núcleo de Fredholm

En matemáticas , un núcleo de Fredholm es un tipo específico de núcleo en un espacio de Banach , asociado a operadores nucleares en dicho espacio. Constituyen una abstracción de la ecuación integral de Fredholm y del operador de Fredholm , y son objeto de estudio en la teoría de Fredholm . Los núcleos de Fredholm reciben su nombre en honor a Erik Ivar Fredholm . Gran parte de la teoría abstracta de los núcleos de Fredholm fue desarrollada por Alexander Grothendieck y publicada en 1955.

Sea B un espacio de Banach arbitrario , y sea B ^* su dual, es decir, el espacio de funcionales lineales acotados en B. El producto tensorial${\displaystyle B^{*}\otimes B}$tiene una finalización según la norma

${\displaystyle \Vert X\Vert _{\pi }=\inf \sum _{\{i\}}\Vert e_{i}^{*}\Vert \Vert e_{i}\Vert }$

donde el ínfimo se toma sobre todas las representaciones finitas

${\displaystyle X=\sum _{\{i\}}e_{i}^{*}\otimes e_{i}\in B^{*}\otimes B}$

La finalización, según esta norma, se suele denotar como

${\displaystyle B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B}$

y se denomina producto tensorial topológico proyectivo . Los elementos de este espacio se denominan núcleos de Fredholm .

Cada núcleo de Fredholm tiene una representación en la forma

${\displaystyle X=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}\otimes e_{i}}$

con${\displaystyle e_{i}\in B}$y${\displaystyle e_{i}^{*}\in B^{*}}$de tal manera que${\displaystyle \Vert e_{i}\Vert =\Vert e_{i}^{*}\Vert =1}$y

${\displaystyle \sum _{\{i\}}\vert \lambda _{i}\vert <\infty .\,}$

A cada núcleo de este tipo se le asocia un operador lineal.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}:B\to B}$

que tiene la representación canónica

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(f)e_{i}.\,}$

A cada núcleo de Fredholm se le asocia una traza, definida como

${\displaystyle {\mbox{tr}}X=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(e_{i}).\,}$

Se dice que un núcleo de Fredholm es p -sumable si

${\displaystyle \sum _{\{i\}}\vert \lambda _{i}\vert ^{p}<\infty .}$

Se dice que un núcleo de Fredholm es de orden q si q es el ínfimo de todos los núcleos de Fredholm.${\displaystyle 0<p\leq 1}$para todo p para el cual es p -sumable.

Se dice que un operador L  : B → B es un operador nuclear si existe un X ∈${\displaystyle B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B}$tal que L = L _X . Se dice que dicho operador es p -sumable y de orden q si X lo es. En general, puede haber más de un X asociado a dicho operador nuclear, por lo que la traza no está definida de forma única. Sin embargo, si el orden q ≤ 2/3, entonces existe una traza única, como lo establece un teorema de Grothendieck.

Si${\displaystyle {\mathcal {L}}:B\to B}$es un operador de orden${\displaystyle q\leq 2/3}$entonces se puede definir un rastro, con

${\displaystyle {\mbox{Tr}}{\mathcal {L}}=\sum _{\{i\}}\rho _{i}}$

dónde${\displaystyle \rho _{i}}$son los valores propios de${\displaystyle {\mathcal {L}}}$Además, el determinante de Fredholm

${\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\prod _{i}\left(1-\rho _{i}z\right)}$

es una función entera de z . La fórmula

${\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\exp {\mbox{Tr}}\log \left(1-z{\mathcal {L}}\right)}$

También se cumple. Finalmente, si${\displaystyle {\mathcal {L}}}$está parametrizado por algún parámetro w de valor complejo , es decir, ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{w}}$y la parametrización es holomorfa en algún dominio , entonces

${\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}_{w}\right)}$

es holomorfa en el mismo dominio.

Un ejemplo importante es el espacio de Banach de funciones holomorfas sobre un dominio.${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{k}}$. En este espacio, cada operador nuclear es de orden cero y, por lo tanto, es de clase traza .

La idea de un operador nuclear puede adaptarse a los espacios de Fréchet . Un espacio nuclear es un espacio de Fréchet donde toda aplicación acotada del espacio a un espacio de Banach arbitrario es nuclear.

• Grothendieck A (1955). "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires". Memoria. América. Matemáticas. Soc . 16 .
• Grothendieck A (1956). "La teoría de Fredholm" . Toro. Soc. Matemáticas. Francia . 84 : 319– 84. doi : 10.24033/bsmf.1476 .
• BV Khvedelidze, GL Litvinov (2001) [1994], "Núcleo de Fredholm" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Fréchet M (noviembre de 1932). "Sobre el comportamiento de la n-ésima iteración de un núcleo de Fredholm cuando n tiende a infinito" . Proc . Natl. Acad. Sci. USA . 18 (11): 671–3 . Bibcode : 1932PNAS...18..671F . doi : 10.1073/pnas.18.11.671 . PMC 1076308. PMID 16577494 .