Grupos de puntos en cuatro dimensiones

En geometría , un grupo de puntos en cuatro dimensiones es un grupo isométrico en cuatro dimensiones que deja el origen fijo, o correspondientemente, un grupo isométrico de una 3-esfera .

• 1889 Édouard Goursat , Sur les sustituciones ortogonales et les divisiones régulières de l'espace , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Sér. 3, 6, (págs. 9–102, págs. 80–81 tetraedros), tetraedro de Goursat
• 1951, AC Hurley, Grupos de rotación finita y clases de cristales en cuatro dimensiones , Actas de la Cambridge Philosophical Society, vol. 47, número 04, pág. 650 ^[1]
• 1962 AL MacKay Bravais Redes en el espacio cuatridimensional ^[2]
• 1964 Patrick du Val , Homografías, cuaterniones y rotaciones , grupos puntuales 4D basados ​​en cuaterniones
• 1975 Jan Mozrzymas, Andrzej Solecki, Grupos puntuales R4 , Informes sobre física matemática, volumen 7, número 3, págs. 363-394 ^[3]
• 1978 H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek y H. Zassenhaus, Grupos cristalográficos del espacio de cuatro dimensiones. ^[4]
• 1982 NP Warner, Los grupos de simetría de las teselaciones regulares de S2 y S3 ^[5]
• 1985 EJW Whittaker, Un atlas de hiperestereogramas de las clases de cristales de cuatro dimensiones
• 1985 HSM Coxeter , Politopos regulares y semirregulares II , Notación de Coxeter para grupos de puntos 4D
• 2003 John Conway y Smith, Sobre cuaterniones y octoniones , Grupos de puntos 4D basados ​​en cuaterniones completados
• 2018 NW Johnson Geometries and Transformations , Capítulo 11, 12, 13, Grupos policóricos completos, pág. 249, grupos duoprismáticos, pág. 269

Hay cuatro isometrías básicas de simetría puntual de cuatro dimensiones : simetría de reflexión , simetría rotacional , rotoreflexión y doble rotación .

Los grupos puntuales de este artículo se dan en notación de Coxeter , que se basa en grupos de Coxeter , con marcas para grupos extendidos y subgrupos. ^[6] La notación de Coxeter tiene una correspondencia directa con el diagrama de Coxeter como [3,3,3], [4,3,3], [3 ^1,1,1 ], [3,4,3], [5,3,3] y [p,2,q]. Estos grupos limitan la 3-esfera en dominios tetraédricos hiperesféricos idénticos. El número de dominios es el orden del grupo. El número de espejos para un grupo irreducible es nh/2 , donde h es el número de Coxeter del grupo de Coxeter , n es la dimensión (4). ^[7]

Para referencias cruzadas, también se dan aquí notaciones basadas en cuaterniones de Patrick du Val (1964) ^[8] y John Conway (2003). ^[9] La notación de Conway permite calcular el orden del grupo como un producto de elementos con órdenes de grupo poliédricos quirales: (T=12, O=24, I=60). En la notación de Conway, un prefijo (±) implica inversión central , y un sufijo (.2) implica simetría especular. De manera similar, la notación de Du Val tiene un asterisco (*) como superíndice para la simetría especular.

Hay cinco grupos involutivos : sin simetría [ ] ⁺ , simetría de reflexión [ ], simetría rotacional doble [2] ^{+ ,} rotoreflexión doble [2 ⁺ ,2 ⁺ ] y simetría de punto central [2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ^{+ ] como una} doble rotación doble .

Un grupo policórico es uno de los cinco grupos de simetría de los politopos regulares de 4 dimensiones . También hay tres grupos prismáticos poliédricos y un conjunto infinito de grupos duoprismáticos. Cada grupo está definido por un dominio fundamental de tetraedro de Goursat limitado por planos de espejo. Los ángulos diedros entre los espejos determinan el orden de simetría diedra . El diagrama de Coxeter-Dynkin es un gráfico donde los nodos representan planos de espejo y las aristas se denominan ramas y se etiquetan por su orden de ángulo diedro entre los espejos.

El término polychoron (plural polychora , adjetivo policórico ), proviene de las raíces griegas poly ("muchos") y choros ("habitación" o "espacio") y fue defendido ^[10] por Norman Johnson y George Olshevsky en el contexto de polychora uniforme (4-politopos), y sus grupos de simetría de 4 dimensiones relacionados. ^[11]

Los grupos de Coxeter de rango 4 permiten que un conjunto de 4 espejos abarque el espacio cuatridimensional y dividen la esfera tridimensional en dominios fundamentales tetraédricos. Los grupos de Coxeter de rango inferior solo pueden limitar dominios fundamentales hosoédricos u hosótopos en la esfera tridimensional.

Al igual que los grupos poliédricos 3D , los nombres de los grupos policóricos 4D dados se construyen con los prefijos griegos de los recuentos de celdas de los politopos regulares con caras triangulares correspondientes. ^[12] Existen simetrías extendidas en policoras uniformes con patrones de anillos simétricos dentro de la construcción del diagrama de Coxeter . Existen simetrías quirales en policoras uniformes alternadas .

Sólo los grupos irreducibles tienen números de Coxeter, pero los grupos duoprismáticos [p,2,p] se pueden duplicar a p,2,p añadiendo un giro doble al dominio fundamental, y esto da un número de Coxeter efectivo de 2 p , por ejemplo el [4,2,4] y su grupo de simetría completa B _{4 , [4,3,3] con número de Coxeter 8.}

El orden de simetría es igual al número de células del policoro regular multiplicado por la simetría de sus células. Los policoros duales omnitruncados tienen células que coinciden con los dominios fundamentales del grupo de simetría.

Los subgrupos directos de los grupos puntuales reflexivos de 4 dimensiones son:

• Grupo pentacórico – A ₄ , [3,3,3], (), orden 120, (Du Val #51' (I ^† /C ₁ ;I/C ₁ ) ^†* , Conway + ¹ / ₆₀ [I×I].2 ₁ ), llamado así por las 5 células (pentachoron), dado por el diagrama de Coxeter anillado . También se le denomina a veces grupo hipertetraédrico por extender el grupo tetraédrico [3,3]. Hay 10 hiperplanos especulares en este grupo. Es isomorfo al grupo simétrico abstracto S ₅ .
  • El grupo pentacórico extendido , Aut ( A ₄ ), [[3,3,3]], (La duplicación se puede insinuar mediante un diagrama plegado,), orden 240, (Du Val #51 (I ^†* /C ₂ ;I/C ₂ ) ^†* , Conway ± ¹ / ₆₀ [I× I ].2). Es isomorfo al producto directo de grupos abstractos: S ₅ ×C ₂ .
    • El grupo pentacórico extendido quiral es [[3,3,3]] ⁺ , (), orden 120, (Du Val #32 (I ^† /C ₂ ;I/C ₂ ) ^† , Conway ± ¹ / ₆₀ [Ix I ]). Este grupo representa la construcción del omnisnub de 5 celdas ,, aunque no se puede uniformizar. Es isomorfo al producto directo de grupos abstractos: A ₅ × C ₂ .
  • El grupo pentacórico quiral es [3,3,3] ⁺ , (), orden 60, (Du Val #32' (I ^† /C ₁ ;I/C ₁ ) ^† , Conway + ¹ / ₆₀ [I× I ]). Es isomorfo al grupo alternante abstracto , A ₅ .
    • El grupo pentacórico quiral extendido es [[3,3,3] ⁺ ], orden 120, (Du Val #51" (I ^† /C ₁ ;I/C ₁ ) _– ^†* , Conway + ¹ / ₆₀ [IxI].2 ₃ ). Coxeter relaciona este grupo con el grupo abstracto (4,6|2,3). ^[13] También es isomorfo al grupo simétrico abstracto , S ₅ .

• Grupo hexadecacórico – B ₄ , [4,3,3], (), orden 384, (Du Val #47 (O/V;O/V) ^* , Conway ± ¹ / ₆ [O×O].2), llamado así por las 16 células (hexadecacoron),Hay 16 hiperplanos especulares en este grupo, que se pueden identificar en 2 conjuntos ortogonales: 12 de un subgrupo [3 ^1,1,1 ] y 4 de un subgrupo [2,2,2]. También se le llama grupo hiperoctaédrico para extender el grupo octaédrico 3D [4,3] y grupo teseractico para el teseracto ..
  • El grupo hexadecacórico quiral es [4,3,3] ⁺ , (), orden 192, (Du Val #27 (O/V;O/V), Conway ± ¹ / ₆ [O×O]). Este grupo representa la construcción de un teseracto omnisnub ,, aunque no se puede uniformizar.
  • El grupo hexadecacórico disminuido iónico es [4,(3,3) ⁺ ], (), orden 192, (Du Val #41 (T/V;T/V) ^* , Conway ± ¹ / ₃ [T×T].2). Este grupo conduce al snub de 24 celdas con construcción.
  • El grupo semihexadecacórico es [1 ⁺ ,4,3,3], (=), orden 192, y lo mismo que la simetría #demitesseractic: [3 ^1,1,1 ]. Este grupo se expresa en la construcción alternada de teseracto de 16 celdas ,=.
    • El grupo [1 ⁺ ,4,(3,3) ⁺ ], (=), orden 96, y es el mismo que el grupo demiteseractico quiral [3 ^1,1,1 ] ⁺ y también es el subgrupo conmutador de [4,3,3].
  • Un subgrupo reflectante de alto índice es la simetría octaédrica prismática , [4,3,2] (), orden 96, índice de subgrupo 4, (Du Val #44 (O/C ₂ ;O/C ₂ ) ^* , Conway ± ¹ / ₂₄ [O×O].2). El prisma cúbico truncado tiene esta simetría con el diagrama de Coxeter.y el prisma cúbico es una construcción de simetría inferior del teseracto , como.
    • Su subgrupo quiral es [4,3,2] ⁺ , (), orden 48, (Du Val #26 (O/C ₂ ;O/C ₂ ), Conway ± ¹ / ₂₄ [O×O]). Un ejemplo es el antiprisma cúbico romo ,, aunque no se puede uniformizar.
    • Los subgrupos iónicos son:
      • [(3,4) ⁺ ,2], (), orden 48, (Du Val #44b' (O/C ₁ ;O/C ₁ ) ₋ ^* , Conway + ¹ / ₂₄ [O×O].2 ₁ ). El prisma cúbico romo tiene esta simetría con el diagrama de Coxeter.
        • [(3,4) ⁺ ,2 ⁺ ], (), orden 24, (Du Val #44' (T/C ₂ ;T/C ₂ ) ₋ ^* , Conway + ¹ / ₁₂ [T×T].2 ₁ ).
      • [4,3 ⁺ ,2], (), orden 48, (Du Val #39 (T/C ₂ ;T/C ₂ ) _c ^* , Conway ± ¹ / ₁₂ [T×T].2).
        • [4,3 ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [4,3 ⁺ ,1] = [4,3 ⁺ ], (=), orden 24, (Du Val #44" (T/C ₂ ;T/C ₂ ) ^* , Conway + ¹ / ₁₂ [T×T].2 ₃ ). Este es el grupo piritoédrico 3D , [4,3 ⁺ ].
        • [3 ⁺ ,4,2 ⁺ ], (), orden 24, (Du Val #21 (T/C ₂ ;T/C ₂ ), Conway ± ¹ / ₁₂ [T×T]).
      • [3,4,2 ⁺ ], (), orden 48, (Du Val #39' (T/C ₂ ;T/C ₂ ) ₋ ^* , Conway ± ¹ / ₁₂ [T× T ].2).
      • [4,(3,2) ⁺ ], (), orden 48, (Du Val #40b' (O/C ₁ ;O/C ₁ ) ₋ ^* , Conway + ¹ / ₂₄ [O× O ].2 ₁ ).
    • Un medio subgrupo [4,3,2,1 ⁺ ] = [4,3,1] = [4,3], (=), orden 48 (Du Val #44b" (O/C ₁ ;O/C ₁ ) _c ^* , Conway + ¹ / ₂₄ [O×O].2 ₃ ). Se llama grupo piramidal octaédrico y tiene simetría octaédrica 3D , [4,3]. Una pirámide cúbica puede tener esta simetría, con el símbolo de Schläfli : ( ) ∨ {4,3}.

      

      • Un semisubgrupo quiral [(4,3) ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [4,3,1] ⁺ = [4,3] ⁺ , (=), orden 24 (Du Val #26b' (O/C ₁ ;O/C ₁ ), Conway + ¹ / ₂₄ [O×O]). Este es el grupo octaédrico quiral 3D , [4,3] ⁺ . Una pirámide cúbica chata puede tener esta simetría, con el símbolo de Schläfli: ( ) ∨ sr{4,3}.
  • Otro subgrupo reflectante de alto índice es la simetría tetraédrica prismática , [3,3,2], (), orden 48, índice de subgrupo 8, (Du Val #40b" (O/C ₁ ;O/C ₁ ) ^* , Conway + ¹ / ₂₄ [O× O ].2 ₃ ).
    • El subgrupo quiral es [3,3,2] ⁺ , (), orden 24, (Du Val #26b" (O/C ₁ ;O/C ₁ ), Conway + ¹ / ₂₄ [O× O ]). Un ejemplo es el antiprisma tetraédrico romo ,, aunque no se puede uniformizar.
    • El subgrupo iónico es [(3,3) ⁺ ,2], (), orden 24, (Du Val #39b' (T/C ₁ ;T/C ₁ ) _c ^* , Conway + ¹ / ₁₂ [T× T ].2 ₃ ). Un ejemplo es el prisma tetraédrico romo ,.
    • El medio subgrupo es [3,3,2,1 ⁺ ] = [3,3,1] = [3,3], (=), orden 24, (Du Val #39b" (T/C ₁ ;T/C ₁ ) ₋ ^* , Conway + ¹ / ₁₂ [T× T ].2 ₁ ). Se llama grupo piramidal tetraédrico y es el grupo tetraédrico 3D , [3,3]. Una pirámide tetraédrica regular puede tener esta simetría, con símbolo de Schläfli: ( ) ∨ {3,3}.

      

      • El semisubgrupo quiral [(3,3) ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [3,3] ⁺ (=), orden 12, (Du Val #21b' (T/C ₁ ;T/C ₁ ), Conway + ¹ / ₁₂ [T×T]). Este es el grupo tetraédrico quiral 3D , [3,3] ⁺ . Una pirámide tetraédrica chata puede tener esta simetría, con el símbolo de Schläfli: ( ) ∨ sr{3,3}.
  • Otro subgrupo reflectante radial de alto índice es [4,(3,3) ^* ], índice 24, elimina los espejos con ángulos diedros de orden 3, creando [2,2,2] (), orden 16. Otros son [4,2,4] (), [4,2,2] (), con índices de subgrupo 6 y 12, orden 64 y 32. Estos grupos son simetrías inferiores del teseracto : (), (), y (). Estos grupos son de simetría #duoprismática.

• Grupo icositetracórico – F ₄ , [3,4,3], (), orden 1152, (Du Val #45 (O/T;O/T) ^* , Conway ± ¹ / ₂ [OxO].2), llamado así por las 24 células (icositetracoron),Hay 24 planos especulares en esta simetría, que se pueden descomponer en dos conjuntos ortogonales de 12 espejos en simetría demiteseractica [3 ^1,1,1 ] subgrupos, como [3 ^* ,4,3] y [3,4,3 ^* ], como subgrupos de índice 6.
  • El grupo icositetracórico extendido , Aut ( F ₄ ), [[3,4,3]], () tiene orden 2304, (Du Val #48 (O/O;O/O) ^* , Conway ±[O×O].2).
    • El grupo icositetracórico extendido quiral , [[3,4,3]] ⁺ , () tiene orden 1152, (Du Val #25 (O/O;O/O), Conway ±[OxO]). Este grupo representa la construcción del 24-cell omnisnub ,, aunque no se puede uniformizar.
  • Los grupos icositetracóricos disminuidos iónicos , [3 ⁺ ,4,3] y [3,4,3+ ^] , (o), tienen orden 576, (Du Val #43 (T/T;T/T) ^* , Conway ±[T×T].2). Este grupo conduce al snub de 24 celdas con construccióno.
    • El grupo icositetracórico doblemente disminuido , [3 ⁺ ,4,3 ⁺ ] (la doble disminución se puede mostrar mediante un espacio en el diagrama de 4 ramas:), orden 288, (Du Val #20 (T/T;T/T), Conway ±[T×T]) es el subgrupo conmutador de [3,4,3].
      • Se puede extender como [[3 ⁺ ,4,3 ⁺ ]], () orden 576, (Du Val #23 (T/T;O/O), Conway ±[OxT]).
  • El grupo icositetracórico quiral es [3,4,3] ⁺ , (), orden 576, (Du Val #28 (O/T;O/T), Conway ± ¹ / ₂ [O×O]).
    • El grupo icositetracórico quiral extendido , [[3,4,3] ⁺ ] tiene orden 1152, (Du Val #46 (O/T;O/T) ₋ ^* , Conway ± ¹ / ₂ [OxO]. 2 ). Coxeter relaciona este grupo con el grupo abstracto (4,8|2,3). ^[13]

• Grupo demitesseractic – D ₄ , [3 ^1,1,1 ], [3,3 ^1,1 ] o [3,3,4,1 ⁺ ], (=), orden 192, (Du Val #42 (T/V;T/V) ₋ ^* , Conway ± ¹ / ₃ [T× T ].2), llamado así por la construcción de 4 demicubes (demiteseracto) de 16 celdas,oHay 12 espejos en este grupo de simetría.
  • Hay dos tipos de simetrías extendidas mediante la adición de espejos: <[3,3 ^1,1 ]> que se convierte en [4,3,3] al dividir el dominio fundamental mediante un espejo, con 3 orientaciones posibles; y el grupo extendido completo [3[3 ^1,1,1 ]] se convierte en [3,4,3].
  • El grupo demiteseractico quiral es [3 ^1,1,1 ] ⁺ o [1 ⁺ ,4,(3,3) ⁺ ], (=), orden 96, (Du Val #22 (T/V;T/V), Conway ± ¹ / ₃ [T×T]). Este grupo conduce al snub de 24 celdas con construcción=.

• Grupo hexacosicórico – H ₄ , [5,3,3], (), orden 14400, (Du Val #50 (I/I;I/I) ^* , Conway ±[I×I].2), llamado así por las 600 células (hexacosicoron),. También se le denomina a veces grupo hipericosaédrico por extender el grupo icosaédrico 3D [5,3], y grupo hecatonicosacórico o grupo dodecacontacórico a partir de las 120 células ..
  • El grupo hexacosicórico quiral es [5,3,3] ⁺ , (), orden 7200, (Du Val #30 (I/I;I/I), Conway ±[I×I]). Este grupo representa la construcción del snub de 120 celdas ,, aunque no se puede uniformizar.
  • Un subgrupo reflectante de alto índice es la simetría icosaédrica prismática , [5,3,2], (), orden 240, índice de subgrupo 60, (Du Val #49 (I/C ₂ ;I/C ₂ ) ^* , Conway ± ¹ / ₆₀ [IxI].2).
    • Su subgrupo quiral es [5,3,2] ⁺ , (), orden 120, (Du Val #31 (I/C ₂ ;I/C ₂ ), Conway ± ¹ / ₆₀ [IxI]). Este grupo representa la construcción del antiprisma dodecaédrico chato ,, aunque no se puede uniformizar.
    • Un subgrupo iónico es [(5,3) ⁺ ,2], (), orden 120, (Du Val #49' (I/C ₁ ;I/C ₁ ) ^* , Conway + ¹ / ₆₀ [IxI].2 ₁ ). Este grupo representa la construcción del prisma dodecaédrico romo ,.
    • Un medio subgrupo es [5,3,2,1 ⁺ ] = [5,3,1] = [5,3], (=), orden 120, (Du Val #49" (I/C ₁ ;I/C ₁ ) ₋ ^* , Conway + ¹ / ₆₀ [IxI].2 ₃ ). Se llama grupo piramidal icosaédrico y es el grupo icosaédrico 3D , [5,3]. Una pirámide dodecaédrica regular puede tener esta simetría, con símbolo de Schläfli : ( ) ∨ {5,3}.
      • Un semisubgrupo quiral es [(5,3) ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [5,3,1] ⁺ = [5,3] ⁺ , (=), orden 60, (Du Val #31' (I/C ₁ ;I/C ₁ ), Conway + ¹ / ₆₀ [IxI]). Este es el grupo icosaédrico quiral 3D , [5,3] ⁺ . Una pirámide dodecaédrica chata puede tener esta simetría, con símbolo de Schläfli : ( ) ∨ sr{5,3}.

• Grupos duoprismáticos – [p,2,q], (), orden 4 pq , existen para todos los 2 ≤  p , q  < ∞. Hay p+q espejos en esta simetría, que se descomponen trivialmente en dos conjuntos ortogonales de p y q espejos de simetría diedra : [p] y [q].
  • El subgrupo quiral es [p,2,p] ⁺ ,(), orden 2 pq . Puede duplicarse como [[2p,2,2p] ⁺ ].
  • Si p y q son iguales, [p,2,p], (), la simetría se puede duplicar como [[p,2,p]], ().
    • Duplicaciones: [[2 ⁺ ,2,p ⁺ ]], (), [[2p,2 ⁺ ,2p]], [[2p ⁺ ,2 ⁺ ,2p ^​​+ ]].
  • [p,2,∞], (), representa un grupo de líneas en el espacio tridimensional,
  • [∞,2,∞], () representa la simetría del plano euclidiano con dos conjuntos de espejos paralelos y un dominio rectangular ( orbifold *2222).
  • Los subgrupos incluyen: [p ⁺ ,2,q], (), [p,2,q ⁺ ], (), [p ⁺ ,2,q ⁺ ], ().
  • Y para valores pares: [2p,2 ⁺ ,2q], (), [2p,2 ⁺ ,2q ⁺ ], (), [(p,2) ⁺ ,2q], (), [2p,(2,q) ⁺ ], (), [(p,2) ⁺ ,2q ⁺ ], (), [2p ⁺ ,(2,q) ⁺ ], (), [2p ⁺ ,2 ⁺ ,2q ⁺ ], (), y subgrupo conmutador, índice 16, [2p ⁺ ,2 ⁺ ,2q ⁺ ] ⁺ , ().
• Grupo duoprismático digonal – [2,2,2], (), orden 16.
  • El subgrupo quiral es [2,2,2] ⁺ , (), orden 8.
  • Extendido [[2,2,2]], (), orden 32. El duoprisma 4-4 tiene esta simetría extendida,.
    • El grupo extendido quiral es [[2,2,2]] ⁺ , orden 16.
    • El subgrupo quiral extendido es [[2,2,2] ⁺ ], de orden 16, con generadores de rotorreflexión . Es isomorfo al grupo abstracto (4,4|2,2).
  • Otra extensión [(3,3)[2,2,2]]=[4,3,3], orden 384, #Simetría hexadecacórica. El teseracto tiene esta simetría, comoo.
  • Los subgrupos iónicos disminuidos son [2 ⁺ ,2,2], orden 8.
    • El subgrupo doblemente disminuido es [2 ⁺ ,2,2 ⁺ ], orden 4.
      • Extendido como [[2 ⁺ ,2,2 ⁺ ]], orden 8.
    • Los subgrupos de rotoreflexión son [2 ⁺ ,2 ⁺ ,2], [2,2 ⁺ ,2 ⁺ ], [2 ⁺ ,(2,2) ⁺ ], [(2,2) ⁺ ,2 ⁺ ] orden 4.
    • El subgrupo triplemente disminuido es [2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ], (), orden 2. Es una doble rotación y una inversión central de 4D .
  • El medio subgrupo es [1 ⁺ ,2,2,2]=[1,2,2], orden 8.
• Grupo duoprismático triangular – [3,2,3],, orden 36.
  • El subgrupo quiral es [3,2,3] ⁺ , orden 18.
  • [[3,2,3]] extendido, orden 72. El duoprisma 3-3 tiene esta simetría extendida,.
    • El grupo extendido quiral es [[3,2,3]] ⁺ , orden 36.
    • El subgrupo quiral extendido es [[3,2,3] ⁺ ], de orden 36, con generadores de rotorreflexión . Es isomorfo al grupo abstracto (4,4|2,3).
  • Otros [[3],2,3], [3,2,[3]] extendidos, de orden 72, y son isomorfos a [6,2,3] y [3,2,6].
  • Y 3,2 , 3 , orden 144, y es isomorfo a [6,2,6].
  • Y [[[3]],2,[3]]], orden 288, isomorfo a [[6,2,6]]. El duoprisma 6–6 tiene esta simetría, comoo.
  • Los subgrupos iónicos disminuidos son [3 ⁺ ,2,3], [3,2,3 ⁺ ], orden 18.
    • El subgrupo doblemente disminuido es [3 ⁺ ,2,3 ⁺ ], orden 9.
      • Extendido como [[3 ⁺ ,2,3 ⁺ ]], orden 18.
  • Un subgrupo de alto índice es [3,2], orden 12, índice 3, que es isomorfo al grupo de simetría diedro en tres dimensiones , [3,2], D _3h .
    • [3,2] ⁺ , orden 6
• Grupo duoprismático cuadrado – [4,2,4],, orden 64.
  • El subgrupo quiral es [4,2,4] ⁺ , orden 32.
  • [[4,2,4]] extendido, orden 128. El duoprisma 4–4 tiene esta simetría extendida,.
    • El grupo extendido quiral es [[4,2,4]] ⁺ , orden 64.
    • El subgrupo quiral extendido es [[4,2,4] ⁺ ], de orden 64, con generadores de rotorreflexión . Es isomorfo al grupo abstracto (4,4|2,4).
  • Otros [[4],2,4], [4,2,[4]] extendidos, de orden 128, y son isomorfos a [8,2,4] y [4,2,8]. El duoprisma 4-8 tiene esta simetría, comoo.
  • Y 4,2 , 4 , orden 256, y es isomorfo a [8,2,8].
  • Y [[[4]],2,[4]]] orden 512, isomorfo a [[8,2,8]]. El duoprisma 8–8 tiene esta simetría, comoo.
  • Los subgrupos iónicos disminuidos son [4 ⁺ ,2,4], [4,2,4 ⁺ ], orden 32.
    • El subgrupo doblemente disminuido es [4 ⁺ ,2,4 ⁺ ], orden 16.
      • Extendido como [[4 ⁺ ,2,4 ⁺ ]], orden 32.
    • Los subgrupos de rotoreflexión son [4 ⁺ ,2 ⁺ ,4], [4,2 ⁺ ,4 ⁺ ], [4 ⁺ ,(2,4) ⁺ ], [(4,2) ⁺ ,4 ⁺ ], (,,,) orden 16.
    • El subgrupo triplemente disminuido es [4 ⁺ ,2 ⁺ ,4 ⁺ ], (), orden 8.
  • Los subgrupos medios son [1 ⁺ ,4,2,4]=[2,2,4], (), [4,2,4,1 ⁺ ]=[4,2,2], (), orden 32.
    • [1 ⁺ ,4,2,4] ⁺ =[2,2,4] ⁺ , (), [4,2,4,1 ⁺ ] ⁺ =[4,2,2] ⁺ , (), orden 16.
  • La mitad del subgrupo nuevamente es [1 ⁺ ,4,2,4,1 ⁺ ]=[2,2,2], (), orden 16.
    • [1 ⁺ ,4,2,4,1 ⁺ ] ⁺ = [1 ⁺ ,4,2 ⁺ ,4,1 ⁺ ] = [2,2,2] ⁺ , () orden 8

Este es un resumen de los grupos puntuales de 4 dimensiones en notación de Coxeter . 227 de ellos son grupos puntuales cristalográficos (para valores particulares de p y q). ^{[14] [ which? ]} (nc) se proporciona para grupos no cristalográficos. Algunos grupos cristalográficos ^{[ which? ]} tienen sus órdenes indexados (order.index) por su estructura de grupo abstracta. ^[15]

• Grupo de puntos
• Grupos de puntos en dos dimensiones
• Grupos de puntos en tres dimensiones

• HSM Coxeter, Politopos regulares , 3.ª edición, Dover, Nueva York, 1973
• Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 
  • (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• HSM Coxeter y WOJ Moser. Generadores y relaciones para grupos discretos, 4.ª ed., Springer-Verlag, Nueva York, 1980, pág. 92, pág. 122.
• John H. Conway y MJT Guy : Politopos arquimedianos de cuatro dimensiones , Actas del Coloquio sobre convexidad en Copenhague, páginas 38 y 39, 1965
• NW Johnson : La teoría de los politopos uniformes y los panales de abejas , tesis doctoral, Universidad de Toronto, 1966
• NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finita , 11.5 Grupos esféricos de Coxeter , pág. 249 
• John H. Conway y Derek A. Smith, Sobre cuaterniones y octoniones , 2003, ISBN 978-1-56881-134-5 
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26) 

• Weisstein, Eric W. "Policorón uniforme". MundoMatemático .
• Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 4D".