Rotación incorrecta

En geometría , una rotación impropia ^{[ 1 ]} (también llamada rotación-reflexión , ^{[ 2 ]} rotoreflexión, ^{[ 1 ]} reflexión rotacional , ^{[ 3 ]} o rotoinversión ^{[ 4 ]} ) es una isometría en el espacio euclidiano que es una combinación de una rotación alrededor de un eje y una reflexión en un plano perpendicular a ese eje. La reflexión y la inversión son cada una un caso especial de rotación impropia. Cualquier rotación impropia es una transformación afín y, en los casos en que el origen de coordenadas permanece fijo, una transformación lineal . ^{[ 5 ]} Se utiliza como una operación de simetría en el contexto de la simetría geométrica , la simetría molecular y la cristalografía , donde se dice que un objeto que no cambia por una combinación de rotación y reflexión tiene simetría de rotación impropia .

Existe una distinción entre las operaciones de simetría de reflexión rotacional e inversión rotacional y sus elementos de simetría asociados. Las reflexiones rotacionales se utilizan generalmente para describir la simetría de moléculas individuales y se definen como una rotación de 360°/n alrededor de un eje de rotación n-ésimo, seguida de una reflexión sobre un plano de simetría perpendicular a dicho eje. Las rotoinversiones se utilizan generalmente para describir la simetría de cristales y se definen como una rotación de 360°/n alrededor de un eje de rotación n-ésimo, seguida de una inversión que pasa por el origen. Si bien las operaciones de reflexión rotacional tienen un análogo de rotoinversión y viceversa, las reflexiones rotacionales y las rotoinversiones del mismo orden no tienen por qué ser idénticas. Por ejemplo, un eje de rotoinversión séxtuple y sus operaciones de simetría asociadas son distintos de los que resultan de un eje de reflexión séxtuple.

En tres dimensiones, la rotación impropia se define de forma equivalente como una combinación de rotación alrededor de un eje e inversión en un punto sobre dicho eje. ^{[ 1 ]} Por esta razón, también se la denomina rotoinversión o inversión rotacional . Ambas definiciones son equivalentes porque la rotación en un ángulo θ seguida de una reflexión es la misma transformación que la rotación en θ  +  180° seguida de una inversión (considerando el punto de inversión en el plano de reflexión). En ambas definiciones, las operaciones conmutan.

Una simetría tridimensional que tiene un solo punto fijo es necesariamente una rotación impropia. ^{[ 3 ]}

Una rotación impropia de un objeto produce, por lo tanto, una rotación de su imagen especular . El eje se denomina eje de rotación-reflexión . ^{[ 6 ]} Esto se denomina rotación impropia n -ésima si el ángulo de rotación, antes o después de la reflexión, es 360°/ n (donde n debe ser par). ^{[ 6 ]} Existen varios sistemas diferentes para nombrar las rotaciones impropias individuales:

• En la notación de Schoenflies, el símbolo S _n (en alemán, Spiegel , que significa espejo ), donde n debe ser par, denota el grupo de simetría generado por una rotación impropia n -ésima. Por ejemplo, la operación de simetría S ₆ es la combinación de una rotación de (360°/6)=60° y una reflexión en el plano de simetría. (Esto no debe confundirse con la misma notación para grupos simétricos ). ^{[ 6 ]}
• En la notación de Hermann-Mauguin, el símbolo n se usa para una rotoinversión n -ésima ; es decir, una rotación de 360°/ n con inversión. Si n es par, debe ser divisible por 4. (Nótese que 2 sería simplemente una reflexión, y normalmente se denota con "m", de "espejo"). Cuando n es impar, esto corresponde a una rotación impropia 2n - ésima (o reflexión rotatoria).
• La notación de Coxeter para S _{2 n} es [2 n ⁺ ,2 ⁺ ] y , como un subgrupo de índice 4 de [2 n ,2], , generado como el producto de 3 reflexiones.
• La notación Orbifold es n ×, orden 2 n .

  

En un sentido más amplio, una rotación impropia puede definirse como cualquier isometría indirecta ; es decir, un elemento de E (3)\E ⁺ (3): por lo tanto, también puede ser una reflexión pura en un plano, o tener un plano de deslizamiento . Una isometría indirecta es una transformación afín con una matriz ortogonal cuyo determinante es −1.

Una rotación propia es una rotación ordinaria. En un sentido más amplio, una rotación propia se define como una isometría directa ; es decir, un elemento de E ⁺ (3): también puede ser la identidad, una rotación con traslación a lo largo del eje o una traslación pura. Una isometría directa es una transformación afín con una matriz ortogonal cuyo determinante es 1.

Tanto en sentido estricto como amplio, la composición de dos rotaciones impropias es una rotación propia, y la composición de una rotación impropia y una propia es una rotación impropia.

Al estudiar la simetría de un sistema físico bajo una rotación impropia (por ejemplo, si un sistema tiene un plano de simetría especular), es importante distinguir entre vectores y pseudovectores (así como entre escalares y pseudoescalares , y en general entre tensores y pseudotensores ), ya que estos últimos se transforman de manera diferente bajo rotaciones propias e impropias (en 3 dimensiones, los pseudovectores son invariantes bajo inversión).

• Isometría
• Grupo ortogonal