Operado

Una operada no simétrica (a veces llamada operada sin permutaciones o no-${\displaystyle \Sigma }$o simple operada) consta de lo siguiente:

• una secuencia${\displaystyle (P(n))_{n\in \mathbb {N} }}$de conjuntos, cuyos elementos se llaman${\displaystyle n}$operaciones -arias ,
• un elemento${\displaystyle 1}$en${\displaystyle P(1)}$llamada la identidad ,
• para todos los enteros positivos${\displaystyle n}$,${\textstyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$, una función de composición

${\displaystyle {\begin{aligned}\circ :P(n)\times P(k_{1})\times \cdots \times P(k_{n})&\to P(k_{1}+\cdots +k_{n})\\(\theta ,\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})&\mapsto \theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}),\end{aligned}}}$

que satisfacen los siguientes axiomas de coherencia:

• identidad :${\displaystyle \theta \circ (1,\ldots ,1)=\theta =1\circ \theta }$
• asociatividad :

${\displaystyle {\begin{aligned}&\theta \circ {\Big (}\theta _{1}\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,k_{1}}),\ldots ,\theta _{n}\circ (\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,k_{n}}){\Big )}\\={}&{\Big (}\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}){\Big )}\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,k_{1}},\ldots ,\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,k_{n}})\end{aligned}}}$

Una operada simétrica (a menudo llamada simplemente operada ) es una operada no simétrica.${\displaystyle P}$como se indicó anteriormente, junto con una acción derecha del grupo simétrico${\displaystyle S_{n}}$en${\displaystyle P(n)}$para${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, denotado por${\displaystyle *}$y satisfactorio

• equivariancia : dada una permutación${\displaystyle t\in S_{n}}$,

${\displaystyle (\theta *t)\circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})=(\theta \circ (\theta _{t^{-1}(1)},\ldots ,\theta _{t^{-1}(n)}))*t'}$

(dónde ${\displaystyle t'}$en el lado derecho se refiere al elemento de${\displaystyle S_{k_{1}+\dots +k_{n}}}$que actúa en el plató${\displaystyle \{1,2,\dots ,k_{1}+\dots +k_{n}\}}$dividiéndolo en${\displaystyle n}$bloques, los primeros de tamaño${\displaystyle k_{1}}$, el segundo de tamaño${\displaystyle k_{2}}$, a través del${\displaystyle n}$bloque de tamaño${\displaystyle k_{n}}$y luego permuta estos${\displaystyle n}$bloques por${\displaystyle t}$, manteniendo cada bloque intacto)

y dado${\displaystyle n}$permutaciones${\displaystyle s_{i}\in S_{k_{i}}}$,

${\displaystyle \theta \circ (\theta _{1}*s_{1},\ldots ,\theta _{n}*s_{n})=(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))*(s_{1},\ldots ,s_{n})}$

(dónde${\displaystyle (s_{1},\ldots ,s_{n})}$denota el elemento de${\displaystyle S_{k_{1}+\dots +k_{n}}}$que permuta el primero de estos bloques por${\displaystyle s_{1}}$, el segundo por${\displaystyle s_{2}}$, etc., y mantiene intacto su orden general).

Las acciones de permutación en esta definición son vitales para la mayoría de las aplicaciones, incluida la aplicación original a espacios de bucles.

Un morfismo de las óperas${\displaystyle f:P\to Q}$consta de una secuencia

${\displaystyle (f_{n}:P(n)\to Q(n))_{n\in \mathbb {N} }}$

eso:

• preserva la identidad:${\displaystyle f(1)=1}$
• preserva la composición: para cada operación n -aria${\displaystyle \theta }$y operaciones${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{n}}$,

${\displaystyle f(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))=f(\theta )\circ (f(\theta _{1}),\ldots ,f(\theta _{n}))}$

• conserva las acciones de permutación:${\displaystyle f(x*s)=f(x)*s}$.

Por lo tanto, las Óperas forman una categoría denominada por${\displaystyle {\mathsf {Oper}}}$.

Hasta ahora, las operadas solo se han considerado en la categoría de conjuntos. De manera más general, es posible definir operadas en cualquier categoría monoidal simétrica C. En ese caso, cada${\displaystyle P(n)}$es un objeto de C , la composición${\displaystyle \circ }$es un morfismo${\displaystyle P(n)\otimes P(k_{1})\otimes \cdots \otimes P(k_{n})\to P(k_{1}+\cdots +k_{n})}$en C (donde${\displaystyle \otimes }$denota el producto tensorial de la categoría monoidal), y las acciones de los elementos del grupo simétrico vienen dadas por isomorfismos en C .

Un ejemplo común es la categoría de espacios topológicos y aplicaciones continuas , cuyo producto monoide viene dado por el producto cartesiano . En este caso, una operada viene dada por una sucesión de espacios (en lugar de conjuntos).${\displaystyle \{P(n)\}_{n\geq 0}}$Se supone entonces que las aplicaciones estructurales de la operada (la composición y las acciones de los grupos simétricos) son continuas. El resultado se denomina operada topológica . Del mismo modo, en la definición de un morfismo de operadas, sería necesario suponer que las aplicaciones implicadas son continuas.

Otros entornos comunes para definir operadas incluyen, por ejemplo, módulos sobre un anillo conmutativo , complejos de cadenas , grupoides (o incluso la categoría de categorías misma), coálgebras , etc.

Dado un anillo conmutativo R, consideramos la categoría${\displaystyle R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}}$de módulos sobre R. Una operada sobre R puede definirse como un objeto monoide.${\displaystyle (T,\gamma ,\eta )}$en la categoría monoide de endofunctores en${\displaystyle R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}}$(es una mónada ) que satisface alguna condición de finitud. ^{[ nota 1 ]}

Por ejemplo, un objeto monoide en la categoría de "endofunctores polinomiales" en${\displaystyle R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}}$es una operada. ^{[ 8 ]} De manera similar, una operada simétrica puede definirse como un objeto monoide en la categoría de${\displaystyle \mathbb {S} }$-objetos , donde${\displaystyle \mathbb {S} }$significa un grupo simétrico. ^{[ 9 ]} Un objeto monoide en la categoría de especies combinatorias es una operada en conjuntos finitos.

Una operada en el sentido anterior a veces se considera como un anillo generalizado . Por ejemplo, Nikolai Durov define sus anillos generalizados como objetos monoides en la categoría monoide de endofuntores en${\displaystyle {\textbf {Set}}}$que conmutan con colímites filtrados . ^{[ 10 ]} Esta es una generalización de un anillo ya que cada anillo ordinario R define una mónada${\displaystyle \Sigma _{R}:{\textbf {Set}}\to {\textbf {Set}}}$que envía un conjunto X al conjunto subyacente del módulo R libre${\displaystyle R^{(X)}}$generado por X.

"Asociatividad" significa que la composición de operaciones es asociativa (la función${\displaystyle \circ }$es asociativa), análogo al axioma en la teoría de categorías que${\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h}$; esto no significa que las operaciones en sí mismas sean asociativas como operaciones. Compárese con la operada asociativa , más abajo.

La asociatividad en la teoría de las operadas significa que las expresiones que involucran operaciones se pueden escribir sin ambigüedad a partir de las composiciones omitidas, del mismo modo que la asociatividad para las operaciones permite escribir productos sin ambigüedad a partir de los paréntesis omitidos.

Por ejemplo, supongamos que${\displaystyle \theta }$es una operación binaria que se escribe como${\displaystyle \theta (a,b)}$o${\displaystyle (ab)}$(${\displaystyle \theta }$no es necesariamente asociativo). Entonces, lo que comúnmente se escribe${\displaystyle ((ab)c)}$está escrito inequívocamente de forma operística como${\displaystyle \theta \circ (\theta ,1)}$Esto envía${\displaystyle (a,b,c)}$a${\displaystyle (ab,c)}$(aplicar${\displaystyle \theta }$en los dos primeros, y la identidad en el tercero), y luego el${\displaystyle \theta }$a la izquierda "multiplica"${\displaystyle ab}$por${\displaystyle c}$Esto se aprecia mejor cuando se representa como un árbol:

lo que produce una operación ternaria:

Sin embargo, la expresión${\displaystyle (((ab)c)d)}$es a priori ambiguo: podría significar${\displaystyle \theta \circ ((\theta ,1)\circ ((\theta ,1),1))}$, si las composiciones internas se realizan primero, o podría significar${\displaystyle (\theta \circ (\theta ,1))\circ ((\theta ,1),1)}$, si las composiciones externas se realizan primero (las operaciones se leen de derecha a izquierda). Escritura${\displaystyle x=\theta ,y=(\theta ,1),z=((\theta ,1),1)}$, esto es${\displaystyle x\circ (y\circ z)}$versus${\displaystyle (x\circ y)\circ z}$. Es decir, al árbol le faltan "paréntesis verticales":

Si las dos filas superiores de operaciones se componen primero (coloca un paréntesis hacia arriba en el${\displaystyle (ab)c\ \ d}$línea; hace primero la composición interna), los siguientes resultados:

que luego se evalúa de forma inequívoca para producir una operación de 4 niveles. Como expresión anotada:

${\displaystyle \theta _{(ab)c\cdot d}\circ ((\theta _{ab\cdot c},1_{d})\circ ((\theta _{a\cdot b},1_{c}),1_{d}))}$

Si las dos filas inferiores de operaciones se componen primero (coloca un paréntesis hacia abajo en el${\displaystyle ab\quad c\ \ d}$línea; hace primero la composición externa), resultados siguientes:

que luego se evalúa de manera inequívoca para producir una operación de 4 niveles:

El axioma de la operada asociativa es que estos producen el mismo resultado y, por lo tanto, que la expresión${\displaystyle (((ab)c)d)}$es inequívoco.

El axioma de identidad (para una operación binaria) se puede visualizar en un árbol como:

lo que significa que las tres operaciones obtenidas son iguales: pre- o post-componer con la identidad no hace ninguna diferencia. En teoría de categorías,${\displaystyle \theta \circ 1=\theta =1\circ \theta }$forma parte de la definición de una categoría.

Las óperas más básicas son las que se dan en la sección sobre "Intuición", arriba. Para cualquier conjunto${\displaystyle X}$, obtenemos la operada de endomorfismo${\displaystyle {\mathcal {End}}_{X}}$compuesto por todas las funciones${\displaystyle X^{n}\to X}$Estas operadas son importantes porque sirven para definir álgebras de operadas . Si${\displaystyle {\mathcal {O}}}$es una operada, un álgebra de óperas sobre${\displaystyle {\mathcal {O}}}$está dado por un conjunto${\displaystyle X}$y un morfismo de ópera${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {End}}_{X}}$Intuitivamente, tal morfismo convierte cada operación "abstracta" de${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$en un "concreto"${\displaystyle n}$Operación -aria en el conjunto${\displaystyle X}$. Un álgebra de operada sobre${\displaystyle {\mathcal {O}}}$por lo tanto, consta de un conjunto${\displaystyle X}$junto con operaciones concretas en${\displaystyle X}$que siguen las reglas especificadas abstractamente por la operada${\displaystyle {\mathcal {O}}}$.

Si k es un cuerpo , podemos considerar la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre k ; esta se convierte en una categoría monoidal utilizando el producto tensorial ordinario sobre k. Entonces podemos definir operadas de endomorfismo en esta categoría, como sigue. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. La operada de endomorfismo${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}=\{{\mathcal {End}}_{V}(n)\}}$de V consta de ^{[ 11 ]}

1. ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}(n)}$= el espacio de mapas lineales${\displaystyle V^{\otimes n}\to V}$,
2. (composición) dada${\displaystyle f\in {\mathcal {End}}_{V}(n)}$,${\displaystyle g_{1}\in {\mathcal {End}}_{V}(k_{1})}$, ...,${\displaystyle g_{n}\in {\mathcal {End}}_{V}(k_{n})}$Su composición viene dada por el mapa. ${\displaystyle V^{\otimes k_{1}}\otimes \cdots \otimes V^{\otimes k_{n}}\ {\overset {g_{1}\otimes \cdots \otimes g_{n}}{\longrightarrow }}\ V^{\otimes n}\ {\overset {f}{\to }}\ V}$,
3. (identidad) El elemento identidad en${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}(1)}$es el mapa de identidad${\displaystyle \operatorname {id} _{V}}$,
4. (acción de grupo simétrica)${\displaystyle S_{n}}$funciona en${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}(n)}$permutando los componentes de los tensores en${\displaystyle V^{\otimes n}}$.

Si${\displaystyle {\mathcal {O}}}$es una operada, un álgebra de operadas k -lineal sobre${\displaystyle {\mathcal {O}}}$está dado por un espacio vectorial de dimensión finita V sobre k y un morfismo de operada${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {End}}_{V}}$; esto equivale a especificar operaciones multilineales concretas en V que se comportan como las operaciones de${\displaystyle {\mathcal {O}}}$. (Nótese la analogía entre operadas/álgebras de operadas y anillos/módulos : un módulo sobre un anillo R está dado por un grupo abeliano M junto con un homomorfismo de anillos)${\displaystyle R\to \operatorname {End} (M)}$.)

Dependiendo de las aplicaciones, son posibles variaciones de lo anterior: por ejemplo, en topología algebraica, en lugar de espacios vectoriales y productos tensoriales entre ellos, se utilizan espacios topológicos (razonables) y productos cartesianos entre ellos.

La pequeña operada de 2 discos es una operada topológica donde${\displaystyle P(n)}$consiste en listas ordenadas de n discos disjuntos dentro del disco unitario de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$centrado en el origen. El grupo simétrico actúa sobre tales configuraciones permutando la lista de discos pequeños. La composición operádica para discos pequeños se ilustra en la figura adjunta a la derecha, donde un elemento${\displaystyle \theta \in P(3)}$está compuesto con un elemento${\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})\in P(2)\times P(3)\times P(4)}$para producir el elemento${\displaystyle \theta \circ (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})\in P(9)}$obtenido al reducir la configuración de${\displaystyle \theta _{i}}$y insertándolo en el i- ésimo disco de${\displaystyle \theta }$, para${\displaystyle i=1,2,3}$.

Análogamente, se puede definir el pequeño n-discos operado considerando configuraciones de n -bolas disjuntas dentro de la bola unitaria de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. ^{[ 12 ]}

Originalmente, la operada de pequeños n-cubos o la operada de pequeños intervalos (inicialmente llamada PROPs de pequeños n -cubos ) fue definida por Michael Boardman y Rainer Vogt de manera similar, en términos de configuraciones de hipercubos n- dimensionales disjuntos alineados con los ejes ( intervalos n- dimensionales ) dentro del hipercubo unitario . ^{[ 13 ]} Posteriormente, May la generalizó ^{[ 14 ]} a la operada de pequeños cuerpos convexos , y "pequeños discos" es un caso de "folclore" derivado de los "pequeños cuerpos convexos". ^{[ 15 ]}

En la teoría de grafos , los árboles con raíz forman una operada natural. Aquí,${\displaystyle P(n)}$es el conjunto de todos los árboles con raíz y n hojas, donde las hojas están numeradas del 1 al n. El grupo${\displaystyle S_{n}}$opera sobre este conjunto permutando las etiquetas de las hojas. Composición operádica${\displaystyle T\circ (S_{1},\ldots ,S_{n})}$se obtiene reemplazando la i -ésima hoja de${\displaystyle T}$por la raíz del i -ésimo árbol${\displaystyle S_{i}}$, para${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$, adjuntando así los n árboles a${\displaystyle T}$y formando un árbol más grande, cuya raíz se considera la misma que la raíz de${\displaystyle T}$y cuyas hojas están numeradas en orden.

La operada del queso suizo es una operada topológica bicolor definida en términos de configuraciones de discos n- dimensionales disjuntos dentro de un semidisco unitario n -dimensional y semidiscos n- dimensionales, centrados en la base del semidisco unitario y ubicados dentro de él. La composición operística proviene de pegar configuraciones de discos "pequeños" dentro del disco unitario a los discos "pequeños" de otro semidisco unitario, y configuraciones de discos y semidiscos "pequeños" dentro del semidisco unitario al otro semidisco unitario.

La operada del queso suizo fue definida por Alexander A. Voronov . ^{[ 16 ]} Maxim Kontsevich la utilizó para formular una versión del queso suizo de la conjetura de Deligne sobre la cohomología de Hochschild . ^{[ 17 ]} La conjetura de Kontsevich fue demostrada parcialmente por Po Hu , Igor Kriz y Alexander A. Voronov ^{[ 18 ]} y luego completamente por Justin Thomas . ^{[ 19 ]}

Otro tipo de ejemplos de operadas son aquellas que capturan las estructuras de estructuras algebraicas, como las álgebras asociativas, las álgebras conmutativas y las álgebras de Lie. Cada una de ellas puede representarse como una operada finitamente presentada, generada en cada una de estas tres mediante operaciones binarias.

Por ejemplo, la operada asociativa es una operada simétrica generada por una operación binaria.${\displaystyle \psi }$, sujeto únicamente a la condición de que

${\displaystyle \psi \circ (\psi ,1)=\psi \circ (1,\psi ).}$

Esta condición corresponde a la asociatividad de la operación binaria.${\displaystyle \psi }$; escribiendo${\displaystyle \psi (a,b)}$De forma multiplicativa, la condición anterior es${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$Esta asociatividad de la operación no debe confundirse con la asociatividad de la composición , que se cumple en cualquier operada; véase el axioma de asociatividad , más arriba.

En la operada asociativa, cada${\displaystyle P(n)}$está dado por el grupo simétrico${\displaystyle S_{n}}$, en el cual${\displaystyle S_{n}}$Actúa mediante la multiplicación correcta. El compuesto${\displaystyle \sigma \circ (\tau _{1},\dots ,\tau _{n})}$permuta sus entradas en bloques según${\displaystyle \sigma }$y dentro de bloques según lo apropiado${\displaystyle \tau _{i}}$.

Las álgebras sobre la operada asociativa son precisamente los semigrupos : conjuntos junto con una única operación asociativa binaria. Las k -álgebras lineales sobre la operada asociativa son precisamente las k- álgebras asociativas .

La operada simétrica terminal es la operada que tiene una única operación n -aria para cada n , con cada${\displaystyle S_{n}}$actuando trivialmente. Las álgebras sobre esta operada son los semigrupos conmutativos; las k -álgebras lineales son las k -álgebras asociativas conmutativas .

De manera similar, existe un no-${\displaystyle \Sigma }$operado para el cual cada${\displaystyle P(n)}$es proporcionado por el grupo de trenzas de Artin${\displaystyle B_{n}}$. Además, este no-${\displaystyle \Sigma }$La operada tiene la estructura de una operada trenzada, lo que generaliza la noción de una operada simétrica de grupos simétricos a grupos trenzados.

En álgebra lineal , los espacios vectoriales reales pueden considerarse como álgebras sobre la operada${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$de todas las combinaciones lineales . Esta operada se define por${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }(n)=\mathbb {R} ^{n}}$para${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, con la acción obvia de${\displaystyle S_{n}}$permutación de componentes y composición${\displaystyle {\vec {x}}\circ ({\vec {y_{1}}},\ldots ,{\vec {y_{n}}})}$dado por la concatenación de los vectores${\displaystyle x^{(1)}{\vec {y_{1}}},\ldots ,x^{(n)}{\vec {y_{n}}}}$, dónde${\displaystyle {\vec {x}}=(x^{(1)},\ldots ,x^{(n)})\in \mathbb {R} ^{n}}$. El vector${\displaystyle {\vec {x}}=(2,3,-5,0,\dots )}$por ejemplo representa la operación de formar una combinación lineal con coeficientes 2,3,-5,0,...

Esta perspectiva formaliza la noción de que las combinaciones lineales son el tipo de operación más general en un espacio vectorial. Decir que un espacio vectorial es un álgebra sobre la operada de combinaciones lineales equivale precisamente a afirmar que todas las operaciones algebraicas posibles en un espacio vectorial son combinaciones lineales. Las operaciones básicas de suma de vectores y multiplicación escalar constituyen un conjunto generador para la operada de todas las combinaciones lineales, mientras que la operada de combinaciones lineales codifica canónicamente todas las operaciones posibles en un espacio vectorial.

De manera similar, las combinaciones afines , las combinaciones cónicas y las combinaciones convexas pueden considerarse como correspondientes a las suboperadas donde los términos del vector${\displaystyle {\vec {x}}}$la suma es igual a 1, los términos son todos no negativos, o ambas cosas, respectivamente. Gráficamente, estos son el hiperplano afín infinito, el hiperoctante infinito y el simplex infinito. Esto formaliza lo que se entiende por${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$siendo el símplex estándar espacios modelo, y observaciones tales como que todo politopo convexo acotado es la imagen de un símplex. Aquí las suboperadas corresponden a operaciones más restringidas y, por lo tanto, a teorías más generales.

La operada de anillos conmutativos es una operada cuyas álgebras son los anillos conmutativos. Se define por${\displaystyle P(n)=\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$, con la acción obvia de${\displaystyle S_{n}}$y la composición operádica dada por la sustitución de variables por polinomios (con variables renumeradas). Se puede definir una operada similar cuyas álgebras sean las álgebras asociativas y conmutativas sobre un cuerpo base fijo. El dual de Koszul de esta operada es la operada de Lie (cuyas álgebras son las álgebras de Lie), y viceversa.