Código de flujo potencial aerodinámico

En dinámica de fluidos , se utilizan códigos de flujo potencial aerodinámico o códigos de panel para determinar la velocidad del fluido y, posteriormente, la distribución de la presión sobre un objeto. Este puede ser un objeto bidimensional simple, como un círculo o un ala, o puede ser un vehículo tridimensional.

Se utilizan una serie de singularidades como fuentes, sumideros, vórtices y dobletes para modelar los paneles y las estelas. Estos códigos pueden ser válidos a velocidades subsónicas y supersónicas.

Los primeros códigos de panel se desarrollaron a fines de la década de 1960 y principios de la de 1970. Los códigos de panel avanzados, como Panair (desarrollado por Boeing ), se introdujeron por primera vez a fines de la década de 1970 y ganaron popularidad a medida que aumentaba la velocidad de procesamiento. Con el tiempo, los códigos de panel se reemplazaron por métodos de panel de orden superior y, posteriormente, por CFD ( dinámica de fluidos computacional ). Sin embargo, los códigos de panel aún se utilizan para el análisis aerodinámico preliminar, ya que el tiempo requerido para una ejecución de análisis es significativamente menor debido a una menor cantidad de elementos.

Estos son los diversos supuestos que se tienen en cuenta para desarrollar posibles métodos de paneles de flujo:

• Inviscible
• Incompresible ${\displaystyle \nabla \cdot V=0}$
• Irrotacional${\displaystyle \nabla \times V=0}$
• Estable ${\displaystyle {\frac {\parcial }{\parcial t}}=0}$

Sin embargo, el supuesto de flujo incompresible se puede eliminar de la derivación del flujo potencial, quedando:

• Flujo potencial (no viscoso, irrotacional, constante)${\displaystyle \nabla ^{2}\phi = 0}$

• De pequeñas perturbaciones

${\displaystyle (1-M_{\infty }^{2})\phi _{xx}+\phi _{yy}+\phi _{zz}=0}$(subsónico)

• Del teorema de divergencia

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \, dS}$

• Sea la velocidad U una función dos veces continuamente diferenciable en una región de volumen V en el espacio. Esta función es la función de corriente .${\estilo de visualización \phi}$
• Sea P un punto en el volumen V
• Sea S el límite superficial del volumen V.
• Sea Q un punto sobre la superficie S, y .${\displaystyle R=|PQ|}$

A medida que Q va desde el interior de V hasta la superficie de V,

• Por lo tanto:

${\displaystyle U_{p}=-{\frac {1}{4\pi }}\iiint \limits _{V}\left({\frac {\nabla ^{2}\cdot \mathbf {U} }{R}}\right)dV_{Q}}$

${\displaystyle -{\frac {1}{4\pi }}\iint \limits _{S}\left({\frac {\mathbf {n} \cdot \nabla \mathbf {U} }{R}} \derecha)dS_{Q}}$

${\displaystyle +{\frac {1}{4\pi }}\iint \limits _{S}\left(\mathbf {U} \mathbf {n} \cdot \nabla {\frac {1}{R}}\right)dS_{Q}}$

Para : , donde la normal de la superficie apunta hacia adentro. ${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0}$

${\displaystyle \phi _{p}=-{\frac {1}{4\pi }}\iint \limits _{S}\left(\mathbf {n} {\frac {\nabla \phi _{U}-\nabla \phi _{L}}{R}}-\mathbf {n} \left(\phi _{U}-\phi _{L}\right)\nabla {\frac {1}{R}}\right)dS_{Q}}$

Esta ecuación se puede descomponer en un término fuente y un término doblete.

La intensidad de la fuente en un punto arbitrario Q es:

${\displaystyle \sigma =\nabla \mathbf {n} (\nabla \phi _{U}-\nabla \phi _{L})}$

La fuerza del doblete en un punto arbitrario Q es:

${\displaystyle \mu =\phi _{U}-\phi _{L}}$

La ecuación de flujo potencial simplificada es:

${\displaystyle \phi _{p}=-{\frac {1}{4\pi }}\iint \limits _{S}\left({\frac {\sigma }{R}}-\mu \cdot \mathbf {n} \cdot \nabla {\frac {1}{R}}\right)dS}$

Con esta ecuación, junto con las condiciones de contorno aplicables, se puede resolver el problema del flujo potencial.

El potencial de velocidad en la superficie interna y todos los puntos dentro de V (o en la superficie inferior S) es 0.

${\displaystyle \phi _{L}=0}$

La fuerza del doblete es:

${\displaystyle \mu =\phi _{U}-\phi _{L}}$

${\displaystyle \mu =\phi _{U}}$

El potencial de velocidad en la superficie exterior es normal a la superficie y es igual a la velocidad de la corriente libre.

${\displaystyle \phi _{U}=-V_{\infty }\cdot \mathbf {n} }$

Estas ecuaciones básicas se cumplen cuando la geometría es una geometría "hermética". Si es hermética, es un problema bien planteado. Si no lo es, es un problema mal planteado.

La ecuación de flujo potencial con condiciones de contorno bien planteadas aplicadas es:

${\displaystyle \mu _{P}={\frac {1}{4\pi }}\iint \limits _{S}\left({\frac {V_{\infty }\cdot \mathbf {n} }{R}}\right)dS_{U}+{\frac {1}{4\pi }}\iint \limits _{S}\left(\mu \cdot \mathbf {n} \cdot \nabla {\frac {1}{R}}\right)dS}$

• Tenga en cuenta que el término de integración se evalúa solo en la superficie superior, mientras que el término integral se evalúa en las superficies superior e inferior.${\displaystyle dS_{U}}$${\displaystyle dS}$

La superficie continua S puede ahora discretizarse en paneles discretos. Estos paneles se aproximarán a la forma de la superficie real. Este valor de los diversos términos fuente y doblete puede evaluarse en un punto conveniente (como el centroide del panel). Se utilizan algunas distribuciones supuestas de las intensidades de la fuente y del doblete (normalmente constantes o lineales) en puntos distintos del centroide. Se definen un único término fuente s de intensidad desconocida y un único término doblete m de intensidad desconocida en un punto dado. ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \sigma _{Q}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}s_{i}(Q)=0}$

${\displaystyle \mu _{Q}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}m_{i}(Q)}$

dónde:

${\displaystyle s_{i}=ln(r)}$

${\displaystyle m_{i}=}$

Estos términos se pueden utilizar para crear un sistema de ecuaciones lineales que se pueden resolver para todos los valores desconocidos de . ${\displaystyle \lambda }$

• Resistencia constante: simple, se requiere una gran cantidad de paneles
• Fuerza variable lineal: respuesta razonable, poca dificultad para crear problemas bien planteados
• Fuerza variable cuadrática: precisa, más difícil de crear un problema bien planteado

Algunas técnicas se utilizan comúnmente para modelar superficies. ^[1]

• Grosor del cuerpo según fuentes de línea
• Levantamiento de cuerpo por dobletes de línea
• Espesor del ala según paneles de fuentes constantes
• Elevación del ala mediante paneles de presión constante
• Interfaz ala-cuerpo mediante paneles de presión constante

Una vez que se determina la velocidad en cada punto, se puede determinar la presión utilizando una de las siguientes fórmulas. Todos los métodos de coeficiente de presión producen resultados similares y se utilizan comúnmente para identificar regiones donde los resultados no son válidos.

El coeficiente de presión se define como:

${\displaystyle C_{p}={\frac {p-p_{\infty }}{q_{\infty }}}={\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}={\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {\gamma }{2}}p_{\infty }M_{\infty }^{2}}}}$

El coeficiente de presión isentrópica es:

${\displaystyle C_{p}={\frac {2}{\gamma M_{\infty }^{2}}}\left(\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{\infty }^{2}\left[{\frac {1-|{\vec {V}}|^{2}}{|{\vec {V_{\infty }}}|^{2}}}\right]\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}-1\right)}$

El coeficiente de presión incompresible es:

${\displaystyle C_{p}=1-{\frac {|{\vec {V}}|^{2}}{|{\vec {V_{\infty }}}|^{2}}}}$

El coeficiente de presión de segundo orden es:

${\displaystyle C_{p}=1-|{\vec {V}}|^{2}+M_{\infty }^{2}u^{2}}$

El coeficiente de presión de la teoría del cuerpo delgado es:

${\displaystyle C_{p}=-(2u+v^{2}+w^{2})}$

El coeficiente de presión de la teoría lineal es:

${\displaystyle C_{p}=-2u}$

El coeficiente de presión de segundo orden reducido es:

${\displaystyle C_{p}=1-|{\vec {V}}|^{2}}$

• Los métodos de panel son soluciones no viscosas. No se pueden capturar efectos viscosos, excepto mediante el "modelado" del usuario modificando la geometría.
• Las soluciones no son válidas tan pronto como el flujo cambia localmente de subsónico a supersónico (es decir, se ha excedido el número de Mach crítico) o viceversa.

• Función de transmisión
• Mapeo conforme
• Potencial de velocidad
• Teorema de divergencia
• Transformada de Joukowsky
• Flujo potencial
• Circulación
• Ley de Biot-Savart

• Software aerodinámico de dominio público, una fuente de distribución de Panair, Ralph Carmichael
• Panair Volumen I, Manual teórico, Versión 3.0, Michael Epton, Alfred Magnus, 1990 Boeing
• Panair Volumen II, Manual de teoría, Versión 3.0, Michael Epton, Alfred Magnus, 1990 Boeing
• Panair Volumen III, Manual de caso, Versión 1.0, Michael Epton, Kenneth Sidewell, Alfred Magnus, Boeing 1981
• Panair Volumen IV, Documento de mantenimiento, Versión 3.0, Michael Epton, Kenneth Sidewell, Alfred Magnus, Boeing 1991
• Experiencia reciente en el uso de métodos de elementos finitos para la solución de problemas de interferencia aerodinámica, Ralph Carmichael, 1971 NASA Ames Research Center
• [1]