segmento de línea

En geometría , un segmento de línea es una parte de una línea recta delimitada por dos puntos extremos distintos (sus extremos ), y contiene todos los puntos de la línea que se encuentran entre sus extremos. Es un caso especial de arco , con curvatura cero . La longitud de un segmento de línea viene dada por la distancia euclidiana entre sus extremos. Un segmento de línea cerrado incluye ambos extremos, mientras que un segmento de línea abierto los excluye; un segmento de línea semiabierto incluye exactamente uno de los extremos. En geometría , un segmento de línea se suele denotar mediante una línea superior ( vinculum ) sobre los símbolos de los dos extremos, como en AB . ^{[ 1 ]} La línea infinita que contiene un segmento de línea se denomina a veces línea de soporte del segmento .

Ejemplos de segmentos de línea incluyen los lados de un triángulo o un cuadrado. En términos más generales, cuando los extremos de un segmento son vértices de un polígono o poliedro , el segmento se denomina arista (de dicho polígono o poliedro) si son vértices adyacentes, o diagonal . Cuando los extremos se encuentran sobre una curva (como un círculo ), el segmento se denomina cuerda (de dicha curva).

Si V es un espacio vectorial sobre ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$o​​${\displaystyle \mathbb {C} ,}$y L es unsubconjunto de V , entonces L es un segmento de línea si L puede parametrizarse como

${\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}}$

para algunos vectores${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \en V}$donde v es distinto de cero. Los extremos de L son entonces los vectores u y u + v .

A veces, es necesario distinguir entre segmentos de línea "abiertos" y "cerrados". En este caso, se definiría un segmento de línea cerrado como se indicó anteriormente, y un segmento de línea abierto como un subconjunto L que puede parametrizarse como

${\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0,1)\}}$

para algunos vectores${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \en V.}$

De forma equivalente, un segmento de recta es la envoltura convexa de dos puntos. Por lo tanto, el segmento de recta puede expresarse como una combinación convexa de sus dos puntos extremos.

En geometría , se puede definir el punto B como situado entre otros dos puntos A y C , si la distancia | AB | sumada a la distancia | BC | es igual a la distancia | AC | . Por lo tanto , en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$el segmento de línea con puntos finales${\displaystyle A=(a_{x},a_{y})}$y${\displaystyle C=(c_{x},c_{y})}$es la siguiente colección de puntos:

${\displaystyle {\Biggl \{}(x,y)\mid {\sqrt {(x-c_{x})^{2}+(y-c_{y})^{2}}}+{\sqrt {(x-a_{x})^{2}+(y-a_{y})^{2}}}={\sqrt {(c_{x}-a_{x})^{2}+(c_{y}-a_{y})^{2}}}{\Biggr \}}.}$

• Un segmento de línea es un conjunto conectado y no vacío .
• Si V es un espacio vectorial topológico , entonces un segmento de línea cerrado es un conjunto cerrado en V. Sin embargo, un segmento de línea abierto es un conjunto abierto en V si y solo si V es unidimensional .
• De forma más general que lo anterior, el concepto de segmento de línea puede definirse en una geometría ordenada .
• Un par de segmentos de recta pueden ser secantes , paralelos , oblicuos o ninguno de los dos. Esta última posibilidad es una diferencia entre segmentos y rectas: si dos rectas no paralelas se encuentran en el mismo plano euclidiano, deben cruzarse, pero esto no tiene por qué ser cierto para los segmentos.

En un tratamiento axiomático de la geometría, la noción de intermediación se supone que satisface un cierto número de axiomas, o bien se define en términos de una isometría de una línea (utilizada como sistema de coordenadas).

Los segmentos desempeñan un papel importante en otras teorías. Por ejemplo, en un conjunto convexo , el segmento que une dos puntos cualesquiera del conjunto está contenido en él. Esto es importante porque transforma parte del análisis de conjuntos convexos en el análisis de un segmento de recta. El postulado de adición de segmentos se puede usar para sumar segmentos congruentes o segmentos de igual longitud y, en consecuencia, sustituir otros segmentos en otra expresión para que los segmentos sean congruentes.

Un segmento de línea puede considerarse un caso degenerado de una elipse , en la que el semieje menor tiende a cero, los focos se ubican en los extremos y la excentricidad tiende a uno. Una definición estándar de elipse es el conjunto de puntos para los cuales la suma de las distancias de un punto a dos focos es constante; si esta constante es igual a la distancia entre los focos, el segmento de línea es el resultado. Una órbita completa de esta elipse recorre el segmento de línea dos veces. Como órbita degenerada, se trata de una trayectoria elíptica radial .

Además de aparecer como los bordes y las diagonales de polígonos y poliedros , los segmentos de línea también aparecen en muchos otros lugares en relación con otras formas geométricas .

Cuando a un segmento de línea se le da una orientación ( dirección ), se le llama segmento de línea dirigido u orientado . Esto sugiere una traslación o desplazamiento (quizás causado por una fuerza ). La magnitud y la dirección son indicativas de un posible cambio. Extender un segmento de línea dirigido de forma semiinfinita produce una semirrecta dirigida , y extenderlo infinitamente en ambas direcciones produce una línea dirigida . Esta sugerencia se ha incorporado a la física matemática a través del concepto de vector euclidiano . ^{[ 2 ] [ 3 ]} El conjunto de todos los segmentos de línea dirigidos se reduce generalmente haciendo equipolentes cualquier par que tenga la misma longitud y orientación. ^{[ 4 ]} Esta aplicación de una relación de equivalencia fue introducida por Giusto Bellavitis en 1835.

De forma análoga a los segmentos de línea recta mencionados anteriormente, también se pueden definir los arcos como segmentos de una curva .

En el espacio unidimensional, una bola es un segmento de línea.

Un segmento plano orientado o bivector generaliza el segmento de línea dirigido.

Más allá de la geometría euclidiana, los segmentos geodésicos desempeñan el papel de segmentos de línea.

Un segmento de línea es un simplex unidimensional ; un simplex bidimensional es un triángulo.

• Cuerda (geometría)
• Diámetro
• Radio

• Cadena poligonal
• Intervalo (matemáticas)
• Intersección de segmentos de línea , el problema algorítmico de encontrar pares que se intersecan en una colección de segmentos de línea.

• David Hilbert, Los fundamentos de la geometría . The Open Court Publishing Company, 1950, pág.  4.

• Weisstein, Eric W. "Segmento de línea" . MundoMatemático .
• Segmento de línea en PlanetMath
• Cómo copiar un segmento de línea con compás y regla.
• División de un segmento de línea en N partes iguales con compás y regla. Demostración animada.

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