Ecuación algebraica

En matemáticas , una ecuación algebraica o ecuación polinómica es una ecuación de la forma $P=0$ , donde P es un polinomio , generalmente con coeficientes racionales .

Por ejemplo, $x^{5}-3x+1=0$ es una ecuación algebraica con coeficientes enteros y

y^{4}+{\frac {xy}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}+xy^{2}+y^{2}+{\frac {1}{7}}=0

es una ecuación polinómica multivariable sobre los racionales. Para muchos autores, el término ecuación algebraica se refiere únicamente al caso univariado , es decir, a ecuaciones polinómicas que involucran solo una variable . Por otro lado, una ecuación polinómica puede involucrar varias variables (el caso multivariado ), en cuyo caso se suele preferir el término ecuación polinómica .

Algunas, pero no todas, las ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales tienen una solución que es una expresión algebraica que se puede encontrar usando un número finito de operaciones que involucran solo esos mismos tipos de coeficientes (es decir, se puede resolver algebraicamente ). Esto se puede hacer para todas las ecuaciones de grado uno, dos, tres o cuatro; pero para grado cinco o más, solo se puede hacer para algunas ecuaciones, no para todas . Se ha dedicado una gran cantidad de investigación a calcular aproximaciones precisas y eficientes de las soluciones reales o complejas de una ecuación algebraica univariada (ver Algoritmo de búsqueda de raíces ) y de las soluciones comunes de varias ecuaciones polinómicas multivariadas (ver Sistema de ecuaciones polinómicas ).

Terminología

El término «ecuación algebraica» data de la época en que el principal problema del álgebra era resolver ecuaciones polinómicas univariadas. Este problema se resolvió por completo durante el siglo XIX; véanse el Teorema fundamental del álgebra , el Teorema de Abel-Ruffini y la Teoría de Galois .

Desde entonces, el alcance del álgebra se ha ampliado considerablemente. En particular, incluye el estudio de ecuaciones con raíces enésimas $y$ , de forma más general, expresiones algebraicas . Esto hace que el término «ecuación algebraica» resulte ambiguo fuera del contexto del problema original. Por ello, se suele preferir el término «ecuación polinómica» cuando puede surgir esta ambigüedad, especialmente al considerar ecuaciones multivariables.

Historia

El estudio de las ecuaciones algebraicas es probablemente tan antiguo como las matemáticas: los matemáticos babilonios , ya en el año 2000 a. C., podían resolver algunos tipos de ecuaciones cuadráticas (mostradas en tablillas de arcilla paleobabilónicas ).

Las ecuaciones algebraicas univariadas sobre los racionales (es decir, con coeficientes racionales ) tienen una larga historia. Los matemáticos antiguos querían que las soluciones estuvieran en forma de expresiones radicales , como $x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ para la solución positiva de $x^{2}-x-1=0$ Los antiguos egipcios sabían cómo resolver ecuaciones de grado 2 de esta manera. El matemático indio Brahmagupta (597-668 d. C.) describió explícitamente la fórmula cuadrática en su tratado Brāhmasphuṭasiddhānta, publicado en 628 d. C., pero escrito en palabras en lugar de símbolos. En el siglo IX, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi y otros matemáticos islámicos derivaron la fórmula cuadrática , la solución general de ecuaciones de grado 2, y reconocieron la importancia del discriminante . Durante el Renacimiento, en 1545, Gerolamo Cardano publicó la solución de Scipione del Ferro y Niccolò Fontana Tartaglia para ecuaciones de grado 3 y la de Lodovico Ferrari para ecuaciones de grado 4. Finalmente, Niels Henrik Abel demostró, en 1824, que las ecuaciones de grado 5 y superiores no tienen soluciones generales usando radicales. La teoría de Galois , que recibe su nombre de Évariste Galois , demostró que algunas ecuaciones de grado 5 como mínimo ni siquiera tienen una solución idiosincrásica en radicales, y proporcionó criterios para decidir si una ecuación es, de hecho, resoluble mediante radicales.

Áreas de estudio

Las ecuaciones algebraicas son la base de varias áreas de las matemáticas modernas: la teoría algebraica de números estudia las ecuaciones algebraicas (univariadas) sobre los racionales (es decir, con coeficientes racionales ). La teoría de Galois fue introducida por Évariste Galois para especificar criterios que permitan determinar si una ecuación algebraica puede resolverse en términos de radicales. En teoría de cuerpos , una extensión algebraica es una extensión tal que cada elemento es raíz de una ecuación algebraica sobre el cuerpo base. La teoría trascendental de números estudia los números reales que no son soluciones de una ecuación algebraica sobre los racionales. Una ecuación diofántica es una ecuación polinómica (generalmente multivariada) con coeficientes enteros, cuyas soluciones enteras son de interés. La geometría algebraica estudia las soluciones en un cuerpo algebraicamente cerrado de ecuaciones polinómicas multivariadas.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones . En particular, la ecuación $P=Q$ es equivalente a $PQ=0$ De ello se deduce que el estudio de las ecuaciones algebraicas es equivalente al estudio de los polinomios.

Una ecuación polinómica sobre los racionales siempre se puede convertir en una equivalente en la que los coeficientes sean enteros . Por ejemplo, multiplicando por 42 = 2·3·7 y agrupando sus términos en el primer miembro, la ecuación polinómica mencionada anteriormente se convierte en $y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$ se convierte

42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0.

Debido a que el seno , la exponenciación y 1/ T no son funciones polinómicas,

e^{T}x^{2}+{\frac {1}{T}}xy+\sin(T)z-2=0

no es una ecuación polinómica en las cuatro variables x , y , z y T sobre los números racionales. Sin embargo, es una ecuación polinómica en las tres variables x , y y z sobre el campo de las funciones elementales en la variable T.

Teoría

Polinomios

Dada una ecuación en $x desconocida$

(\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0

,

con coeficientes en un campo $K$ , se puede decir equivalentemente que las soluciones de (E) en $K$ son las raíces en $K$ del polinomio

P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]

.

Se puede demostrar que un polinomio de grado $n$ en un cuerpo tiene como máximo $n$ raíces. Por lo tanto, la ecuación (E) tiene como máximo $n$ soluciones.

Si $K'$ es una extensión de campo de $K$ , se puede considerar que (E) es una ecuación con coeficientes en $K$ , y las soluciones de (E) en $K$ también son soluciones en $K'$ (lo contrario no se cumple en general). Siempre es posible encontrar una extensión de campo de $K,$ conocida como el campo de ruptura del polinomio $P$ , en la que (E) tiene al menos una solución.

Existencia de soluciones para ecuaciones reales y complejas.

El teorema fundamental del álgebra establece que el campo de los números complejos es algebraicamente cerrado, es decir, todas las ecuaciones polinómicas con coeficientes complejos y grado al menos uno tienen solución.

De ello se deduce que todas las ecuaciones polinómicas de grado 1 o superior con coeficientes reales tienen una solución compleja . Por otro lado, una ecuación como $x^{2}+1=0$ no tiene solución en $\mathbb {R}$ (las soluciones son las unidades imaginarias $i$ y $-i$ ).

Si bien las soluciones reales de las ecuaciones reales son intuitivas (son las coordenadas $x$ de los puntos donde la curva $y = P (x)$ interseca el eje $x$ ), la existencia de soluciones complejas para ecuaciones reales puede ser sorprendente y más difícil de visualizar.

Sin embargo, un polinomio mónico de grado impar debe necesariamente tener una raíz real. La función polinómica asociada en $x$ es continua y se aproxima $-\infty$ a medida que $x$ se acerca $-\infty$ y $+\infty$ a medida que $x$ se acerca $+\infty$ Por el teorema del valor intermedio , debe tomar el valor cero en algún $x$ real , que entonces es una solución de la ecuación polinómica.

Conexión con la teoría de Galois

Existen fórmulas que proporcionan las soluciones de polinomios reales o complejos de grado menor o igual a cuatro en función de sus coeficientes. Abel demostró que, en general, no es posible hallar una fórmula de este tipo (utilizando únicamente las cuatro operaciones aritméticas y extrayendo raíces) para ecuaciones de grado cinco o superior. La teoría de Galois proporciona un criterio que permite determinar si la solución de una ecuación polinómica dada puede expresarse mediante radicales.

Solución explícita de ecuaciones numéricas

Acercarse

La solución explícita de una ecuación real o compleja de grado 1 es trivial. Resolver una ecuación de grado superior $n$ se reduce a factorizar el polinomio asociado, es decir, reescribir (E) en la forma

a_{n}(x-z_{1})\dots (x-z_{n})=0

,

donde las soluciones son entonces las $z_{1},\dots,z_{n}$ . El problema es entonces expresar el $z_{i}$ en términos de la $a_{i}$ .

Este enfoque se aplica de forma más general si los coeficientes y las soluciones pertenecen a un dominio integral .

Técnicas generales

Factorización

Si una ecuación $P (x) = 0$ de grado $n$ tiene una raíz racional $α$ , el polinomio asociado se puede factorizar para dar la forma $P (X) = (X - α) Q (X)$ ( dividiendo $P (X)$ por $X - α$ o escribiendo $P (X) - P (α)$ como una combinación lineal de términos de la forma $X k - α k$ , y factorizando $X - α$ . Resolver $P (x) = 0$ se reduce así a resolver la ecuación de grado $n - 1$ $Q (x) = 0$ . Véase, por ejemplo, el caso $n = 3$ .

Eliminación del término subdominante

Para resolver una ecuación de grado $n$ ,

(\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0

,

un paso preliminar común es eliminar el término de grado $n - 1$ : estableciendo $x=y-{\frac {a_{n-1}}{n\,a_{n}}}$ , la ecuación (E) se convierte en

a_{n}y^{n}+b_{n-2}y^{n-2}+\dots +b_{1}y+b_{0}=0

.

Leonhard Euler desarrolló esta técnica para el caso $n = 3$ , pero también es aplicable al caso $n = 4$ , por ejemplo.

Ecuaciones cuadráticas

Para resolver una ecuación cuadrática de la forma $ax^{2}+bx+c=0$ uno calcula el discriminante Δ definido por $\Delta =b^{2}-4ac$ .

Si el polinomio tiene coeficientes reales, entonces tiene:

dos raíces reales distintas si $\Delta >0$ ;
una raíz doble real si $\Delta =0$ ;
ninguna raíz real si $\Delta <0$ pero dos raíces conjugadas complejas.

Ecuaciones cúbicas

El método más conocido para resolver ecuaciones cúbicas, escribiendo las raíces en términos de radicales, es la fórmula de Cardano .

Ecuaciones cuárticas

Para obtener información detallada sobre algunos métodos de solución, consulte:

Transformación de Tschirnhaus (método general, no se garantiza su éxito);
Método Bezout (método general, no se garantiza el éxito);
Método Ferrari (soluciones para grado 4);
Método de Euler (soluciones para grado 4);
Método de Lagrange (soluciones para grado 4);
Método de Descartes (soluciones para grado 2 o 4);

Una ecuación cuártica $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ con $a\neq 0$ puede reducirse a una ecuación cuadrática mediante un cambio de variable siempre que sea bicuadrática ( $b = d = 0$ ) o cuasi-palindrómica ( $e = a, d = b$ ).

Algunas ecuaciones cúbicas y cuárticas se pueden resolver utilizando trigonometría o funciones hiperbólicas .

Ecuaciones de grado superior

Évariste Galois y Niels Henrik Abel demostraron independientemente que, en general, un polinomio de grado 5 o superior no se puede resolver mediante radicales. Algunas ecuaciones particulares sí tienen solución, como las asociadas a los polinomios ciclotómicos de grados 5 y 17.

Por otro lado, Charles Hermite demostró que los polinomios de grado 5 se pueden resolver utilizando funciones elípticas .

De lo contrario, se pueden encontrar aproximaciones numéricas a las raíces utilizando algoritmos de búsqueda de raíces , como el método de Newton .

Véase también

Función algebraica
Número algebraico
Detección de raíces
Ecuación lineal (grado = 1)
Ecuación cuadrática (grado = 2)
Ecuación cúbica (grado = 3)
Ecuación cuártica (grado = 4)
Ecuación quíntica (grado = 5)
Ecuación séxtica (grado = 6)
Ecuación séptica (grado = 7)
Sistema de ecuaciones lineales
Sistema de ecuaciones polinómicas
Ecuación diofántica lineal
Ecuación lineal sobre un anillo
Teorema de Cramer (curvas algebraicas) , sobre el número de puntos generalmente suficientes para determinar una curva bivariada de grado n.

Referencias

Referencias generales

"Ecuación algebraica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Ecuación algebraica" . MathWorld .