Notación de las moscas de Schoen

La notación de Schoenflies (o Schönflies ) , llamada así por el matemático alemán Arthur Moritz Schoenflies , es una notación que se utiliza principalmente para especificar grupos puntuales en tres dimensiones . Debido a que un grupo puntual por sí solo es completamente adecuado para describir la simetría de una molécula , la notación suele ser suficiente y se utiliza comúnmente para la espectroscopia . Sin embargo, en cristalografía , existe una simetría traslacional adicional y los grupos puntuales no son suficientes para describir la simetría completa de los cristales, por lo que generalmente se utiliza el grupo espacial completo en su lugar. La denominación de los grupos espaciales completos suele seguir otra convención común, la notación de Hermann-Mauguin , también conocida como notación internacional.

Aunque la notación de Schoenflies sin superíndices es una notación de grupo de puntos pura, opcionalmente, se pueden agregar superíndices para especificar más grupos espaciales individuales. Sin embargo, para los grupos espaciales, la conexión con los elementos de simetría subyacentes es mucho más clara en la notación de Hermann-Mauguin, por lo que esta última notación suele ser la preferida para los grupos espaciales.

Los elementos de simetría se denotan con i para los centros de inversión, C para los ejes de rotación propios, σ para los planos especulares y S para los ejes de rotación impropio ( ejes de rotación-reflexión ). C y S suelen ir seguidos de un número subíndice (denotado de forma abstracta n ) que indica el orden de rotación posible.

Por convención, el eje de rotación propio de mayor orden se define como el eje principal. Todos los demás elementos de simetría se describen en relación con él. Un plano de simetría vertical (que contiene el eje principal) se denota σ _v ; un plano de simetría horizontal (perpendicular al eje principal) se denota σ _h .

En tres dimensiones, hay un número infinito de grupos de puntos, pero todos ellos pueden clasificarse en varias familias.

• C _n (para cíclico ) tiene un eje de rotación de n pliegues.
  • C _{n h} es C _n con la adición de un plano de espejo (reflexión) perpendicular al eje de rotación ( plano horizontal ).
  • C _{n v} es C _n con la adición de n planos de espejo que contienen el eje de rotación ( planos verticales ).
• C _s denota un grupo con solo un plano especular (para Spiegel , que en alemán significa espejo) y ningún otro elemento de simetría.
• S _n (de Spiegel , que en alemán significa espejo ) contiene solo un eje de rotación-reflexión de n pliegues . El índice, n , debería ser par porque cuando es impar, un eje de rotación-reflexión de n pliegues es equivalente a una combinación de un eje de rotación de n pliegues y un plano perpendicular, por lo tanto, S _n = C _{n h para} n impar .
• C _{n i} tiene solo un eje de rotoinversión . Esta notación se usa raramente porque cualquier eje de rotoinversión se puede expresar como eje de rotación-reflexión: para n impar , C _{n i} = S _{2 n} y C _{2 n i} = S _n = C _{n h} , y para n par , C _{2 n i} = S _{2 n} . Solo la notación C _i (que significa C _1i ) se usa comúnmente, y algunas fuentes escriben C _3i , C _5i etc.
• D _n (para diedro , o de dos lados) tiene un eje de rotación de n pliegues más n ejes dobles perpendiculares a ese eje.
  • D _{n h} tiene, además, un plano de espejo horizontal y, en consecuencia, también n planos de espejo verticales, cada uno de los cuales contiene el eje n -fold y uno de los ejes dobles.
  • D _{n d} tiene, además de los elementos de D _n , n planos especulares verticales que pasan entre dos ejes ( planos diagonales ).
• T (el grupo tetraédrico quiral ) tiene los ejes de rotación de un tetraedro (tres ejes dobles y cuatro ejes triples).
  • T _d incluye planos de espejo diagonales (cada plano diagonal contiene solo un eje doble y pasa entre otros dos ejes dobles, como en D _2d ). Esta adición de planos diagonales da como resultado tres operaciones de rotación impropias S ₄ .
  • T _h incluye tres planos de espejo horizontales. Cada plano contiene dos ejes dobles y es perpendicular al tercer eje doble, lo que da como resultado el centro de inversión i .
• O (el grupo octaédrico quiral ) tiene los ejes de rotación de un octaedro o cubo (tres ejes cuádruples, cuatro ejes triples y seis ejes diagonales dobles).
  • O _h incluye planos especulares horizontales y, en consecuencia, planos especulares verticales. Contiene también operaciones de centro de inversión y rotación impropia.
• I (el grupo icosaédrico quiral ) indica que el grupo tiene los ejes de rotación de un icosaedro o dodecaedro (seis ejes quíntuples, diez ejes triples y 15 ejes dobles).
  • I _h incluye planos de espejo horizontales y contiene también operaciones de centro de inversión y rotación impropia.

Todos los grupos que no contienen más de un eje de orden superior (orden 3 o más) se pueden organizar como se muestra en la siguiente tabla; los símbolos en rojo rara vez se utilizan.

En cristalografía, debido al teorema de restricción cristalográfica , n está restringido a los valores de 1, 2, 3, 4 o 6. Los grupos no cristalográficos se muestran con fondos en gris. D _4d y D _6d también están prohibidos porque contienen rotaciones impropias con n  = 8 y 12 respectivamente. Los 27 grupos puntuales de la tabla más T , T _d , T _h , O y O _h constituyen 32 grupos puntuales cristalográficos .

Los grupos con n = ∞ se denominan grupos límite o grupos de Curie . Existen dos grupos límite más, que no aparecen en la tabla: K (de Kugel , en alemán bola, esfera), el grupo de todas las rotaciones en el espacio tridimensional; y K _h , el grupo de todas las rotaciones y reflexiones. En matemáticas y física teórica se conocen respectivamente como grupo ortogonal especial y grupo ortogonal en el espacio tridimensional, con los símbolos SO(3) y O(3).

Los grupos espaciales con un grupo puntual determinado se numeran con los números 1, 2, 3, ... (en el mismo orden que su número internacional) y este número se añade como superíndice al símbolo de Schönflies del grupo puntual correspondiente. Por ejemplo, los grupos números 3 a 5 cuyo grupo puntual es C ₂ tienen símbolos de Schönflies C¹
₂, C²
₂, C³
₂.

Mientras que en el caso de los grupos puntuales, el símbolo de Schönflies define los elementos de simetría del grupo de forma inequívoca, el superíndice adicional para el grupo espacial no tiene ninguna información sobre la simetría traslacional del grupo espacial (centrado reticular, componentes traslacionales de ejes y planos), por lo que es necesario consultar tablas especiales que contienen información sobre la correspondencia entre la notación de Schönflies y la de Hermann-Mauguin . Dicha tabla se encuentra en la página Lista de grupos espaciales .

• Grupo puntual cristalográfico
• Grupos de puntos en tres dimensiones
• Lista de grupos de simetría esférica

• Flurry, RL, Grupos de simetría: teoría y aplicaciones químicas . Prentice-Hall, 1980. ISBN  978-0-13-880013-0 LCCN: 79-18729
• Algodón, FA, Aplicaciones químicas de la teoría de grupos , John Wiley & Sons: Nueva York, 1990. ISBN 0-471-51094-7 
• Harris, D., Bertolucci, M., Simetría y espectroscopia . Nueva York, Dover Publications, 1989.

• Simetría @ Otterbein