Vórtice

Un concepto clave en la dinámica de los vórtices es la vorticidad , un vector que describe el movimiento rotatorio local en un punto del fluido, tal como lo percibiría un observador que se mueve junto con él. Conceptualmente, la vorticidad podría observarse colocando una pequeña esfera rugosa en el punto en cuestión, libre para moverse con el fluido, y observando cómo gira alrededor de su centro. La dirección del vector de vorticidad se define como la dirección del eje de rotación de esta esfera imaginaria (según la regla de la mano derecha ), mientras que su longitud es el doble de la velocidad angular de la esfera . Matemáticamente, la vorticidad se define como el rotacional (o rotacional) del campo de velocidad del fluido, generalmente denotado por${\displaystyle {\vec {\omega }}}$y expresada por la fórmula de análisis vectorial${\displaystyle \nabla \times {\vec {\mathit {u}}}}$, dónde${\displaystyle \nabla }$es el operador nabla y${\displaystyle {\vec {\mathit {u}}}}$es la velocidad del flujo local. ^{[ 5 ]}

La rotación local medida por la vorticidad${\displaystyle {\vec {\omega }}}$no debe confundirse con el vector de velocidad angular de esa porción del fluido con respecto al entorno externo o a cualquier eje fijo. En un vórtice, en particular,${\displaystyle {\vec {\omega }}}$puede ser opuesto al vector de velocidad angular media del fluido con respecto al eje del vórtice.

En teoría, la velocidad u de las partículas (y, por lo tanto, la vorticidad) en un vórtice puede variar con la distancia r al eje de muchas maneras. Sin embargo, existen dos casos especiales importantes:

• Si el fluido gira como un cuerpo rígido —es decir, si la velocidad angular de rotación Ω es uniforme, de modo que u aumenta proporcionalmente a la distancia r desde el eje— una pequeña esfera arrastrada por el flujo también giraría alrededor de su centro como si formara parte de ese cuerpo rígido. En dicho flujo, la vorticidad es la misma en todas partes: su dirección es paralela al eje de rotación y su magnitud es igual al doble de la velocidad angular uniforme Ω del fluido alrededor del centro de rotación.

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\Omega }}&=(0,0,\Omega ),\quad {\vec {r}}=(x,y,0),\\{\vec {u}}&={\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}=(-\Omega y,\Omega x,0),\\{\vec {\omega }}&=\nabla \times {\vec {u}}=(0,0,2\Omega )=2{\vec {\Omega }}.\end{aligned}}}$

• Si la velocidad de la partícula u es inversamente proporcional a la distancia r del eje, entonces la bola de prueba imaginaria no rotaría sobre sí misma; mantendría la misma orientación mientras se mueve en un círculo alrededor del eje del vórtice. En este caso, la vorticidad${\displaystyle {\vec {\omega }}}$es cero en cualquier punto que no esté en ese eje, y se dice que el flujo es irrotacional .

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\Omega }}&=\left(0,0,\alpha r^{-2}\right),\quad {\vec {r}}=(x,y,0),\\{\vec {u}}&={\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}=\left(-\alpha yr^{-2},\alpha xr^{-2},0\right),\\{\vec {\omega }}&=\nabla \times {\vec {u}}=0.\end{aligned}}}$

vórtices irrotacionales

En ausencia de fuerzas externas, un vórtice suele evolucionar con bastante rapidez hacia un patrón de flujo irrotacional , donde la velocidad del flujo u es inversamente proporcional a la distancia r . Los vórtices irrotacionales también se denominan vórtices libres .

Para un vórtice irrotacional, la circulación es cero a lo largo de cualquier contorno cerrado que no encierre el eje del vórtice; y tiene un valor fijo, Γ , para cualquier contorno que sí encierre el eje una vez. ^{[ 6 ]} La componente tangencial de la velocidad de la partícula es entonces${\displaystyle u_{\theta }={\tfrac {\Gamma }{2\pi r}}}$Por lo tanto, el momento angular por unidad de masa con respecto al eje del vórtice es constante.${\displaystyle ru_{\theta }={\tfrac {\Gamma }{2\pi }}}$.

El flujo de vórtice irrotacional ideal en el espacio libre no es físicamente realizable, ya que implicaría que la velocidad de las partículas (y por lo tanto la fuerza necesaria para mantener las partículas en sus trayectorias circulares) crecería sin límite a medida que uno se acerca al eje del vórtice. De hecho, en los vórtices reales siempre hay una región central que rodea el eje donde la velocidad de las partículas deja de aumentar y luego disminuye a cero cuando r tiende a cero. Dentro de esa región, el flujo ya no es irrotacional: la vorticidad${\displaystyle {\vec {\omega }}}$se vuelve distinto de cero, con una dirección aproximadamente paralela al eje del vórtice. El vórtice de Rankine es un modelo que supone un flujo rotacional de cuerpo rígido donde r es menor que una distancia fija r ₀ , y un flujo irrotacional fuera de esas regiones centrales.

En un fluido viscoso, el flujo irrotacional contiene disipación viscosa en todas partes, pero no hay fuerzas viscosas netas, solo tensiones viscosas. ^{[ 7 ]} Debido a la disipación, esto significa que mantener un vórtice viscoso irrotacional requiere un aporte continuo de trabajo en el núcleo (por ejemplo, haciendo girar constantemente un cilindro en el núcleo). En el espacio libre no hay aporte de energía en el núcleo, y por lo tanto la vorticidad compacta contenida en el núcleo se difundirá naturalmente hacia afuera, convirtiendo el núcleo en un flujo de cuerpo rígido que se ralentiza y crece gradualmente, rodeado por el flujo irrotacional original. Dicho vórtice irrotacional en descomposición tiene una solución exacta de las ecuaciones de Navier-Stokes viscosas , conocida como un vórtice de Lamb-Oseen .

vórtices rotacionales

Un vórtice rotacional —un vórtice que rota como un cuerpo rígido— no puede existir indefinidamente en ese estado salvo mediante la aplicación de una fuerza adicional, no generada por el propio movimiento del fluido. Presenta vorticidad distinta de cero en todo su perímetro, excepto en el núcleo. Los vórtices rotacionales también se denominan vórtices de cuerpo rígido o vórtices forzados.

Por ejemplo, si se hace girar un cubo de agua a una velocidad angular constante w alrededor de su eje vertical, el agua acabará rotando como un cuerpo rígido. Las partículas se moverán entonces en círculos, con una velocidad u igual a wr . ^{[ 6 ]} En ese caso, la superficie libre del agua adoptará una forma parabólica .

En esta situación, la carcasa giratoria rígida proporciona una fuerza adicional, concretamente un gradiente de presión adicional en el agua, dirigido hacia el interior, que impide la transición del flujo de cuerpo rígido al estado irrotacional.

Las estructuras de vórtice se definen por su vorticidad , la tasa de rotación local de las partículas de fluido. Se pueden formar a través del fenómeno conocido como separación de la capa límite , que puede ocurrir cuando un fluido se mueve sobre una superficie y experimenta una aceleración rápida desde la velocidad del fluido hasta cero debido a la condición de no deslizamiento . Esta rápida aceleración negativa crea una capa límite que causa una rotación local del fluido en la pared (es decir, vorticidad), que se denomina tasa de corte de la pared. El espesor de esta capa límite es proporcional a${\displaystyle \surd (vt)}$(donde v es la velocidad del fluido en la corriente libre y t es el tiempo).

Si el diámetro o el espesor del recipiente o del fluido es menor que el espesor de la capa límite, esta no se separará y no se formarán vórtices. Sin embargo, cuando la capa límite supera este espesor crítico, se produce la separación, lo que genera vórtices.

Esta separación de la capa límite también puede ocurrir en presencia de gradientes de presión opuestos (es decir, una presión que se desarrolla aguas abajo). Esto se presenta en superficies curvas y cambios geométricos generales, como una superficie convexa. Un ejemplo singular de cambios geométricos severos se encuentra en el borde de salida de un cuerpo romo, donde se localiza la desaceleración del flujo de fluido y, por lo tanto, la formación de la capa límite y los vórtices.

Otra forma de formación de vórtices en un límite se produce cuando el fluido fluye perpendicularmente hacia una pared y crea un efecto de salpicadura. Las líneas de corriente de velocidad se desvían y desaceleran inmediatamente, de modo que la capa límite se separa y forma un anillo de vórtice toroidal . ^{[ 8 ]}

En un vórtice estacionario, la línea de corriente típica (una línea tangente al vector de velocidad del flujo) es un bucle cerrado que rodea el eje; y cada línea de vórtice (una línea tangente al vector de vorticidad) es aproximadamente paralela al eje. Una superficie tangente tanto a la velocidad del flujo como a la vorticidad se denomina tubo de vórtice . En general, los tubos de vórtice se agrupan alrededor del eje de rotación. El propio eje es una de las líneas de vórtice, un caso límite de un tubo de vórtice de diámetro cero.

Según los teoremas de Helmholtz , una línea de vórtice no puede comenzar ni terminar en el fluido, salvo momentáneamente, en flujos no estacionarios, mientras el vórtice se forma o se disipa. En general, las líneas de vórtice (en particular, el eje) son bucles cerrados o terminan en el límite del fluido. Un remolino es un ejemplo de esto último: un vórtice en una masa de agua cuyo eje termina en la superficie libre. Un tubo de vórtice cuyas líneas de vórtice son todas cerradas será una superficie cerrada con forma de toroide .

Un vórtice recién creado se extenderá y curvará rápidamente para eliminar cualquier línea de vórtice abierta. Por ejemplo, al arrancar el motor de un avión, se suele formar un vórtice delante de cada hélice o del turbofán de cada motor a reacción . Un extremo de la línea de vórtice está unido al motor, mientras que el otro se estira y curva hasta llegar al suelo.

Cuando los vórtices se hacen visibles mediante estelas de humo o tinta, pueden parecer tener trayectorias o líneas de corriente en espiral. Sin embargo, esta apariencia suele ser una ilusión, ya que las partículas de fluido se mueven en trayectorias cerradas. Las estelas en espiral que se confunden con líneas de corriente son, de hecho, nubes del fluido marcador que originalmente abarcaban varios tubos de vórtice y que se estiraron adquiriendo formas espirales debido a la distribución no uniforme de la velocidad del flujo.

El movimiento del fluido en un vórtice genera una presión dinámica (además de la presión hidrostática ) que es mínima en la región central, más cercana al eje, y aumenta a medida que uno se aleja de él, de acuerdo con el principio de Bernoulli . Se puede decir que es el gradiente de esta presión el que obliga al fluido a seguir una trayectoria curva alrededor del eje.

En un flujo de vórtice de cuerpo rígido de un fluido con densidad constante , la presión dinámica es proporcional al cuadrado de la distancia r desde el eje. En un campo gravitatorio constante, la superficie libre del líquido, si existe, es un paraboloide cóncavo .

En un flujo de vórtice irrotacional con densidad de fluido constante y simetría cilíndrica, la presión dinámica varía como P _∞ − ⁠ K / r ² ⁠ , donde P _∞ es la presión límite infinitamente lejos del eje. Esta fórmula proporciona otra restricción para la extensión del núcleo, ya que la presión no puede ser negativa. La superficie libre (si existe) desciende bruscamente cerca de la línea del eje, con una profundidad inversamente proporcional a r ² . La forma formada por la superficie libre se llama hiperboloide o " Cuerno de Gabriel " (por Evangelista Torricelli ).

El núcleo de un vórtice en el aire a veces es visible porque el vapor de agua se condensa debido a que la baja presión del núcleo provoca un enfriamiento adiabático ; el embudo de un tornado es un ejemplo. Cuando una línea de vórtice termina en una superficie límite, la presión reducida también puede atraer materia de esa superficie hacia el núcleo. Por ejemplo, un remolino de polvo es una columna de polvo levantada por el núcleo de un vórtice de aire adherido al suelo. Un vórtice que termina en la superficie libre de una masa de agua (como el remolino que a menudo se forma sobre el desagüe de una bañera) puede atraer una columna de aire hacia abajo por el núcleo. El vórtice frontal que se extiende desde el motor a reacción de un avión estacionado puede succionar agua y pequeñas piedras hacia el núcleo y luego hacia el motor.

Los vórtices no tienen por qué ser estructuras estacionarias; pueden moverse y cambiar de forma. En un vórtice en movimiento, las trayectorias de las partículas no son cerradas, sino curvas abiertas y sinuosas, como hélices y cicloides . Un flujo vorticial también puede combinarse con un patrón de flujo radial o axial. En ese caso, las líneas de corriente y las trayectorias no son curvas cerradas, sino espirales o hélices, respectivamente. Este es el caso de los tornados y los remolinos de desagüe. Un vórtice con líneas de corriente helicoidales se denomina solenoidal .

Siempre que los efectos de la viscosidad y la difusión sean insignificantes, el fluido en un vórtice en movimiento es arrastrado consigo. En particular, el fluido en el núcleo (y la materia atrapada en él) tiende a permanecer en el núcleo mientras el vórtice se desplaza. Esto es consecuencia del segundo teorema de Helmholtz . Por lo tanto, los vórtices (a diferencia de las ondas superficiales y las ondas de presión ) pueden transportar masa, energía y momento a distancias considerables en comparación con su tamaño, con una dispersión sorprendentemente pequeña. Este efecto se demuestra con los anillos de humo y se aprovecha en juguetes y pistolas de vórtices .

Dos o más vórtices aproximadamente paralelos que circulan en la misma dirección se atraen y finalmente se fusionan para formar un único vórtice, cuya circulación será igual a la suma de las circulaciones de los vórtices que lo componen. Por ejemplo, el ala de un avión que genera sustentación crea una lámina de pequeños vórtices en su borde de salida. Estos pequeños vórtices se fusionan para formar un único vórtice en la punta del ala , a menos de la longitud de la cuerda del ala aguas abajo de dicho borde. Este fenómeno también ocurre con otros perfiles aerodinámicos activos , como las palas de una hélice. Por otro lado, dos vórtices paralelos con circulaciones opuestas (como los dos vórtices de la punta del ala de un avión) tienden a permanecer separados.

Los vórtices contienen una cantidad considerable de energía en el movimiento circular del fluido. En un fluido ideal, esta energía nunca se disiparía y el vórtice persistiría indefinidamente. Sin embargo, los fluidos reales presentan viscosidad , lo que provoca que la energía se disipe muy lentamente desde el núcleo del vórtice. Solo mediante la disipación de energía debida a la viscosidad, una línea de vórtice puede terminar dentro del fluido, en lugar de en su límite.

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