Grupos puntuales en tres dimensiones

En geometría , un grupo puntual tridimensional es un grupo de isometrías tridimensional que mantiene fijo el origen, o, de forma equivalente, un grupo de isometrías de una esfera . Es un subgrupo del grupo ortogonal O(3), el grupo de todas las isometrías que mantienen fijo el origen, o, de forma equivalente, el grupo de matrices ortogonales . O(3) es, a su vez, un subgrupo del grupo euclidiano E(3) de todas las isometrías.

Los grupos de simetría de objetos geométricos son grupos de isometría. Por consiguiente, el análisis de grupos de isometría es un análisis de simetrías posibles . Todas las isometrías de un objeto tridimensional acotado (finito) tienen uno o más puntos fijos comunes. Siguiendo la convención habitual, elegimos el origen como uno de ellos.

El grupo de simetría de un objeto también se denomina a veces su grupo de simetría completo , en contraposición a su grupo de simetría propio , que es la intersección de su grupo de simetría completo con E ⁺ (3) , el cual consta de todas las isometrías directas , es decir, isometrías que preservan la orientación . Para un objeto acotado, el grupo de simetría propio se denomina su grupo de rotación . Es la intersección de su grupo de simetría completo con SO(3) , el grupo de rotación completo del espacio 3D. El grupo de rotación de un objeto acotado es igual a su grupo de simetría completo si y solo si el objeto es quiral .

Los grupos puntuales que se generan puramente mediante un conjunto finito de planos de reflexión que pasan por el mismo punto son los grupos finitos de Coxeter , representados por la notación de Coxeter .

Los grupos puntuales en tres dimensiones se utilizan ampliamente en química , especialmente para describir las simetrías de una molécula y de los orbitales moleculares que forman enlaces covalentes , y en este contexto también se les llama grupos puntuales moleculares .

^{Las operaciones del grupo} de simetría ( operaciones de simetría ) son las isometrías del espacio tridimensional R³ que dejan el origen fijo, formando el grupo O(3). Estas operaciones se pueden clasificar como:

• Las operaciones de simetría directa (que preservan la orientación), que forman el grupo SO(3):
  • La operación identidad, denotada por E o la matriz identidad I.
  • Rotación alrededor de un eje que pasa por el origen en un ángulo θ. La rotación en θ  =  360°/ n para cualquier entero positivo n se denota como C _n (de la notación de Schoenflies para el grupo C _n que genera ). La operación identidad, también escrita C ₁ , es un caso especial del operador de rotación.
• Las operaciones indirectas (de inversión de orientación):
  • Inversión, denotada por i o C _i , es decir, rotación de 180° alrededor de un eje de coordenadas seguida de una reflexión en el plano de coordenadas ortogonal. La notación matricial es −I .
  • Reflexión en un plano que pasa por el origen, denotada por σ.
  • La rotación impropia , también llamada rotación-reflexión, es una rotación alrededor de un eje con un ángulo θ, combinada con una reflexión en el plano que pasa por el origen y es perpendicular al eje. La rotación-reflexión con un ángulo θ  =  360°/ n para cualquier entero positivo n se denota como S _n (de la notación de Schoenflies para el grupo S _n que genera si n es par).

La inversión es un caso especial de rotación-reflexión (i  = S ₂ ), al igual que la reflexión (σ = S ₁ ), por lo que estas operaciones a menudo se clasifican como rotaciones impropias.   

A veces se añade un acento circunflejo al símbolo para indicar un operador, como en Ĉ _n y Ŝ _n .

Al comparar el tipo de simetría de dos objetos, el origen se elige para cada uno por separado, es decir, no es necesario que tengan el mismo centro. Además, se considera que dos objetos son del mismo tipo de simetría si sus grupos de simetría son subgrupos conjugados de O(3) (dos subgrupos H ₁ , H ₂ de un grupo G son conjugados si existe g ∈ G tal que H ₁ = g ⁻¹ H ₂ g ).

Por ejemplo, dos objetos 3D tienen el mismo tipo de simetría:

• si ambos tienen simetría especular, pero con respecto a un plano de simetría diferente
• si ambos tienen simetría rotacional triple, pero con respecto a un eje diferente.

En el caso de múltiples planos de simetría y/o ejes de rotación, dos grupos de simetría son del mismo tipo simétrico si y solo si existe una rotación que mapea toda la estructura del primer grupo de simetría a la del segundo. (De hecho, habrá más de una rotación de este tipo, pero no un número infinito como cuando solo hay un plano de simetría o un eje). La definición de conjugación también permitiría una imagen especular de la estructura, pero esto no es necesario, ya que la estructura en sí es aquiral. Por ejemplo, si un grupo de simetría contiene un eje de rotación triple, contiene rotaciones en dos direcciones opuestas. (La estructura es quiral para 11 pares de grupos espaciales con un eje helicoidal).

Existen muchos grupos de isometría infinitos ; por ejemplo, el " grupo cíclico " (es decir, generado por un solo elemento, que no debe confundirse con un grupo de torsión ) generado por una rotación de un número irracional de vueltas alrededor de un eje. Podemos crear grupos abelianos no cíclicos añadiendo más rotaciones alrededor del mismo eje. El conjunto de puntos en un círculo a grados racionales alrededor del círculo ilustra un grupo puntual que requiere un número infinito de generadores . También existen grupos no abelianos generados por rotaciones alrededor de diferentes ejes. Estos suelen ser grupos libres (genéricamente) . Serán infinitos a menos que las rotaciones se elijan específicamente.

Todos los grupos infinitos mencionados hasta ahora no son subgrupos topológicos cerrados de O(3). A continuación, analizaremos los subgrupos topológicamente cerrados de O(3).

El grupo de simetría O(3) completo es el grupo de simetría de la simetría esférica ; SO(3) es el grupo de rotación correspondiente. Los demás grupos de isometría infinitos consisten en todas las rotaciones alrededor de un eje que pasa por el origen, y aquellas con reflexión adicional en los planos que pasan por el eje, y/o reflexión en el plano que pasa por el origen, perpendicular al eje. Aquellas con reflexión en los planos que pasan por el eje, con o sin reflexión en el plano que pasa por el origen perpendicular al eje, son los grupos de simetría para los dos tipos de ^simetría cilíndrica . Cualquier forma 3D (subconjunto de R³ ) que tenga simetría rotacional infinita también debe tener simetría especular para cada plano que pasa por el eje. Los objetos físicos que tienen simetría rotacional infinita también tendrán la simetría de planos especulares que pasan por el eje, pero los campos vectoriales pueden no tenerla, por ejemplo, los vectores de velocidad de un cono que gira alrededor de su eje, o el campo magnético que rodea un cable. ^{[ 1 ]}

Hay siete grupos continuos que son, en cierto sentido, límites de los grupos de isometría finita. Estos llamados grupos puntuales límite o grupos límite de Curie reciben su nombre de Pierre Curie, quien fue el primero en investigarlos. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Las siete series infinitas de grupos axiales conducen a cinco grupos límite (dos de ellos duplicados), y los siete grupos puntuales restantes producen dos grupos continuos más. En notación internacional, la lista es ∞, ∞2, ∞/m, ∞mm, ∞/mm, ∞∞ y ∞∞m. ^{[ 3 ]} No todos estos son posibles para objetos físicos; por ejemplo, los objetos con simetría ∞∞ también tienen simetría ∞∞m. Véase más abajo para otras designaciones y más detalles.

Las simetrías en 3D que mantienen fijo el origen se caracterizan completamente por simetrías en una esfera centrada en el origen. Para grupos puntuales finitos en 3D, véase también grupos de simetría esférica .

Salvo conjugación, el conjunto de grupos puntuales 3D finitos consta de:

• §  Las siete series infinitas de grupos axiales , que tienen como máximo un eje de rotación mayor que 2; son los grupos de simetría finitos en un cilindro infinito , o equivalentemente, aquellos en un cilindro finito. A veces se les llama grupos puntuales axiales o prismáticos.
• §  Los siete grupos de puntos restantes , que tienen múltiples ejes de rotación de orden 3 o más; estos grupos también pueden caracterizarse como grupos de puntos que tienen múltiples ejes de rotación de orden 3. Las combinaciones posibles son:
  • Cuatro ejes de simetría triple (las tres simetrías tetraédricas T , T _h y T _d )
  • Cuatro ejes de simetría triple y tres ejes de simetría cuádruple ( simetrías octaédricas O y O _h )
  • Diez ejes de simetría triple y seis ejes de simetría quíntuple ( simetrías icosaédricas I y I _h ).

Según el teorema de restricción cristalográfica , solo un número limitado de grupos puntuales son compatibles con la simetría traslacional discreta : 27 de las 7 series infinitas y 5 de las otras 7. En conjunto, estos conforman los 32 denominados grupos puntuales cristalográficos .

La serie infinita de grupos axiales o prismáticos tiene un índice n , que puede ser cualquier entero; en cada serie, el n- ésimo grupo de simetría contiene simetría rotacional n -ésima alrededor de un eje, es decir, simetría respecto a una rotación de un ángulo de 360°/ n . n = 1 cubre los casos en los que no hay simetría rotacional alguna. Hay cuatro series sin otros ejes de simetría rotacional (véase simetrías cíclicas ) y tres con ejes adicionales de simetría doble (véase simetría diedral ). Pueden entenderse como grupos puntuales en dos dimensiones extendidos con una coordenada axial y reflexiones en ella. Están relacionados con los grupos de friso ; ^{[ 4 ]} pueden interpretarse como patrones de grupos de friso repetidos n veces alrededor de un cilindro.

La siguiente tabla enumera varias notaciones para grupos puntuales: notación de Hermann-Mauguin (utilizada en cristalografía ), notación de Schönflies (utilizada para describir la simetría molecular ), notación de orbifold y notación de Coxeter . Las tres últimas no solo están convenientemente relacionadas con sus propiedades, sino también con el orden del grupo. La notación de orbifold es una notación unificada, aplicable también a grupos de papel tapiz y grupos de friso . Los grupos cristalográficos tienen n restringido a 1, 2, 3, 4 y 6; al eliminar la restricción cristalográfica se permite cualquier entero positivo. Las series son:

Para n impar tenemos Z _{2 n} = Z _n × Z ₂ y Dih _{2 n} = Dih _n × Z ₂ .

Los grupos C _n (incluido el trivial C ₁ ) y D _n son quirales, los demás son aquirales.

Los términos horizontal (h) y vertical (v), y los subíndices correspondientes, se refieren al plano de simetría adicional, que puede ser paralelo al eje de rotación (vertical) o perpendicular al eje de rotación (horizontal).

Los grupos axiales no triviales más simples son equivalentes al grupo abstracto Z ₂ :

• C _i (equivalente a S ₂ ) – simetría de inversión
• C ₂ (equivalente a D ₁ ) – simetría rotacional doble
• C _s (equivalente a C _1h y C _1v ) – simetría de reflexión , también llamada simetría bilateral .

El segundo de estos es el primero de los grupos uniaxiales ( grupos cíclicos ) C _n de orden n (también aplicable en 2D), que se generan mediante una única rotación de ángulo 360°/ n . Además, se puede añadir un plano de simetría perpendicular al eje, dando el grupo C _{n h} de orden 2 n , o un conjunto de n planos de simetría que contienen el eje, dando el grupo C _{n v} , también de orden 2 n . Este último es el grupo de simetría para una pirámide regular de n lados . Un objeto típico con grupo de simetría C _n o D _n es una hélice .

Si se suman los planos de reflexión horizontales y verticales, sus intersecciones dan n ejes de rotación de 180°, por lo que el grupo deja de ser uniaxial. Este nuevo grupo de orden 4 n se denomina D _{n h} . Su subgrupo de rotaciones es el grupo diedral D _n de orden 2 n , que aún conserva los ejes de rotación dobles perpendiculares al eje de rotación principal, pero sin planos de reflexión.

Nota: en 2D, D _n incluye reflexiones, que también pueden verse como voltear objetos planos sin distinción entre cara frontal y posterior; pero en 3D, las dos operaciones se distinguen: D _n contiene "voltear", no reflexiones.

Hay otro grupo en esta familia, llamado D _{n d} (o D _{n v} ), que tiene planos de simetría verticales que contienen el eje de rotación principal, pero en lugar de tener un plano de simetría horizontal, tiene una isometría que combina una reflexión en el plano horizontal y una rotación por un ángulo de 180°/ n . D _{n h} es el grupo de simetría para un prisma n -gonal "regular" y también para una bipirámide n -gonal "regular" . D _{n d es el grupo de simetría para un} antiprisma n -gonal "regular" y también para un trapezoedro n- gonal "regular" . D _n es el grupo de simetría de un prisma parcialmente rotado ("torsionado").

Los grupos D ₂ y D _2h son notables porque no tienen un eje de rotación especial. En cambio, tienen tres ejes de simetría doble perpendiculares. D ₂ es un subgrupo de todas las simetrías poliédricas (véase más abajo), y D _2h es un subgrupo de los grupos poliédricos T _h y O _h . D ₂ aparece en moléculas como el twistano y en homotetrámeros como la concanavalina A. Los elementos de D ₂ están en correspondencia 1:2 con las rotaciones dadas por los cuaterniones de Lipschitz unitarios .

El grupo S _n se genera mediante la combinación de una reflexión en el plano horizontal y una rotación de un ángulo de 360°/n. Para n impar, esto es igual al grupo generado por ambos por separado, C _{n h} de orden 2 n , y por lo tanto no se necesita la notación S _n ; sin embargo, para n par es distinto y de orden n . Al igual que D _{n d} , contiene varias rotaciones impropias sin contener las rotaciones correspondientes.

Todos los grupos de simetría en la serie infinita de 7 son diferentes, excepto los siguientes cuatro pares de grupos mutuamente iguales:

• C _1h y C _1v : grupo de orden 2 con una sola reflexión ( C _s )
• D ₁ y C ₂ : grupo de orden 2 con una única rotación de 180°
• D _1h y C _2v : grupo de orden 4 con una reflexión en un plano y una rotación de 180° a través de una línea en ese plano.
• D _1d y C _2h : grupo de orden 4 con una reflexión en un plano y una rotación de 180° a través de una línea perpendicular a ese plano.

S ₂ es el grupo de orden 2 con una sola inversión ( C _i ).

Aquí, "igual" significa idéntico salvo conjugación en el espacio. Esto es más fuerte que "salvo isomorfismo algebraico". Por ejemplo, hay tres grupos diferentes de orden dos en el primer sentido, pero solo uno en el segundo. De manera similar, por ejemplo, S _{2 n} es algebraicamente isomorfo con Z _{2 n} .

Los grupos se pueden construir de la siguiente manera:

• C _n . Generado por un elemento también llamado C _n , que corresponde a una rotación de ángulo 2π/ n alrededor del eje. Sus elementos son E (la identidad), C _n , C _n ² , ..., C _n ^{n −1} , correspondientes a ángulos de rotación 0, 2π/ n , 4π/ n , ..., 2( n  −  1)π/ n .
• S _{2 n} . Generado por el elemento C _{2 n} σ _h , donde σ _h es una reflexión en la dirección del eje. Sus elementos son los elementos de C _n con C _{2 n} σ _h , C _{2 n} ³ σ _h , ..., C _{2 n} ^{2 n −1} σ _h añadidos.
• C _{n h} . Generado por el elemento C _n y la reflexión σ _h . Sus elementos son los elementos del grupo C _n , con los elementos σ _h , C _n σ _h , C _n ² σ _h , ..., C _n ^{n −1} σ _h añadidos.
• C _{n v} . Generado por el elemento C _n y la reflexión σ _v en una dirección en el plano perpendicular al eje. Sus elementos son los elementos del grupo C _n , con los elementos σ _v , C _n σ _v , C _n ² σ _v , ..., C _n ^{n −1} σ _v añadidos.
• D _n . Generado por el elemento C _n y una rotación de 180° U = σ _h σ _v alrededor de una dirección en el plano perpendicular al eje. Sus elementos son los elementos del grupo C _n , con los elementos U, C _n U, C _n ² U, ..., C _n ^{n  −  1} U añadidos.
• D _{n d} . Generado por los elementos C _{2 n} σ _h y σ _v . Sus elementos son los elementos del grupo C _n y los elementos adicionales de S _{2 n} y C _{n v} , con los elementos C _{2 n} σ _h σ _v , C _{2 n} ³ σ _h σ _v , ..., C _{2 n} ^{2 n  −  1} σ _h σ _v añadidos.
• D _{n h} . Generado por los elementos C _n , σ _h , y σ _v . Sus elementos son los elementos del grupo C _n y los elementos adicionales de C _{n h} , C _{n v} , y D _n .

Los grupos con rotaciones axiales continuas se designan sustituyendo n por ∞ . Sin embargo, cabe señalar que C _∞ no es lo mismo que el grupo cíclico infinito (también designado a veces C _∞ ), que es isomorfo a los enteros. La siguiente tabla muestra los cinco grupos de rotación axial continua. Son límites de los grupos finitos solo en el sentido de que surgen cuando la rotación principal se reemplaza por una rotación de un ángulo arbitrario, no necesariamente un número racional de grados como en los grupos finitos. Los objetos físicos solo pueden tener simetría C _∞v o D _∞h , pero los campos vectoriales pueden tener las demás.

Se dice que los grupos puntuales restantes son de simetría muy alta o poliédrica porque tienen más de un eje de rotación de orden mayor que 2. Aquí, C _n denota un eje de rotación de 360°/n y S _n denota un eje de rotación impropia que pasa por el mismo. En líneas sucesivas se encuentran la notación de orbifold , la notación de Coxeter y el diagrama de Coxeter , y la notación de Hermann-Mauguin (completa y abreviada si es diferente) y el orden (número de elementos) del grupo de simetría. Los grupos son:

Los grupos continuos relacionados con estos grupos son:

• ∞∞, K o SO(3) , todas rotaciones posibles.
• ∞∞m, K _h , u O(3) , todas las rotaciones y reflexiones posibles.

Como se indicó anteriormente para los grupos de isometría infinitos , cualquier objeto físico que tenga simetría K también tendrá simetría K _{h .}

Los grupos puntuales reflectantes en tres dimensiones también se denominan grupos de Coxeter y pueden representarse mediante un diagrama de Coxeter-Dynkin , constituyendo un conjunto de espejos que se intersecan en un punto central. La notación de Coxeter ofrece una notación entre corchetes equivalente al diagrama de Coxeter, con símbolos de marcado para grupos puntuales rotacionales y de otras subsimetrías. En la notación de Schoenflies, los grupos puntuales reflectantes en 3D son C _{n v} , D _{n h} , y los grupos poliédricos completos T , O , e I .

Los planos de simetría delimitan un conjunto de dominios triangulares esféricos en la superficie de una esfera. Un grupo de Coxeter de rango n tiene n planos de simetría. Los grupos de Coxeter con menos de 3 generadores tienen dominios triangulares esféricos degenerados, como lunas o un hemisferio . En la notación de Coxeter, estos grupos son de simetría tetraédrica [3,3], octaédrica [4,3], icosaédrica [5,3] y diedral [p,2]. El número de simetrías para un grupo irreducible es nh/2 , donde h es el número de Coxeter del grupo y n es la dimensión (3). ^{[ 5 ]}

Los grupos de rotación, es decir, los subgrupos finitos de SO(3), son: los grupos cíclicos C _n (el grupo de rotación de una pirámide canónica ), los grupos diedrales D _n (el grupo de rotación de un prisma uniforme o bipirámide canónica ) y los grupos de rotación T , O e I de un tetraedro regular , octaedro / cubo e icosaedro / dodecaedro .

En particular, los grupos diedrales D3 , D4 _{, etc.} , son grupos de rotación de polígonos regulares planos incrustados en el espacio tridimensional, y dicha figura puede considerarse como un prisma regular degenerado. Por lo tanto, también se le llama diedro (del griego: sólido con dos caras), lo que explica el nombre de grupo diedral .

• Un objeto que tiene grupo de simetría C _n , C _{n h} , C _{n v} o S _{2 n} tiene grupo de rotación C _n .
• Un objeto que tiene grupo de simetría D _n , D _{n h} , o D _{n d} tiene grupo de rotación D _n .
• Un objeto que tiene una simetría poliédrica ( T , T _d , T _h , O , O _h , I o I _h ​​) tiene como su grupo de rotación el correspondiente sin subíndice: T , O o I .

El grupo de rotación de un objeto es igual a su grupo de simetría completo si y solo si el objeto es quiral . En otras palabras, los objetos quirales son aquellos cuyo grupo de simetría se encuentra en la lista de grupos de rotación.

Dados en notación de Schönflies , notación de Coxeter , ( notación de orbifold ), los subgrupos de rotación son:

En 2D, el grupo cíclico de rotaciones k -ésimas C _k es, para cada entero positivo k, un subgrupo normal de O(2) y SO(2). En consecuencia, en 3D, para cada eje, el grupo cíclico de rotaciones k -ésimas alrededor de ese eje es un subgrupo normal del grupo de todas las rotaciones alrededor de ese eje. Dado que cualquier subgrupo de índice dos es normal, el grupo de rotaciones ( C _n ) es normal tanto en el grupo ( C _{n v} ) obtenido al añadir a ( C _n ) planos de reflexión que pasan por su eje como en el grupo ( C _{n h} ) obtenido al añadir a ( C _n ) un plano de reflexión perpendicular a su eje.

Hay dos grupos puntuales discretos que poseen la propiedad de que ningún otro grupo puntual discreto los tiene como subgrupo propio: _{Oh e} Ih . Su mayor subgrupo común es Th _. Los dos grupos se obtienen a partir de él cambiando la simetría rotacional de orden 2 a orden 4 y añadiendo la simetría de orden 5, respectivamente.

Hay dos grupos puntuales cristalográficos con la propiedad de que ningún grupo puntual cristalográfico lo tiene como subgrupo propio: O _h y D _6h . Sus subgrupos comunes máximos, dependiendo de la orientación, son D _3d y D _2h .

A continuación, los grupos explicados anteriormente se organizan por tipo de grupo abstracto.

Los grupos abstractos más pequeños que no son ningún grupo de simetría en 3D son el grupo de cuaterniones (de orden 8), Z ₃ × Z ₃ (de orden 9), el grupo dicíclico Dic ₃ (de orden 12) y 10 de los 14 grupos de orden 16.

La columna "# de elementos de orden 2" en las siguientes tablas muestra el número total de subgrupos de isometría de los tipos C ₂ , C _i , C _s . Este número total es una de las características que ayudan a distinguir los distintos tipos de grupos abstractos, mientras que su tipo de isometría ayuda a distinguir los distintos grupos de isometría del mismo grupo abstracto.

Dentro de las posibilidades de grupos isométricos en 3D, existen infinitos tipos de grupos abstractos con 0, 1 y 3 elementos de orden 2, dos con 4n + 1 elementos de orden 2 y tres con 4n + 3 elementos de orden 2 (para cada n ≥ 8). Nunca existe un número par positivo de elementos de orden 2.

El dominio fundamental de un grupo puntual es un sólido cónico . Un objeto con una simetría y orientación determinadas se caracteriza por su dominio fundamental. Si el objeto es una superficie, se caracteriza por una superficie en el dominio fundamental que se extiende hasta sus caras radiales o superficies. Si las copias de la superficie no encajan, se pueden añadir caras o superficies radiales. De todos modos, encajan si el dominio fundamental está delimitado por planos de reflexión.

Para un poliedro, esta superficie en el dominio fundamental puede formar parte de un plano arbitrario. Por ejemplo, en el triacontaedro disdiakis, una cara completa constituye un dominio fundamental de simetría icosaédrica . Ajustando la orientación del plano, se obtienen diversas posibilidades de combinar dos o más caras adyacentes en una sola, dando lugar a otros poliedros con la misma simetría. El poliedro es convexo si la superficie se ajusta a sus copias y la línea radial perpendicular al plano se encuentra en el dominio fundamental.

Además, la superficie en el dominio fundamental puede estar compuesta por múltiples caras.

La aplicación Spin(3)  →  SO(3) es el recubrimiento doble del grupo de rotación por el grupo de espín en 3 dimensiones. (Este es el único recubrimiento conexo de SO(3), ya que Spin(3) es simplemente conexo). Por el teorema de la red , existe una conexión de Galois entre subgrupos de Spin(3) y subgrupos de SO(3) (grupos puntuales rotacionales): la imagen de un subgrupo de Spin(3) es un grupo puntual rotacional, y la preimagen de un grupo puntual es un subgrupo de Spin(3). (Cabe destacar que Spin(3) tiene descripciones alternativas como el grupo unitario especial SU(2) y como el grupo de cuaterniones unitarios . Topológicamente, este grupo de Lie es la esfera tridimensional S³ ⁾ .

La preimagen de un grupo puntual finito se denomina grupo poliédrico binario , representado como ⟨l,n,m⟩, y se conoce con el mismo nombre que su grupo puntual, con el prefijo binario , y con el doble de orden que el grupo poliédrico correspondiente (l,m,n). Por ejemplo, la preimagen del grupo icosaédrico (2,3,5) es el grupo icosaédrico binario ⟨2,3,5⟩.

Los grupos poliédricos binarios son:

• ${\displaystyle A_{n}}$: grupo cíclico binario de un ( n  +  1)-gono, orden 2n
• ${\displaystyle D_{n}}$: grupo diedral binario de un n -gono, ⟨2,2, n ⟩, orden 4 n
• ${\displaystyle E_{6}}$: grupo tetraédrico binario , ⟨2,3,3⟩, orden 24
• ${\displaystyle E_{7}}$: grupo octaédrico binario , ⟨2,3,4⟩, orden 48
• : grupo icosaédrico binario , ⟨2,3,5⟩, orden 120

Estos se clasifican según la clasificación ADE , y el cociente de C ² por la acción de un grupo poliédrico binario es una singularidad de Du Val . ^{[ 6 ]}

Para grupos de puntos que invierten la orientación, la situación es más complicada, ya que hay dos grupos de pines , por lo que hay dos posibles grupos binarios que corresponden a un grupo de puntos dado.

Nótese que se trata de una cobertura de grupos, no de espacios ; la esfera es simplemente conexa y, por lo tanto, no tiene espacios de cobertura . En consecuencia, no existe la noción de un "poliedro binario" que cubra un poliedro tridimensional. Los grupos poliédricos binarios son subgrupos discretos de un grupo Spin y, bajo una representación de este grupo, actúan sobre un espacio vectorial y pueden estabilizar un poliedro en dicha representación. Bajo la aplicación Spin(3) → SO(3), actúan sobre el mismo poliedro que el grupo subyacente (no binario), mientras que bajo representaciones Spin u otras representaciones pueden estabilizar otros poliedros.

Esto contrasta con los poliedros proyectivos : la esfera sí cubre el espacio proyectivo (y también los espacios lenticulares ), y por lo tanto, una teselación del espacio proyectivo o del espacio lenticular produce una noción distinta de poliedro.

• Descripción gráfica de los 32 grupos puntuales cristalográficos : forman las primeras partes (excepto n = 5) de las 7 series infinitas y 5 de los 7 grupos puntuales 3D separados.
• Descripción general de las propiedades de los grupos puntuales
• Poliedros canónicos más simples de cada tipo de simetría (utiliza Java)
• Grupos puntuales y sistemas cristalinos , por Yi-Shu Wei, págs.  4-6
• El Centro de Geometría: 10.1 Fórmulas para simetrías en coordenadas cartesianas (tres dimensiones)