Grupos puntuales en dos dimensiones

En geometría , un grupo puntual bidimensional o grupo roseta es un grupo de simetrías geométricas ( isometrías ) que mantienen al menos un punto fijo en un plano. Todo grupo de este tipo es un subgrupo del grupo ortogonal O(2), incluido el propio O(2). Sus elementos son rotaciones y reflexiones, y todo grupo de este tipo que contiene solo rotaciones es un subgrupo del grupo ortogonal especial SO(2), incluido el propio SO(2). Ese grupo es isomorfo a R/Z y al primer grupo unitario , U(1), un grupo también conocido como el grupo del círculo .

Los grupos puntuales bidimensionales son importantes como base para los grupos puntuales tridimensionales axiales , con la adición de reflexiones en la coordenada axial. También son importantes en las simetrías de organismos, como las estrellas de mar y las medusas , y en partes de organismos, como las flores .

Hay dos familias de grupos puntuales bidimensionales discretos, y se especifican con el parámetro n , que es el orden del grupo de rotaciones en el grupo.

Intl se refiere a la notación de Hermann-Mauguin o notación internacional, que se usa frecuentemente en cristalografía . En el límite infinito, estos grupos se convierten en grupos de líneas unidimensionales .

Si un grupo es una simetría de una red o cuadrícula bidimensional , entonces el teorema de restricción cristalográfica restringe el valor de n a 1, 2, 3, 4 y 6 para ambas familias. Por lo tanto, existen 10 grupos puntuales cristalográficos bidimensionales :

• C ₁ , C ₂ , C ₃ , C ₄ , C ₆ ,
• D ₁ , D ₂ , D ₃ , D ₄ , D ₆

Los grupos se pueden construir de la siguiente manera:

• C _n . Generado por un elemento también llamado C _n , que corresponde a una rotación por ángulo 2 π / n . Sus elementos son E (la identidad), C _n , C _n ² , ..., C _n ^{n −1} , correspondientes a ángulos de rotación 0, 2 π / n , 4 π / n , ..., 2( n − 1) π / n .
• D _n . Generado por el elemento C _n y la reflexión σ . Sus elementos son los elementos del grupo C _n , con los elementos σ , C _n σ , C _n ² σ , ..., C _n ^{n −1} σ añadidos. Estos adicionales corresponden a reflexiones a través de líneas con ángulos de orientación 0, π / n , 2 π / n , ..., ( n − 1) π / n . D _n es, por lo tanto, un producto semidirecto de C _n y el grupo (E, σ ).

Todos estos grupos tienen grupos abstractos distintos, excepto C ₂ y D ₁ , que comparten el grupo abstracto Z ₂ . Todos los grupos cíclicos son abelianos o conmutativos, pero solo dos de los grupos diedrales lo son: D ₁ ~ Z ₂ y D ₂ ~ Z ₂ ×Z ₂ . De hecho, D ₃ es el grupo no abeliano más pequeño.

Para n par , el símbolo de Hermann-Mauguin n m es una abreviatura del símbolo completo n mm, como se explica más adelante. La n en el símbolo HM denota rotaciones de orden n , mientras que la m denota planos de reflexión o simetría.

Estos grupos se construyen fácilmente con matrices ortogonales bidimensionales .

El grupo cíclico continuo SO(2) o C _∞ y sus subgrupos tienen elementos que son matrices de rotación:

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

donde SO(2) tiene cualquier posible θ . No es sorprendente que SO(2) y sus subgrupos sean todos abelianos; la suma de ángulos de rotación conmuta.

Para grupos cíclicos discretos C _n , elementos C _n ^k = R(2 π k / n )

El grupo diedral continuo O(2) o D _∞ y sus subgrupos con reflexiones tienen elementos que incluyen no solo matrices de rotación, sino también matrices de reflexión:

${\displaystyle S(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

donde O(2) tiene cualquier posible θ . Sin embargo, los únicos subgrupos abelianos de O(2) con reflexiones son D ₁ y D ₂ .

Para grupos diédricos discretos D _n , elementos C _n ^k σ = S(2 π k / n )

Cuando se utilizan coordenadas polares, la relación de estos grupos con los grupos de simetría unidimensionales se hace evidente.

Tipos de subgrupos de SO(2):

• subgrupos cíclicos finitos C _n ( n ≥ 1); para cada n existe un grupo de isometría, de tipo de grupo abstracto Z _n
• grupos finitamente generados , cada uno isomorfo a uno de la forma Z ^m${\displaystyle \oplus }$Z _n generado por C _n y m rotaciones independientes con un número irracional de vueltas, y m , n ≥ 1; para cada par ( m , n ) hay una cantidad incontable de grupos de isometría, todos iguales al grupo abstracto; para el par (1, 1) el grupo es cíclico.
• otros subgrupos contables . Por ejemplo, para un entero n , el grupo generado por todas las rotaciones de un número de vueltas igual a una potencia entera negativa de n.
• subgrupos incontables, incluido el propio SO(2)

Para cada subgrupo de SO(2) hay una clase no numerable correspondiente de subgrupos de O(2) que son mutuamente isomorfos como grupo abstracto: cada uno de los subgrupos en una clase es generado por el primer subgrupo mencionado y una sola reflexión en una línea que pasa por el origen. Estos son los grupos diedrales (generalizados) , incluyendo los finitos D _n ( n ≥ 1) de tipo de grupo abstracto Dih _n . Para n = 1 la notación común es C _s , de tipo de grupo abstracto Z ₂ .

Como subgrupos topológicos de O(2), solo los grupos de isometría finita y SO(2) y O(2) son cerrados.

Estos grupos se dividen en dos familias distintas, según consistan únicamente en rotaciones o incluyan reflexiones . Los grupos cíclicos , C _n (tipo de grupo abstracto Z _n ), consisten en rotaciones de 360°/ n y todos los múltiplos enteros. Por ejemplo, un taburete de cuatro patas tiene el grupo de simetría C ₄ , que consta de rotaciones de 0°, 90°, 180° y 270°. El grupo de simetría de un cuadrado pertenece a la familia de grupos diedrales , D _n (tipo de grupo abstracto Dih _n ), que incluye tantas reflexiones como rotaciones. La simetría rotacional infinita del círculo implica también simetría de reflexión, pero formalmente el grupo del círculo S ₁ es distinto de Dih(S ₁ ) porque este último incluye explícitamente las reflexiones.

Un grupo infinito no tiene por qué ser continuo; por ejemplo, tenemos un grupo de todos los múltiplos enteros de rotación de 360°/ √2 , que no incluye la rotación de 180°. Dependiendo de su aplicación, la homogeneidad hasta un nivel de detalle arbitrariamente fino en una dirección transversal puede considerarse equivalente a la homogeneidad total en esa dirección, en cuyo caso estos grupos de simetría pueden ignorarse.

C _n y D _n para n = 1, 2, 3, 4 y 6 se pueden combinar con simetría traslacional, a veces de más de una manera. Así, estos 10 grupos dan lugar a 17 grupos de papel tapiz .

Los grupos de simetría 2D corresponden a los grupos de isometría, excepto que la simetría según O(2) y SO(2) solo se puede distinguir en el concepto de simetría generalizada aplicable a campos vectoriales .

Además, según la aplicación, la homogeneidad hasta un nivel de detalle arbitrariamente fino en la dirección transversal puede considerarse equivalente a la homogeneidad total en esa dirección. Esto simplifica enormemente la categorización: podemos restringirnos a los subgrupos topológicos cerrados de O(2): los finitos y O(2) ( simetría circular ), y para campos vectoriales SO(2).

Estos grupos también se corresponden con los grupos de simetría unidimensionales , cuando se envuelven en un círculo.

E (2) es un producto semidirecto de O (2) y el grupo de traslación T . En otras palabras, O (2) es un subgrupo de E (2) isomorfo al grupo cociente de E (2) por T :

O (2)${\displaystyle \cong }$E (2) / T

Existe un homomorfismo de grupo sobreyectivo "natural" p : E (2) → E (2) / T , que envía cada elemento g de E (2) a la clase lateral de T a la que pertenece g , es decir: p ( g ) = gT , a veces llamado proyección canónica de E (2) sobre E (2) / T u O (2). Su núcleo es T . 

Para cada subgrupo de E (2) podemos considerar su imagen bajo p : un grupo puntual formado por las clases laterales a las que pertenecen los elementos del subgrupo; en otras palabras, el grupo puntual obtenido al ignorar las partes traslacionales de las isometrías. Para cada subgrupo discreto de E (2), debido al teorema de restricción cristalográfica , este grupo puntual es C _n o de tipo D _n para n = 1, 2, 3, 4 o 6.

C _n y D _n para n = 1, 2, 3, 4 y 6 se pueden combinar con simetría traslacional, a veces de más de una manera. Así, estos 10 grupos dan lugar a 17 grupos de papel tapiz , y los cuatro grupos con n = 1 y 2 también dan lugar a 7 grupos de friso .

Para cada uno de los grupos de papel tapiz p1, p2, p3, p4, p6, la imagen bajo p de todos los grupos de isometría (es decir, las "proyecciones" sobre E (2) / T u O (2) ) son todas iguales al C _n correspondiente ; también dos grupos de friso corresponden a C ₁ y C ₂ .

Los grupos de isometría de p6m se asignan cada uno a uno de los grupos de puntos de tipo D ₆ . Para los otros 11 grupos de papel tapiz, cada grupo de isometría se asigna a uno de los grupos de puntos de los tipos D ₁ , D ₂ , D ₃ o D ₄ . Además, cinco grupos de frisos corresponden a D ₁ y D ₂ .

Para una red de traslación hexagonal dada, hay dos grupos diferentes D ₃ , que dan lugar a P31m y p3m1. Para cada uno de los tipos D ₁ , D ₂ , y D ₄ la distinción entre los grupos de papel tapiz 3, 4 y 2, respectivamente, está determinada por el vector de traslación asociado con cada reflexión en el grupo: dado que las isometrías están en el mismo cociente independientemente de los componentes de traslación, una reflexión y una reflexión de deslizamiento con el mismo espejo están en el mismo cociente. Por lo tanto, los grupos de isometría de eg tipo p4m y p4g se mapean a grupos de puntos de tipo D ₄ .

Para un grupo de isometrías dado, los conjugados de una traslación dentro del grupo, obtenidos mediante los elementos del mismo, generan un grupo de traslaciones (un retículo ) . Este subgrupo del grupo de isometrías depende únicamente de la traslación inicial y del grupo puntual asociado a dicho grupo. Esto se debe a que el conjugado de la traslación mediante una reflexión con deslizamiento es el mismo que el de la reflexión correspondiente: el vector de traslación se refleja.

Si el grupo de isometría contiene una rotación n -ésima, entonces la red tiene simetría n -ésima para n par y 2n - ésima para n impar . Si, en el caso de un grupo de isometría discreto que contiene una traslación, aplicamos esto para una traslación de longitud mínima, entonces, considerando la diferencia vectorial de traslaciones en dos direcciones adyacentes, se deduce que n ≤ 6, y para n impar que 2n ≤ 6, por lo tanto n = 1, 2, 3, 4 o 6 (el teorema de restricción cristalográfica ).

• Grupo puntual
• Grupos puntuales en tres dimensiones
• Grupos puntuales en cuatro dimensiones
• Grupo de simetría unidimensional

• , Transformaciones geométricas y grupos de papel tapiz: simetrías de patrones geométricos (grupos discretos de isometrías), por Lance Drager.
• Grupos puntuales y sistemas cristalinos, por Yi-Shu Wei, págs.  4-5
• El Centro de Geometría: 2.1 Fórmulas para simetrías en coordenadas cartesianas (dos dimensiones)