Espacio nuclear

En matemáticas , los espacios nucleares son espacios vectoriales topológicos que pueden considerarse una generalización de los espacios euclidianos de dimensión finita y comparten muchas de sus propiedades deseables. Sin embargo, los espacios nucleares son bastante diferentes de los espacios de Hilbert , otra generalización de los espacios euclidianos de dimensión finita. Fueron introducidos por Alexander Grothendieck .

La topología en espacios nucleares se puede definir mediante una familia de seminormas cuyas bolas unitarias disminuyen rápidamente de tamaño. Los espacios vectoriales cuyos elementos son "suaves" en algún sentido tienden a ser espacios nucleares; un ejemplo típico de espacio nuclear es el conjunto de funciones suaves en una variedad compacta . Todos los espacios vectoriales de dimensión finita son nucleares. No existen espacios de Banach que sean nucleares, excepto los de dimensión finita. En la práctica, suele ocurrir lo contrario: si un espacio vectorial topológico "natural" no es un espacio de Banach, entonces hay una buena probabilidad de que sea nuclear.

Gran parte de la teoría de los espacios nucleares fue desarrollada por Alexander Grothendieck mientras investigaba el teorema del núcleo de Schwartz y publicada en ( Grothendieck 1955 ) . A continuación, describimos esta motivación.

Para cualquier subconjunto abierto${\displaystyle \Omega _{1}\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$y${\displaystyle \Omega _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$el mapa canónico${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\times \Omega _{2}\right)\to L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$es un isomorfismo de TVS (donde${\displaystyle L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$tiene la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados ) y además, ambos espacios son canónicamente TVS-isomorfos a${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\mathbin {\widehat {\otimes }} {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{2}\right)}$(donde desde${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)}$es nuclear, este producto tensorial es simultáneamente el producto tensorial inyectivo y el producto tensorial proyectivo ). ^{[ 1 ]} En resumen, el teorema del núcleo de Schwartz establece que: $${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\times \Omega _{2}\right)\cong {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\mathbin {\widehat {\otimes }} {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{2}\right)\cong L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$$ donde todos estos isomorfismos TVS son canónicos.

Este resultado es falso si se reemplaza el espacio${\displaystyle C_{c}^{\infty }}$con${\displaystyle L^{2}}$(que es un espacio reflexivo que incluso es isomorfo a su propio espacio dual fuerte) y reemplaza${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }}$con el dual de este${\displaystyle L^{2}}$espacio. ^{[ 2 ]} La cuestión de por qué un resultado tan bueno se cumple para el espacio de distribuciones y funciones de prueba pero no para el espacio de Hilbert${\displaystyle L^{2}}$(que generalmente se considera uno de los TVS "más agradables") llevó a Grothendieck a descubrir espacios nucleares, mapas nucleares y el producto tensorial inyectivo .

Esta sección enumera algunas de las definiciones más comunes de espacio nuclear. Todas las definiciones que se presentan a continuación son equivalentes. Cabe destacar que algunos autores utilizan una definición más restrictiva de espacio nuclear, añadiendo la condición de que el espacio también sea un espacio de Fréchet . (Esto significa que el espacio es completo y su topología viene dada por una familia numerable de seminormas).

Grothendieck utilizó la siguiente definición para definir los espacios nucleares. ^{[ 4 ]}

Definición 0 : Sea${\displaystyle X}$Sea un espacio vectorial topológico localmente convexo. Entonces${\displaystyle X}$es nuclear si para cada espacio localmente convexo${\displaystyle Y,}$la incrustación del espacio vectorial canónico${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$es una incrustación de TVS cuya imagen es densa en el codominio (donde el dominio${\displaystyle X\otimes _ {\pi }Y}$es el producto tensorial proyectivo y el codominio es el espacio de todas las formas bilineales continuas por separado en${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }}$dotada de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos equicontinuos ).

Comenzamos recordando algunos antecedentes. Un espacio vectorial topológico localmente convexo${\displaystyle X}$tiene una topología definida por alguna familia de seminormas . Para cada seminorma, la bola unitaria es un entorno cerrado, convexo y simétrico del origen, y recíprocamente, todo entorno cerrado, convexo y simétrico de 0 es la bola unitaria de alguna seminorma. (Para espacios vectoriales complejos, la condición "simétrico" debe reemplazarse por " equilibrado ").${\displaystyle p}$es una semirroma en ${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle X_{p}}$denota el espacio de Banach dado al completar el espacio normado auxiliar usando la seminorma${\displaystyle p.}$Hay un mapa natural${\displaystyle X\to X_{p}}$(no necesariamente inyectivo).

Si${\displaystyle q}$es otra seminorma, más grande que${\displaystyle p}$(punto por punto como una función en${\displaystyle X}$), entonces hay un mapa natural de${\displaystyle X_{q}}$a${\displaystyle X_{p}}$de tal manera que el primer mapa se considera como${\displaystyle X\to X_{q}\to X_{p}.}$Estos mapas son siempre continuos. El espacio${\displaystyle X}$Se considera nuclear cuando se cumple una condición más estricta, a saber, que estos mapas sean operadores nucleares . La condición de ser un operador nuclear es sutil, y se pueden encontrar más detalles en el artículo correspondiente.

Definición 1 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cada seminorma${\displaystyle p}$podemos encontrar una semirrecta mayor${\displaystyle q}$para que el mapa natural${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$es nuclear .

De manera informal, esto significa que siempre que se nos da la bola unitaria de alguna seminorma, podemos encontrar una bola unitaria "mucho más pequeña" de otra seminorma dentro de ella, o que cada entorno de 0 contiene un entorno "mucho más pequeño". No es necesario comprobar esta condición para todas las seminormas. ${\displaystyle p}$; basta con comprobarlo para un conjunto de seminormas que generen la topología, en otras palabras, un conjunto de seminormas que sean una subbase para la topología.

En lugar de utilizar espacios de Banach arbitrarios y operadores nucleares, podemos dar una definición en términos de espacios de Hilbert y operadores de clase traza , que son más fáciles de entender. (En espacios de Hilbert, los operadores nucleares a menudo se denominan operadores de clase traza). Diremos que una seminorma${\displaystyle p}$es una semimorra de Hilbert si${\displaystyle X_{p}}$es un espacio de Hilbert, o equivalentemente si${\displaystyle p}$proviene de una forma semidefinida positiva sesquilineal en ${\displaystyle X.}$

Definición 2 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico con una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, tal que para cada seminorma de Hilbert${\displaystyle p}$Podemos encontrar un semirrecta de Hilbert mayor.${\displaystyle q}$para que el mapa natural de${\displaystyle X_{q}}$a${\displaystyle X_{p}}$es una clase de rastreo .

Algunos autores prefieren usar operadores de Hilbert-Schmidt en lugar de operadores de clase traza. Esto no supone una gran diferencia, ya que todo operador de clase traza es de Hilbert-Schmidt, y el producto de dos operadores de Hilbert-Schmidt es de clase traza.

Definición 3 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico con una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, tal que para cada seminorma de Hilbert${\displaystyle p}$Podemos encontrar un semirrecta de Hilbert mayor.${\displaystyle q}$para que el mapa natural de${\displaystyle X_{q}}$a${\displaystyle X_{p}}$es Hilbert-Schmidt.

Si estamos dispuestos a utilizar el concepto de operador nuclear desde un espacio vectorial topológico localmente convexo arbitrario a un espacio de Banach, podemos dar definiciones más cortas como las siguientes:

Definición 4 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cada seminorma${\displaystyle p}$el mapa natural de${\displaystyle X\to X_{p}}$es nuclear .

Definición 5 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que toda aplicación lineal continua a un espacio de Banach es nuclear.

Grothendieck utilizó una definición similar a la siguiente:

Definición 6 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo.${\displaystyle A}$de tal manera que para cada espacio vectorial topológico localmente convexo${\displaystyle B}$el mapa natural del producto tensorial proyectivo al inyectivo de${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$es un isomorfismo.

De hecho, basta con comprobar esto solo para los espacios de Banach.${\displaystyle B,}$o incluso solo para el único espacio Banach${\displaystyle \ell ^{1}}$de series absolutamente convergentes.

Dejar${\displaystyle X}$Sea Hausdorff un espacio localmente convexo. Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$es nuclear;
2. para cualquier espacio localmente convexo${\displaystyle Y,}$la incrustación del espacio vectorial canónico${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$es una incrustación de TVS cuya imagen es densa en el codominio;
3. para cualquier espacio Banach${\displaystyle Y,}$la incrustación del espacio vectorial canónico${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$es un isomorfismo sobreyectivo de TVS; ^{[ 5 ]}
4. para cualquier espacio de Hausdorff localmente convexo${\displaystyle Y,}$la incrustación del espacio vectorial canónico${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$es un isomorfismo sobreyectivo de TVS; ^{[ 5 ]}
5. la incrustación canónica de${\displaystyle \ell ^{1}[\mathbb {N} ,X]}$en${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ,X)}$es un isomorfismo sobreyectivo de TVS; ^{[ 6 ]}
6. el mapa canónico de${\displaystyle \ell ^{1}{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\to \ell ^{1}{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }X}$es un isomorfismo TVS sobreyectivo. ^{[ 6 ]}
7. para cualquier seminorma${\displaystyle p}$podemos encontrar una semirrecta mayor${\displaystyle q}$para que el mapa natural${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$es nuclear ;
8. para cualquier seminorma${\displaystyle p}$podemos encontrar una semirrecta mayor${\displaystyle q}$para que la inyección canónica${\displaystyle X_{p}^{\prime }\to X_{q}^{\prime }}$es nuclear; ^{[ 5 ]}
9. la topología de${\displaystyle X}$se define por una familia de seminormas de Hilbert, de tal manera que para cualquier seminorma de Hilbert${\displaystyle p}$Podemos encontrar un semirrecta de Hilbert mayor.${\displaystyle q}$para que el mapa natural${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$es clase de rastreo ;
10. ${\displaystyle X}$tiene una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, de tal manera que para cualquier seminorma de Hilbert${\displaystyle p}$Podemos encontrar un semirrecta de Hilbert mayor.${\displaystyle q}$para que el mapa natural${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$es Hilbert-Schmidt;
11. para cualquier seminorma${\displaystyle p}$el mapa natural de${\displaystyle X\to X_{p}}$es nuclear .
12. cualquier aplicación lineal continua a un espacio de Banach es nuclear;
13. cada seminorma continua en${\displaystyle X}$es prenuclear; ^{[ 7 ]}
14. cada subconjunto equicontinuo de${\displaystyle X^{\prime }}$es prenuclear; ^{[ 7 ]}
15. cada mapeo lineal de un espacio de Banach a${\displaystyle X^{\prime }}$que transforma la bola unitaria en un conjunto equicontinuo, es nuclear; ^{[ 5 ]}
16. la finalización de${\displaystyle X}$es un espacio nuclear;

Si${\displaystyle X}$Si se trata de un espacio de Fréchet, entonces las siguientes opciones son equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$es nuclear;
2. toda secuencia incondicionalmente sumable en${\displaystyle X}$es absolutamente sumable; ^{[ 6 ]}
3. el fuerte dual de${\displaystyle X}$es nuclear;

• Un espacio de Hausdorff localmente convexo es nuclear si y solo si su completación es nuclear.
• Todo subespacio de un espacio nuclear es nuclear. ^{[ 8 ]}
• Todo espacio cociente de Hausdorff de un espacio nuclear es nuclear. ^{[ 8 ]}
• El límite inductivo de una secuencia numerable de espacios nucleares es nuclear. ^{[ 8 ]}
• La suma directa localmente convexa de una secuencia numerable de espacios nucleares es nuclear. ^{[ 8 ]}
• El dual fuerte de un espacio de Fréchet nuclear es nuclear. ^{[ 9 ]}
  • En general, el dual fuerte de un espacio nuclear puede no ser nuclear. ^{[ 9 ]}
• Un espacio de Fréchet cuyo dual fuerte es nuclear es en sí mismo nuclear. ^{[ 9 ]}
• El límite de una familia de espacios nucleares es nuclear. ^{[ 8 ]}
• El producto de una familia de espacios nucleares es nuclear. ^{[ 8 ]}
• La finalización de un espacio nuclear es nuclear (y, de hecho, un espacio es nuclear si y solo si su finalización es nuclear).
• El producto tensorial de dos espacios nucleares es nuclear.
• El producto tensorial proyectivo , así como su completación, de dos espacios nucleares es nuclear. ^{[ 10 ]}

Supongamos que${\displaystyle X,Y,}$y${\displaystyle N}$son espacios localmente convexos con${\displaystyle N}$es nuclear.

• Si${\displaystyle N}$es nuclear entonces el espacio vectorial de mapas lineales continuos${\displaystyle L_{\sigma }(X,N)}$Un espacio nuclear está dotado de la topología de convergencia simple. ^{[ 9 ]}
• Si${\displaystyle X}$es un espacio semirreflexivo cuyo dual fuerte es nuclear y si${\displaystyle N}$es nuclear entonces el espacio vectorial de mapas lineales continuos${\displaystyle L_{b}(X,N)}$(dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de${\displaystyle X}$) es un espacio nuclear. ^{[ 11 ]}

Los espacios nucleares son, en muchos sentidos, similares a los espacios de dimensión finita y poseen muchas de sus buenas propiedades.

• Todo espacio de Hausdorff de dimensión finita es nuclear.
• Un espacio de Fréchet es nuclear si y solo si su dual fuerte es nuclear.
• Todo subconjunto acotado de un espacio nuclear es precompacto (recordemos que un conjunto es precompacto si su clausura en la completación del espacio es compacta). ^{[ 13 ]} Esto es análogo al teorema de Heine-Borel . En cambio, ningún espacio normado de dimensión infinita posee esta propiedad (aunque los espacios de dimensión finita sí).
• Si${\displaystyle X}$es un espacio nuclear cuasi-completo (es decir, todos los subconjuntos cerrados y acotados son completos) entonces${\displaystyle X}$tiene la propiedad de Heine-Borel . ^{[ 14 ]}
• Un espacio de barril cuasi-completo nuclear es un espacio de Montel .
• Todo subconjunto equicontinuo cerrado del dual de un espacio nuclear es un conjunto metrizable compacto (para la topología dual fuerte).
• Todo espacio nuclear es un subespacio de un producto de espacios de Hilbert.
• Todo espacio nuclear admite una base de seminormas formadas por normas de Hilbert.
• Todo espacio nuclear es un espacio de Schwartz.
• Todo espacio nuclear posee la propiedad de aproximación. ^{[ 15 ]}
• Cualquier subespacio y cualquier espacio cociente por un subespacio cerrado de un espacio nuclear es nuclear.
• Si${\displaystyle A}$es nuclear y${\displaystyle B}$es cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo, entonces el mapa natural del producto tensorial proyectivo de A y${\displaystyle B}$El producto tensorial inyectivo es un isomorfismo. En términos generales, esto significa que solo hay una forma sensata de definir el producto tensorial. Esta propiedad caracteriza los espacios nucleares.${\displaystyle A.}$
• En la teoría de medidas sobre espacios vectoriales topológicos, un teorema fundamental establece que cualquier medida continua de conjuntos de cilindros sobre el dual de un espacio de Fréchet nuclear se extiende automáticamente a una medida de Radon . Esto resulta útil porque, si bien suele ser sencillo construir medidas de conjuntos de cilindros sobre espacios vectoriales topológicos, estas no son suficientemente adecuadas para la mayoría de las aplicaciones, a menos que sean medidas de Radon (por ejemplo, ni siquiera son numerablemente aditivas en general).

Cualquier función definida positiva continua${\displaystyle C}$en un espacio nuclear${\displaystyle A}$se denomina funcional característico si${\displaystyle C(0)=1,}$y para cualquier${\displaystyle z_{j}\in \mathbb {C} ,}$${\displaystyle x_{j}\in A}$y${\displaystyle j,k=1,\ldots ,n,}$^{[ 16 ] [ 17 ]}$${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}z_{j}{\bar {z}}_{k}C(x_{j}-x_{k})\geq 0.}$$

Dado un funcional característico en un espacio nuclear${\displaystyle A,}$El teorema de Bochner-Minlos (en honor a Salomon Bochner y Robert Adol'fovich Minlos ) garantiza la existencia y unicidad de una medida de probabilidad correspondiente.${\displaystyle \mu }$en el espacio doble${\displaystyle A^{\prime }}$de tal manera que $${\displaystyle C(y)=\int _{A^{\prime }}e^{i\langle x,y\rangle }\,d\mu (x),}$$

dónde${\displaystyle C(y)}$es la transformada de Fourier-Stieltjes de${\displaystyle \mu }$, extendiendo así la transformada inversa de Fourier a espacios nucleares. ^{[ 18 ]}

En particular, si${\displaystyle A}$es el espacio nuclear $${\displaystyle A=\bigcap _{k=0}^{\infty }H_{k},}$$ dónde${\displaystyle H_{k}}$son espacios de Hilbert, el teorema de Bochner-Minlos garantiza la existencia de una medida de probabilidad con la función característica${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}\|y\|_{H_{0}}^{2}},}$es decir, la existencia de la medida gaussiana en el espacio dual . Dicha medida se denomina medida de ruido blanco . Cuando${\displaystyle A}$es el espacio de Schwartz, el elemento aleatorio correspondiente es una distribución aleatoria .

Un espacio fuertemente nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cualquier seminorma${\displaystyle p}$existe una semirrecta mayor${\displaystyle q}$para que el mapa natural${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$es fuertemente nuclear .

• Espacio auxiliar normalizado
• Núcleo de Fredholm : tipo de núcleo en un espacio de Banach.
• Producto tensorial inyectivo
• Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial cuya topología está definida por conjuntos abiertos convexos.
• operador nuclear
• Producto tensorial proyectivo : un producto tensorial definido en dos espacios vectoriales topológicos.
• Espacio de Hilbert manipulado : una construcción que vincula el estudio de los valores propios "ligados" y continuos en el análisis funcional.
• Clase de traza : la clase de operadores compactos para los que se puede definir una traza finita.
• Espacio vectorial topológico : un espacio vectorial con una noción de proximidad.