica consiste en utilizar una función holomorfa (también llamada analítica ) o meromorfa $f$ , que mapea el dominio físico $($ $x$ $,$ $y$ $)$ al dominio transformado $($ $φ$ $,$ $ψ$ $)$ . Si bien $x$ , $y$ , $φ$ y $ψ$ son todos valores reales , resulta conveniente definir las cantidades complejas.

${\begin{aligned}z&=x+iy\,,{\text{ and }}&w&=\varphi +i\psi \,.\end{aligned}}$

Ahora, si escribimos la aplicación $f$ como ^{[ 11 ]}

${\begin{aligned}f(x+iy)&=\varphi +i\psi \,,{\text{ or }}&f(z)&=w\,.\end{aligned}}$

Entonces, debido a que $f$ es una función holomorfa o meromorfa, tiene que satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann ^{[ 11 ].}

${\begin{aligned}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}&={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,,&{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}&=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.\end{aligned}}$

Las componentes de velocidad $(u, v)$ , en las direcciones $(x, y)$ respectivamente, se pueden obtener directamente de $f$ derivando con respecto a $z$ . Es decir ^{[ 11 ]}

${\frac {df}{dz}}=u-iv$

Así pues, el campo de velocidad $v = (u, v)$ se especifica mediante ^{[ 11 ].}

${\begin{aligned}u&={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},&v&={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.\end{aligned}}$

Entonces, tanto $φ$ como $ψ$ satisfacen la ecuación de Laplace : ^{[ 11 ]}

${\begin{aligned}\Delta \varphi &={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}=0\,,{\text{ and }}&\Delta \psi &={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=0\,.\end{aligned}}$

Así, $φ$ se puede identificar como el potencial de velocidad y $ψ$ se denomina función de corriente . ^{[ 11 ]} Las líneas de $ψ$ constante se conocen como líneas de corriente y las líneas de $φ$ constante se conocen como líneas equipotenciales (véase superficie equipotencial ).

Las líneas de corriente y las líneas equipotenciales son ortogonales entre sí, ya que ^{[ 11 ]}

$\nabla \varphi \cdot \nabla \psi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}=0\,.$

Así, el flujo se produce a lo largo de las líneas de $ψ$ constante y en ángulo recto con respecto a las líneas de $φ$ constante . ^{[ 11 ]}

También se satisface $Δ$ $ψ$ $= 0 , siendo esta relación equivalente a$ $\nabla \times v = 0.$ Por lo tanto, el flujo es irrotacional. La condición automática $⁠ \partial 2 ψ / \partial x \partial y ⁠ = ⁠ \partial 2 ψ / \partial y \partial x ⁠$ da entonces la restricción de incompresibilidad $\nabla \cdot v = 0$ .

Ejemplos de flujos incompresibles bidimensionales

Cualquier función diferenciable puede utilizarse para $f$ . Los ejemplos que siguen emplean diversas funciones elementales ; también pueden utilizarse funciones especiales . Cabe destacar que pueden utilizarse funciones multivaluadas, como el logaritmo natural , pero la atención debe limitarse a una única superficie de Riemann .

Leyes de potencia

Ejemplos de transformaciones conformes para la ley de potencias

w = Az n

Ejemplos de mapas conformes para la ley de potencia

w = Az n

, para diferentes valores de la potencia

n

. Se muestra el plano

z

, mostrando líneas de potencial constante

φ

y función de corriente

ψ

, mientras que

w = φ + iψ

.

En caso de que se aplique el siguiente mapeo conforme de ley de potencias , de $z = x + iy$ a $w = φ + iψ$ : ^{[ 12 ]}

$w=Az^{n}\,,$

Entonces, escribiendo $z$ en coordenadas polares como $z = x + iy = re iθ$ , tenemos ^{[ 12 ]}

$\varphi =Ar^{n}\cos n\theta \qquad {\text{and}}\qquad \psi =Ar^{n}\sin n\theta \,.$

En las figuras de la derecha se muestran ejemplos para varios valores de $n$ . La línea negra representa el límite del flujo, mientras que las líneas azul oscuro son líneas de corriente y las líneas azul claro son líneas equipotenciales. Algunos exponentes interesantes de $n$ son: ^{[ 12 ]}

$n = 1 / 2 : esto corresponde al flujo alrededor de$ una placa semiinfinita,
$n = ⁠ 2 / 3 ⁠$ : flujo alrededor de una esquina derecha,
$n = 1$ : un caso trivial de flujo uniforme,
$n = 2$ : flujo a través de una esquina, o cerca de un punto de estancamiento, y
$n = -1$ : flujo debido a un doblete de fuentes

La constante $A$ es un parámetro de escala: su valor absoluto $| A |$ determina la escala, mientras que su argumento $arg(A)$ introduce una rotación (si no es cero).

Leyes de potencia con $n = 1$ : flujo uniforme

Si $w = Az 1$ , es decir, una ley de potencias con $n = 1$ , las líneas de corriente (es decir, líneas de $ψ$ constante ) son un sistema de líneas rectas paralelas al eje $x$ . Esto se ve más fácilmente escribiendo en términos de componentes reales e imaginarias:

$f(x+iy)=A\,(x+iy)=Ax+iAy$

de esta forma se obtiene $φ = Ax$ y $ψ = Ay$ . Este flujo puede interpretarse como un flujo uniforme paralelo al eje $x$ .

Leyes de potencia con $n = 2$

Si $n = 2$ , entonces $w = Az 2$ y la línea de corriente correspondiente a un valor particular de $ψ$ son aquellos puntos que satisfacen

$\psi =Ar^{2}\sin 2\theta \,,$

que es un sistema de hipérbolas rectangulares . Esto se puede ver reescribiendo nuevamente en términos de componentes reales e imaginarias. Observando que $sen 2 θ = 2 sen θ cos θ$ y reescribiendo $sen θ = ⁠ y / r ⁠$ y $cos θ = ⁠ x / r ⁠$ se ve (al simplificar) que las líneas de corriente vienen dadas por

$\psi =2Axy\,.$

El campo de velocidad viene dado por $\nabla φ$ , o

${\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\[2px]{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\partial \psi \over \partial y}\\[2px]-{\partial \psi \over \partial x}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+2Ax\\[2px]-2Ay\end{pmatrix}}\,.$

En dinámica de fluidos, el campo de flujo cerca del origen corresponde a un punto de estancamiento . Nótese que el fluido en el origen está en reposo (esto se deduce de la diferenciación de $f (z) = z²$ en $z = 0$ ). La línea de corriente $ψ = 0$ es particularmente interesante: tiene dos (o cuatro) ramas que siguen los ejes de coordenadas, es decir, $x$ $= 0$ e $y = 0.$ Como no fluye fluido a través del eje $x$ , este puede tratarse como un límite sólido. Por lo tanto $,$ es posible ignorar el flujo en el semiplano inferior donde $y < 0$ y centrarse en el flujo en el semiplano superior. Con esta interpretación, el flujo es el de un chorro dirigido verticalmente que incide sobre una placa plana horizontal. El flujo también puede interpretarse como un flujo hacia una esquina de 90 grados si se ignoran las regiones especificadas por (por ejemplo) $x, y < 0$ .

Leyes de potencia con $n = 3$

Si $n = 3$ , el flujo resultante es una especie de versión hexagonal del caso $n = 2$ considerado anteriormente. Las líneas de corriente vienen dadas por $ψ = 3 x 2 y - y 3$ y el flujo en este caso puede interpretarse como un flujo hacia una esquina de 60°.

Leyes de potencia con $n = -1$ : doblete

Si $n = -1$ , las líneas de corriente vienen dadas por

$\psi =-{\frac {A}{r}}\sin \theta .$

Esto se interpreta más fácilmente en términos de componentes reales e imaginarios: ${\begin{aligned}\psi ={\frac {-Ay}{r^{2}}}&={\frac {-Ay}{x^{2}+y^{2}}}\,,\\x^{2}+y^{2}+{\frac {Ay}{\psi }}&=0\,,\\x^{2}+\left(y+{\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}&=\left({\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}\,.\end{aligned}}$

Así, las líneas de corriente son círculos tangentes al eje x en el origen. Los círculos en el semiplano superior fluyen en sentido horario, mientras que los del semiplano inferior fluyen en sentido antihorario. Nótese que las componentes de la velocidad son proporcionales a $r -2$ ; y sus valores en el origen son infinitos. Este patrón de flujo se suele denominar doblete o dipolo , y puede interpretarse como la combinación de un par fuente-sumidero de fuerza infinita mantenido a una distancia infinitesimalmente pequeña. El campo de velocidad viene dado por

$(u,v)=\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}},-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)=\left(A{\frac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}},-A{\frac {2xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\right)\,.$

o en coordenadas polares:

$(u_{r},u_{\theta })=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)=\left(-{\frac {A}{r^{2}}}\cos \theta ,-{\frac {A}{r^{2}}}\sin \theta \right)\,.$

Leyes de potencia con $n = -2$ : cuadrupolo

Si $n = -2$ , las líneas de corriente vienen dadas por

$\psi =-{\frac {A}{r^{2}}}\sin 2\theta \,.$

Este es el campo de flujo asociado a un cuadrupolo . ^{[ 13 ]}

Fuente y sumidero lineal

Una fuente o sumidero lineal de fuerza $Q$ ( $Q>0$ para fuente y $Q<0$ (para el sumidero) viene dado por el potencial

$w={\frac {Q}{2\pi }}\ln z$

dónde $Q$ De hecho, es el flujo volumétrico por unidad de longitud a través de una superficie que encierra la fuente o el sumidero. El campo de velocidad en coordenadas polares es

$u_{r}={\frac {Q}{2\pi r}},\quad u_{\theta }=0$

es decir, un flujo puramente radial.

Vórtice lineal

Un vórtice lineal de fuerza $\Gamma$ es dado por

$w={\frac {\Gamma }{2\pi i}}\ln z$

dónde $\Gamma$ es la circulación alrededor de cualquier contorno cerrado simple que encierra el vórtice. El campo de velocidad en coordenadas polares es

$u_{r}=0,\quad u_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}$

es decir, un flujo puramente azimutal.

Análisis de flujos incompresibles tridimensionales

Para flujos tridimensionales, no se puede obtener un potencial complejo.

Fuente puntual y sumidero

El potencial de velocidad de una fuente puntual o sumidero de fuerza $Q$ ( $Q>0$ para fuente y $Q<0$ para el sumidero) en coordenadas polares esféricas viene dado por

$\phi =-{\frac {Q}{4\pi r}}$

dónde $Q$ De hecho, es el flujo volumétrico a través de una superficie cerrada que encierra la fuente o el sumidero. El campo de velocidad en coordenadas polares esféricas es

$u_{r}={\frac {Q}{4\pi r^{2}}},\quad u_{\theta }=0,\quad u_{\phi }=0.$

Véase también

Notas

1 2 3 Batchelor (1973) págs. 378–380.
↑ Kirby, BJ (2010), Mecánica de fluidos a micro y nanoescala: Transporte en dispositivos microfluídicos. , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-11903-0
1 2 3 Batchelor (1973) págs. 99–101.
1 2 3 4 5 Landau, LD; Lifshitz, EM (2013). "114". Mecánica de fluidos . Landau y Lifshitz: Curso de física teórica. Vol. 6. Elsevier. pág. 436.
↑ Anderson, JD (2002). Flujo compresible moderno . McGraw-Hill. págs. 358–359 . ISBN 0-07-242443-5.
↑ 1942, Landau, LD "Sobre las ondas de choque" J. Phys. USSR 6 229-230
↑ Thompson, PA (1971). Una derivada fundamental en dinámica de gases. The Physics of Fluids, 14(9), 1843-1849.
↑ Lamb (1994) §287, pp. 492–495.
↑ Feynman, RP ; Leighton, RB ; Sands, M. (1964), The Feynman Lectures on Physics , vol. 2, Addison-Wesley , pág. 40-3. El capítulo 40 tiene el título: El flujo del agua seca .
↑ Batchelor (1973) págs. 404–405.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Batchelor (1973) págs. 106–108.
1 2 3 Batchelor (1973) págs. 409–413.
↑ Kyrala, A. (1972). Funciones aplicadas de una variable compleja . Wiley-Interscience. págs. 116–117 . ISBN 9780471511298.

Referencias

Batchelor, GK (1973), Introducción a la dinámica de fluidos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-09817-3
Chanson, H. (2009), Hidrodinámica aplicada: Introducción a los flujos de fluidos ideales y reales , CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Países Bajos, 478 páginas, ISBN 978-0-415-49271-3
Lamb, H. (1994) [1932], Hidrodinámica (6.ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9
Milne-Thomson, LM (1996) [1968], Hidrodinámica teórica (5.ª ed.), Dover, ISBN 0-486-68970-0

Lecturas adicionales

Chanson, H. (2007), "Le potentiel de vitesse pour les écoulements de fluides réels: la contribución de Joseph-Louis Lagrange [Potencial de velocidad en flujos de fluidos reales: contribución de Joseph-Louis Lagrange]" , La Houille Blanche (en francés), 93 (5): 127– 131, Bibcode : 2007LHBl...93..127C , doi : 10,1051/lhb:2007072
Wehausen, JV ; Laitone, EV (1960), "Ondas superficiales", en Flügge, S.; Truesdell , C. (eds.), Enciclopedia de Física , vol. IX, Springer Verlag, pp. 446–778 , archivado del original el 5 de enero de 2009 , recuperado el 29 de marzo de 2009.

Enlaces externos

"Flujo irrotacional de un fluido no viscoso" . Universidad de Génova , Facultad de Ingeniería . Consultado el 29 de marzo de 2009 .
"Galería de mapas conformes" . 3D-XplorMath . Consultado el 29 de marzo de 2009 .— Applets de Java para explorar mapas conformes
Visualizaciones de flujo potencial - Aplicaciones web interactivas

[B_378_380-1] 1 2 3 Batchelor (1973) págs. 378–380.

[Kirby-2] Kirby, BJ (2010), Mecánica de fluidos a micro y nanoescala: Transporte en dispositivos microfluídicos. , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-11903-0

[B_99_101-3] 1 2 3 Batchelor (1973) págs. 99–101.

[landau-4] 1 2 3 4 5 Landau, LD; Lifshitz, EM (2013). "114". Mecánica de fluidos . Landau y Lifshitz: Curso de física teórica. Vol. 6. Elsevier. pág. 436.

[Anderson-5] Anderson, JD (2002). Flujo compresible moderno . McGraw-Hill. págs. 358–359 . ISBN 0-07-242443-5.

[6] 1942, Landau, LD "Sobre las ondas de choque" J. Phys. USSR 6 229-230

[7] Thompson, PA (1971). Una derivada fundamental en dinámica de gases. The Physics of Fluids, 14(9), 1843-1849.

[8] Lamb (1994) §287, pp. 492–495.

[9] Feynman, RP ; Leighton, RB ; Sands, M. (1964), The Feynman Lectures on Physics , vol. 2, Addison-Wesley , pág. 40-3. El capítulo 40 tiene el título: El flujo del agua seca .

[B_404_405-10] Batchelor (1973) págs. 404–405.

[B_106_108-11] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Batchelor (1973) págs. 106–108.

[B_409_413-12] 1 2 3 Batchelor (1973) págs. 409–413.

[13] Kyrala, A. (1972). Funciones aplicadas de una variable compleja . Wiley-Interscience. págs. 116–117 . ISBN 9780471511298.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]