Función elíptica

En el campo matemático del análisis complejo , las funciones elípticas son un tipo especial de funciones meromorfas que satisfacen dos condiciones de periodicidad. Se denominan funciones elípticas porque provienen de integrales elípticas . Estas integrales, a su vez, se denominan elípticas porque se utilizaron por primera vez para calcular la longitud de arco de una elipse .

Las funciones elípticas importantes son las funciones elípticas de Jacobi y la de Weierstrass.${\displaystyle \wp }$-función .

El desarrollo posterior de esta teoría condujo a las funciones hiperelípticas y a las formas modulares .

Una función meromorfa se llama función elíptica si hay dos${\displaystyle \mathbb {R} }$- números complejos linealmente independientes${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$de tal manera que

$${\displaystyle f(z+\omega _{1})=f(z){\text{ y }}f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C} .}$$

Así pues, las funciones elípticas tienen dos periodos y, por lo tanto, son funciones doblemente periódicas .

Si${\displaystyle f}$es una función elíptica con períodos${\displaystyle \omega _ {1}, \ omega _ {2}}$También sostiene que

$${\displaystyle f(z+\gamma )=f(z)}$$

para cada combinación lineal${\displaystyle \gamma =m\omega _ {1}+n\omega _ {2}}$con${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$.

El grupo abeliano

$${\displaystyle \Lambda$$ :=\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle _{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}}

se denomina red periódica .

El paralelogramo generado por${\displaystyle \omega _{1}}$y${\displaystyle \omega _{2}}$

$${\displaystyle \{\mu \omega _{1}+\nu \omega _{2}\mid 0\leq \mu ,\nu \leq 1\}}$$

es un dominio fundamental de${\displaystyle \Lambda }$actuando en${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Geométricamente, el plano complejo está cubierto de paralelogramos. Todo lo que ocurre en un dominio fundamental se repite en todos los demás. Por esa razón, podemos ver las funciones elípticas como funciones con el grupo cociente.${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$como su dominio. Este grupo cociente, llamado curva elíptica , puede visualizarse como un paralelogramo donde se identifican lados opuestos, que topológicamente es un toro . ^{[ 1 ]}

Los siguientes tres teoremas se conocen como los teoremas de Liouville (1847).

Una de las funciones elípticas más importantes es la de Weierstrass.${\displaystyle \wp }$-función. Para una red de periodos dados${\displaystyle \Lambda }$Se define por

$${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$$

Está construido de tal manera que tiene un polo de orden dos en cada punto de la red. El término${\displaystyle -{\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$Está ahí para hacer que la serie converja.

${\displaystyle \wp }$es una función elíptica par; es decir,${\displaystyle \wp (-z)=\wp (z)}$. ^{[ 6 ]}

Su derivado

$${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}}$$

es una función extraña, es decir${\displaystyle \wp '(-z)=-\wp '(z).}$^{[ 6 ]}

Uno de los principales resultados de la teoría de las funciones elípticas es el siguiente: Toda función elíptica con respecto a una red periódica dada tiene una propiedad de red elíptica.${\displaystyle \Lambda }$puede expresarse como una función racional en términos de${\displaystyle \wp }$y${\displaystyle \wp '}$. ^{[ 7 ]}

El${\displaystyle \wp }$La función satisface la ecuación diferencial.

$${\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}$$

dónde${\displaystyle g_{2}}$y${\displaystyle g_{3}}$son constantes que dependen de${\displaystyle \Lambda }$. Más precisamente,${\displaystyle g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60G_{4}(\omega _{1},\omega _{2})}$y${\displaystyle g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140G_{6}(\omega _{1},\omega _{2})}$, dónde${\displaystyle G_{4}}$y${\displaystyle G_{6}}$son las llamadas series de Eisenstein . ^{[ 8 ]}

En lenguaje algebraico, el campo de funciones elípticas es isomorfo al campo

$${\displaystyle \mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3}),}$$

donde los mapas de isomorfismo${\displaystyle \wp }$a${\displaystyle X}$y${\displaystyle \wp '}$a${\displaystyle Y}$.

• 
  Weierstrass${\displaystyle \wp }$-función con red periódica${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} +e^{2\pi i/6}\mathbb {Z} }$
• 
  Derivado del${\displaystyle \wp }$-función

La relación con las integrales elípticas tiene principalmente un trasfondo histórico. Legendre había estudiado las integrales elípticas , cuyo trabajo fue continuado por Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacobi .

Abel descubrió las funciones elípticas tomando la función inversa.${\displaystyle \varphi }$de la función integral elíptica

$${\displaystyle \alpha (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}}$$

con${\displaystyle x=\varphi (\alpha )}$. ^{[ 9 ]}

Además, definió las funciones ^{[ 10 ].}

$${\displaystyle f(\alpha )={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}$$

y

$${\displaystyle F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}.}$$

Tras su extensión al plano complejo, resultaron ser doblemente periódicas y se conocen como funciones elípticas de Abel .

Las funciones elípticas de Jacobi se obtienen de forma similar como funciones inversas de integrales elípticas.

Jacobi consideró la función integral

$${\displaystyle \xi (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$$

y lo invirtió:${\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi )}$.${\displaystyle \operatorname {sn} }$representa la amplitud sinusoidal y es el nombre de la nueva función. ^{[ 11 ]} Luego introdujo las funciones amplitud cosinusoidal y amplitud delta , que se definen de la siguiente manera:

$${\displaystyle \operatorname {cn} (\xi ):={\sqrt {1-x^{2}}}}$$$${\displaystyle \operatorname {dn} (\xi ):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}.}$$

Solo dando este paso, Jacobi pudo demostrar su fórmula general de transformación de integrales elípticas en 1827. ^{[ 12 ]}

Poco después del desarrollo del cálculo infinitesimal, el matemático italiano Giulio di Fagnano y el matemático suizo Leonhard Euler iniciaron la teoría de las funciones elípticas . Al intentar calcular la longitud de arco de una lemniscata, se encontraron con problemas que involucraban integrales que contenían la raíz cuadrada de polinomios de grado 3 y 4. ^{[ 13 ]} Era evidente que estas integrales elípticas no podían resolverse mediante funciones elementales. Fagnano observó una relación algebraica entre las integrales elípticas, la cual publicó en 1750. ^{[ 13 ]} Euler generalizó inmediatamente los resultados de Fagnano y formuló su teorema de adición algebraica para integrales elípticas. ^{[ 13 ]}

Excepto por un comentario de Landen ^{[ 14 ]} sus ideas no fueron desarrolladas hasta 1786, cuando Legendre publicó su artículo Mémoires sur les intégrations par arcs d'ellipse . ^{[ 15 ]} Legendre posteriormente estudió las integrales elípticas y las llamó funciones elípticas . Legendre introdujo una clasificación triple – tres tipos – que fue una simplificación crucial de la teoría bastante complicada en ese momento. Otras obras importantes de Legendre son: Mémoire sur les transcendantes elliptiques (1792), ^{[ 16 ]} Exercices de calcul intégral (1811–1817), ^{[ 17 ]} Traité des fonctions elliptiques (1825–1832). ^{[ 18 ]} La obra de Legendre permaneció prácticamente sin ser abordada por los matemáticos hasta 1826.

Posteriormente, Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacobi retomaron las investigaciones y pronto descubrieron nuevos resultados. Al principio invirtieron la función integral elíptica. Siguiendo una sugerencia de Jacobi en 1829, estas funciones inversas se denominan ahora funciones elípticas . Una de las obras más importantes de Jacobi es Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum , publicada en 1829. ^{[ 19 ]} El teorema de adición hallado por Euler fue planteado y demostrado en su forma general por Abel en 1829. En aquella época, la teoría de las funciones elípticas y la teoría de las funciones doblemente periódicas se consideraban teorías distintas. Briot y Bouquet las unificaron en 1856. ^{[ 20 ]} Gauss descubrió muchas de las propiedades de las funciones elípticas 30 años antes, pero nunca publicó nada al respecto. ^{[ 21 ]}

• Integral elíptica
• Curva elíptica
• Grupo modular
• Función Theta

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. «Capítulo 16» . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol.  55 (novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima edición original con correcciones (diciembre de 1972); primera  ed.). Washington D. C.; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. págs.  567, 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .   Véase también el capítulo 18 ( solo considera el caso de invariantes reales).
• NI Akhiezer , Elementos de la teoría de las funciones elípticas , (1970) Moscú, traducido al inglés como AMS Translations of Mathematical Monographs Volumen 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol , Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números , Springer-Verlag, Nueva York, 1976. ISBN 0-387-97127-0(Véase el capítulo 1.)
• E. T. Whittaker y G. N. Watson . Un curso de análisis moderno , Cambridge University Press, 1952.

• "Función elíptica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• MAA, Traducción del artículo de Abel sobre funciones elípticas.
• Funciones elípticas e integrales elípticas en YouTube , conferencia de William A. Schwalm (4 horas)
• Johansson, Fredrik (2018). "Evaluación numérica de funciones elípticas, integrales elípticas y formas modulares". arXiv : 1806.06725 [ cs.NA ].