Flujo elemental

En el contexto más amplio de las ecuaciones de Navier-Stokes (y especialmente en el contexto de la teoría del potencial ), los flujos elementales son flujos básicos que pueden combinarse, utilizando diversas técnicas, para construir flujos más complejos. En este artículo, el término "flujo" se utiliza indistintamente con el término "solución" debido a razones históricas.

Las técnicas implicadas para crear soluciones más complejas pueden ser por ejemplo por superposición , por técnicas como la topología o considerándolas como soluciones locales en un cierto vecindario, subdominio o capa límite y para ser parcheadas juntas. Los flujos elementales pueden considerarse los bloques de construcción básicos ( soluciones fundamentales , soluciones locales y solitones ) de los diferentes tipos de ecuaciones derivadas de las ecuaciones de Navier-Stokes. Algunos de los flujos reflejan restricciones específicas como flujos incompresibles o irrotacionales , o ambos, como en el caso del flujo potencial , y algunos de los flujos pueden limitarse al caso de dos dimensiones. ^[1]

Debido a la relación entre la dinámica de fluidos y la teoría de campos , los flujos elementales son relevantes no solo para la aerodinámica sino para toda la teoría de campos en general. Para ponerlo en perspectiva, las capas límite pueden interpretarse como defectos topológicos en variedades genéricas , y considerando analogías de dinámica de fluidos y casos límite en electromagnetismo , mecánica cuántica y relatividad general, se puede ver cómo todas estas soluciones están en el centro de los desarrollos recientes en física teórica, como la dualidad ads/cft, el modelo SYK, la física de líquidos nemáticos, sistemas fuertemente correlacionados e incluso plasmas de quarks y gluones.

Para un flujo espacialmente uniforme y en estado estacionario de un fluido en el plano xy , el vector de velocidad es

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{0}\cos(\theta _{0})\,\mathbf {e} _{x}+v_{0}\sin(\theta _{0})\,\mathbf {e} _{y}}$

dónde

${\displaystyle v_{0}}$es la magnitud absoluta de la velocidad (es decir, );${\displaystyle v_{0}=|\mathbf {v} |}$

${\displaystyle \theta _{0}}$es el ángulo que forma el vector de velocidad con el eje x positivo ( es positivo para ángulos medidos en sentido antihorario desde el eje x positivo ); y${\displaystyle \theta _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}}$y son los vectores base unitarios del sistema de coordenadas xy .${\displaystyle \mathbf {e} _{y}}$

Debido a que este flujo es incompresible (es decir, ) y bidimensional, su velocidad se puede expresar en términos de una función de corriente , : ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle v_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}}$

${\displaystyle v_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$

dónde

${\displaystyle \psi =\psi _{0}-v_{0}\sin(\theta _{0})\,x+v_{0}\cos(\theta _{0})\,y}$

y es una constante. ${\displaystyle \psi _{0}}$

En coordenadas cilíndricas:

${\displaystyle v_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}}$

${\displaystyle v_{\theta }={\frac {\partial \psi }{\partial r}}}$

y

${\displaystyle \psi =\psi _{0}+v_{0}\,r\sin(\theta -\theta _{0})}$

Este flujo es irrotacional (es decir, ) por lo que su velocidad puede expresarse en términos de una función potencial, : ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\mathbf {0} }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle v_{x}=-{\frac {\partial \phi }{\partial x}}}$

${\displaystyle v_{y}=-{\frac {\partial \phi }{\partial y}}}$

dónde

${\displaystyle \phi =\phi _{0}-v_{0}\cos(\theta _{0})\,x-v_{0}\sin(\theta _{0})\,y}$

y es una constante. ${\displaystyle \phi _{0}}$

En coordenadas cilíndricas

${\displaystyle v_{r}={\frac {\partial \phi }{\partial r}}}$

${\displaystyle v_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}}$

${\displaystyle \phi =\phi _{0}-v_{0}\,r\cos(\theta -\theta _{0})}$

El caso de una línea vertical que emite a una velocidad fija una cantidad constante de fluido Q por unidad de longitud es una fuente lineal. El problema tiene una simetría cilíndrica y puede tratarse en dos dimensiones en el plano ortogonal.

Las fuentes lineales y los sumideros lineales (abajo) son flujos elementales importantes porque desempeñan el papel de monopolo para fluidos incompresibles (que también pueden considerarse ejemplos de campos solenoidales , es decir, campos libres de divergencia). Los patrones de flujo genéricos también pueden descomponerse en términos de expansiones multipolares , de la misma manera que para los campos eléctricos y magnéticos donde el monopolo es esencialmente el primer término no trivial (por ejemplo, constante) de la expansión.

Este patrón de flujo también es irrotacional e incompresible.

Esto se caracteriza por una simetría cilíndrica:

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{r}(r)\mathbf {e} _{r}}$

Donde el flujo saliente total es constante

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {S} =\int _{0}^{2\pi }(v_{r}(r)\,\mathbf {e} _{r})\cdot (\mathbf {e} _{r}\,r\,d\theta )=\!2\pi \,r\,v_{r}(r)=Q}$

Por lo tanto,

${\displaystyle v_{r}={\frac {Q}{2\pi r}}}$

Esto se deriva de una función de flujo

${\displaystyle \psi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\theta }$

o de una función potencial

${\displaystyle \phi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\ln r}$

El caso de una línea vertical que absorbe a una velocidad fija una cantidad constante de fluido Q por unidad de longitud es una línea sumidero. Todo es igual que el caso de una línea fuente, salvo el signo negativo.

${\displaystyle v_{r}=-{\frac {Q}{2\pi r}}}$

Esto se deriva de una función de flujo

${\displaystyle \psi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\theta }$

o de una función potencial

${\displaystyle \phi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\ln r}$

Dado que los dos resultados son los mismos salvo por un signo menos, podemos tratar de forma transparente tanto las fuentes de línea como los sumideros de línea con las mismas funciones de flujo y potencial, lo que permite que Q asuma valores tanto positivos como negativos y absorba el signo menos en la definición de Q.

Si consideramos una fuente lineal y un sumidero lineal a una distancia d, podemos reutilizar los resultados anteriores y la función de flujo será

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {d} /2)-\psi _{Q}(\mathbf {r} +\mathbf {d} /2)\ \simeq \mathbf {d} \cdot \nabla \psi _{Q}(\mathbf {r} )}$

La última aproximación es al primer orden en d.

Dado

${\displaystyle \mathbf {d} =d[\cos(\theta _{0})\mathbf {e} _{x}+\sin(\theta _{0})\mathbf {e} _{y}]=d[\cos(\theta -\theta _{0})\mathbf {e} _{r}+\sin(\theta -\theta _{0})\mathbf {e} _{\theta }]}$

Queda

${\displaystyle \psi (r,\theta )=-{\frac {Qd}{2\pi }}{\frac {\sin(\theta -\theta _{0})}{r}}}$

La velocidad es entonces

${\displaystyle v_{r}(r,\theta )={\frac {Qd}{2\pi }}{\frac {\cos(\theta -\theta _{0})}{r^{2}}}}$

${\displaystyle v_{\theta }(r,\theta )={\frac {Qd}{2\pi }}{\frac {\sin(\theta -\theta _{0})}{r^{2}}}}$

Y el potencial en cambio

${\displaystyle \phi (r,\theta )={\frac {Qd}{2\pi }}{\frac {\cos(\theta -\theta _{0})}{r}}}$

Este es el caso de un filamento de vórtice que gira a velocidad constante, existe una simetría cilíndrica y el problema se puede resolver en el plano ortogonal.

Al igual que en el caso anterior de fuentes lineales, las líneas de vórtice desempeñan el papel de monopolos para flujos irrotacionales .

También en este caso el flujo es irrotacional e incompresible y por tanto un caso de flujo potencial .

Esto se caracteriza por una simetría cilíndrica:

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{\theta }(r)\,\mathbf {e} _{\theta }}$

Donde la circulación total es constante para cada línea cerrada alrededor del vórtice central

${\displaystyle \oint \mathbf {v} \cdot d\mathbf {s} =\int _{0}^{2\pi }(v_{\theta }(r)\,\mathbf {e} _{\theta })\cdot (\mathbf {e} _{\theta }\,r\,d\theta )=\!2\pi \,r\,v_{\theta }(r)=\Gamma }$

y es cero para cualquier línea que no incluya el vórtice.

Por lo tanto,

${\displaystyle v_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}}$

Esto se deriva de una función de flujo

${\displaystyle \psi (r,\theta )={\frac {\Gamma }{2\pi }}\ln r}$

o de una función potencial

${\displaystyle \phi (r,\theta )=-{\frac {\Gamma }{2\pi }}\theta }$

Lo cual es dual al caso anterior de una fuente lineal.

Dado un flujo bidimensional incompresible que también es irrotacional tenemos:

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0}$

Que está en coordenadas cilíndricas ^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}=0}$

Buscamos una solución con variables separadas:

${\displaystyle \psi (r,\theta )=R(r)\Theta (\theta )}$

Lo cual da

${\displaystyle {\frac {r}{R(r)}}{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {dR(r)}{dr}}\right)=-{\frac {1}{\Theta (\theta )}}{\frac {d^{2}\Theta (\theta )}{d\theta ^{2}}}}$

Dado que la parte izquierda depende solo de r y la parte derecha depende solo de , las dos partes deben ser iguales a una constante independiente de r y . La constante debe ser positiva ^{[ aclaración necesaria ]} . Por lo tanto, ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle r{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {d}{dr}}R(r)\right)=m^{2}R(r)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\Theta (\theta )}{d\theta ^{2}}}=-m^{2}\Theta (\theta )}$

La solución de la segunda ecuación es una combinación lineal de y Para tener una velocidad de valor único (y también una función de corriente de valor único) m debe ser un entero positivo. ${\displaystyle e^{im\theta }}$${\displaystyle e^{-im\theta }}$

Por lo tanto, la solución más genérica viene dada por

${\displaystyle \psi =\alpha _{0}+\beta _{0}\ln r+\sum _{m>0}{\left(\alpha _{m}r^{m}+\beta _{m}r^{-m}\right)\sin {[m(\theta -\theta _{m})]}}}$

El potencial en cambio viene dado por

${\displaystyle \phi =\alpha _{0}-\beta _{0}\theta +\sum _{m\mathop {>} 0}{(\alpha _{m}r^{m}-\beta _{m}r^{-m})\cos {[m(\theta -\theta _{m})]}}}$

• Fitzpatrick, Richard (2017), Dinámica de fluidos teórica, Ciencia de la PIO, ISBN 978-0-7503-1554-8
• Faber, TE (1995), Dinámica de fluidos para físicos, Cambridge University Press, ISBN 9780511806735

Específico

• Batchelor, GK (1973), Introducción a la dinámica de fluidos , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09817-5
• Chanson, H. (2009), Hidrodinámica aplicada: Introducción a los flujos de fluidos ideales y reales, CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Países Bajos, 478 páginas, ISBN 978-0-415-49271-3
• Lamb, H. (1994) [1932], Hidrodinámica (6.ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9
• Milne-Thomson, LM (1996) [1968], Hidrodinámica teórica (5.ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-68970-8

• Richard Fitzpatrick University of Texas, Austin (2017). "Mecánica de fluidos". University of Texas, Austin . Consultado el 7 de febrero de 2018 .

• (c) Ingeniería aeroespacial, mecánica y mecatrónica. 2005 Universidad de Sídney (2005). "Elementos de flujo potencial". Universidad de Sídney . Consultado el 19 de abril de 2019 .{{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)