Geometría no euclidiana

En matemáticas , la geometría no euclidiana consta de dos geometrías basadas en axiomas estrechamente relacionados con los que especifican la geometría euclidiana . Dado que la geometría euclidiana se sitúa en la intersección de la geometría métrica y la geometría afín , la geometría no euclidiana surge al sustituir el postulado de las paralelas por una alternativa, o al considerar formas cuadráticas distintas de las definidas asociadas a la geometría métrica . En el primer caso, se obtienen la geometría hiperbólica y la geometría elíptica , las geometrías no euclidianas tradicionales. Cuando se admiten formas cuadráticas isotrópicas , aparecen planos afines asociados a las álgebras planas , que dan lugar a geometrías cinemáticas que también se han denominado geometría no euclidiana.

La diferencia esencial entre las geometrías métricas radica en la naturaleza de las líneas paralelas . El quinto postulado de Euclides , el postulado de las paralelas , es equivalente al postulado de Playfair , que establece que, en un plano bidimensional, para cualquier línea l y un punto p que no pertenezca a l , existe exactamente una línea que pasa por p y no interseca a l . En la geometría hiperbólica, por el contrario, existen infinitas líneas que pasan por p y no intersecan a l , mientras que en la geometría elíptica, cualquier línea que pasa por p interseca a l .

Otra forma de describir las diferencias entre estas geometrías es considerar dos líneas rectas extendidas indefinidamente en un plano bidimensional que son perpendiculares a una tercera línea (en el mismo plano):

• En la geometría euclidiana, las líneas permanecen a una distancia constante entre sí (lo que significa que una línea trazada perpendicularmente a una de ellas en cualquier punto intersectará a la otra línea, y la longitud del segmento que une los puntos de intersección permanece constante) y se conocen como paralelas.
• En geometría hiperbólica, divergen entre sí, aumentando la distancia a medida que uno se aleja de los puntos de intersección con la perpendicular común; estas líneas a menudo se denominan ultraparalelas .
• En la geometría elíptica, las líneas convergen entre sí y se intersecan.

La geometría euclidiana puede describirse axiomáticamente de varias maneras. Sin embargo, el sistema original de cinco postulados (axiomas) de Euclides no es uno de ellos, ya que sus demostraciones se basaban en varias suposiciones implícitas que también deberían haberse considerado axiomas. El sistema de Hilbert, compuesto por 20 axiomas ^{[ 20 ],} es el que más se asemeja al enfoque de Euclides y proporciona la justificación para todas sus demostraciones. Otros sistemas, utilizando diferentes conjuntos de términos indefinidos, obtienen la misma geometría por caminos distintos. No obstante, todos los enfoques poseen un axioma lógicamente equivalente al quinto postulado de Euclides: el postulado de las paralelas. Hilbert utiliza la forma axiomática de Playfair, mientras que Birkhoff , por ejemplo, emplea el axioma que establece que «Existe un par de triángulos semejantes pero no congruentes». En cualquiera de estos sistemas, la eliminación del axioma equivalente al postulado de las paralelas, en cualquiera de sus formas, y el mantenimiento de todos los demás axiomas, produce la geometría absoluta . Dado que las primeras 28 proposiciones de Euclides (en Los Elementos ) no requieren el uso del postulado de las paralelas ni de ningún equivalente, todas son afirmaciones verdaderas en geometría absoluta. ^{[ 21 ]}

Para obtener una geometría no euclidiana, el postulado de las paralelas (o su equivalente) debe ser reemplazado por su negación . La negación del axioma de Playfair , dado que es una proposición compuesta (...  existe uno y solo uno  ...), puede hacerse de dos maneras: o bien existirá más de una recta que pase por el punto paralela a la recta dada, o bien no existirá ninguna recta que pase por el punto paralela a la recta dada.

• En el primer caso, al reemplazar el postulado de las paralelas (o su equivalente) por la afirmación "En un plano, dado un punto P y una recta l que no pasa por P, existen dos rectas que pasan por P y no intersecan a l ", y manteniendo todos los demás axiomas, se obtiene la geometría hiperbólica . ^{[ 22 ]}
• El segundo caso no se resuelve tan fácilmente. Simplemente reemplazar el postulado de las paralelas con la afirmación: «En un plano, dado un punto P y una recta l que no pasa por P, todas las rectas que pasan por P intersecan a l », no da como resultado un conjunto coherente de axiomas. Esto se debe a que las rectas paralelas existen en geometría absoluta, ^{[ 23 ]} pero esta afirmación dice que no existen. Este problema era conocido (con otra formulación) por Khayyam, Saccheri y Lambert, y fue la base para que rechazaran lo que se conocía como el «caso del ángulo obtuso». Para obtener un conjunto coherente de axiomas que incluya este axioma sobre la ausencia de rectas paralelas, es necesario modificar algunos otros axiomas. Estos ajustes dependen del sistema axiomático utilizado. Entre otros, estas modificaciones tienen el efecto de cambiar el segundo postulado de Euclides, pasando de la afirmación de que los segmentos de recta pueden extenderse indefinidamente a la afirmación de que las rectas son ilimitadas. La geometría elíptica de Riemann emerge como la geometría más natural que satisface este axioma.

Los modelos de geometría no euclidiana son modelos matemáticos de geometrías que no son euclidianas en el sentido de que no existe exactamente una línea paralela a una línea dada l que pase por un punto A que no esté en l . En los modelos de geometría hiperbólica, por el contrario, existen infinitas líneas paralelas a l que pasan por A , y en los modelos de geometría elíptica, no existen líneas paralelas. (Consulte las entradas sobre geometría hiperbólica y geometría elíptica para obtener más información).

La geometría euclidiana se modela mediante nuestra noción de " plano ". El modelo más simple para la geometría elíptica es una esfera, donde las líneas son " círculos máximos " (como el ecuador o los meridianos en un globo terráqueo ) y los puntos opuestos se identifican (se consideran iguales). La pseudoesfera tiene la curvatura adecuada para modelar la geometría hiperbólica.

Las geometrías euclidianas y no euclidianas comparten muchas propiedades, sobre todo aquellas que no dependen de la naturaleza del paralelismo. Esta similitud es el tema central de la geometría absoluta (también llamada geometría neutra ). Sin embargo, históricamente, las propiedades que distinguen una geometría de otra han sido las que han recibido mayor atención.

Además del comportamiento de las líneas con respecto a una perpendicular común, mencionado en la introducción, también tenemos lo siguiente:

• Un cuadrilátero de Lambert es un cuadrilátero con tres ángulos rectos. El cuarto ángulo de un cuadrilátero de Lambert es agudo si la geometría es hiperbólica, recto si es euclidiana u obtuso si es elíptica. Por consiguiente, los rectángulos existen (un enunciado equivalente al postulado de las paralelas) únicamente en la geometría euclidiana.
• Un cuadrilátero de Saccheri es un cuadrilátero con dos lados de igual longitud, ambos perpendiculares a un lado llamado base . Los otros dos ángulos de un cuadrilátero de Saccheri se denominan ángulos superiores e inferiores y tienen la misma medida. Los ángulos superiores de un cuadrilátero de Saccheri son agudos si la geometría es hiperbólica, rectos si es euclidiana y obtusos si es elíptica.
• La suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es menor que 180° si la geometría es hiperbólica, igual a 180° si es euclidiana y mayor que 180° si es elíptica. El defecto de un triángulo es el valor numérico (180° − la suma de las medidas de sus ángulos). Este resultado también puede expresarse de la siguiente manera: el defecto de los triángulos en geometría hiperbólica es positivo, el de los triángulos en geometría euclidiana es cero y el de los triángulos en geometría elíptica es negativo.

Antes de que Beltrami, Klein y Poincaré presentaran los modelos de un plano no euclidiano, la geometría euclidiana era el modelo matemático del espacio indiscutible . Además, dado que la esencia de la geometría sintética radicaba en la racionalidad, la perspectiva euclidiana representaba una autoridad absoluta.

El descubrimiento de las geometrías no euclidianas tuvo un efecto dominó que trascendió con creces los límites de las matemáticas y la ciencia. El análisis del conocimiento humano por parte del filósofo Immanuel Kant otorgó un papel especial a la geometría. Esta fue su principal ejemplo de conocimiento sintético a priori ; no derivado de los sentidos ni deducido mediante la lógica: nuestro conocimiento del espacio era una verdad innata. Desafortunadamente para Kant, su concepto de esta geometría inalterablemente verdadera era euclidiana. La teología también se vio afectada por el cambio de la verdad absoluta a la verdad relativa en la relación de las matemáticas con el mundo que las rodea, lo cual fue consecuencia de este cambio de paradigma. ^{[ 25 ]}

La geometría no euclidiana es un ejemplo de revolución científica en la historia de la ciencia , en la que matemáticos y científicos cambiaron su manera de ver sus disciplinas. ^{[ 26 ]} Algunos geómetras llamaron a Lobachevsky el " Copérnico de la Geometría" debido al carácter revolucionario de su obra. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

La existencia de geometrías no euclidianas impactó la vida intelectual de la Inglaterra victoriana de muchas maneras ^{[ 29 ]} y, en particular, fue uno de los factores principales que provocaron una revisión de la enseñanza de la geometría basada en los Elementos de Euclides . Este tema curricular fue objeto de acalorados debates en la época e incluso fue tema de un libro, Euclides y sus rivales modernos , escrito por Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898), más conocido como Lewis Carroll , autor de Alicia en el país de las maravillas .

En geometría analítica, un plano se describe mediante coordenadas cartesianas :

${\displaystyle C=\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}}$

Los puntos a veces se identifican con números complejos generalizados z = x + y ε donde ε ² ∈ { –1, 0, 1 } .

El plano euclidiano corresponde al caso ε ² = − 1 , una unidad imaginaria . Dado que el módulo de z viene dado por

${\displaystyle zz^{\ast }=(x+y\epsilon )(xy\epsilon )=x^{2}+y^{2},}$Esta cantidad es el cuadrado de la distancia euclidiana entre z y el origen.

Por ejemplo, { z | zz * = 1} es el círculo unitario .

Para el álgebra plana, la geometría no euclidiana surge en los otros casos. Cuando ε ² = +1 , una unidad hiperbólica . Entonces z es un número complejo dividido y convencionalmente j reemplaza a épsilon. Entonces

${\displaystyle zz^{\ast }=(x+y\mathbf {j} )(xy\mathbf {j} )=x^{2}-y^{2}\!}$

y { z | zz * = 1} es la hipérbola unitaria .

Cuando ε ² = 0 , entonces z es un número dual . ^{[ 30 ]}

Este enfoque de la geometría no euclidiana explica los ángulos no euclidianos: los parámetros de pendiente en el plano de números duales y el ángulo hiperbólico en el plano complejo dividido corresponden al ángulo en la geometría euclidiana. De hecho, ambos surgen en la descomposición polar de un número complejo z . ^{[ 31 ]}

La geometría hiperbólica encontró una aplicación en la cinemática con la cosmología física introducida por Hermann Minkowski en 1908. Minkowski introdujo términos como línea de universo y tiempo propio en la física matemática . Se dio cuenta de que la subvariedad de eventos un instante de tiempo propio en el futuro podía considerarse un espacio hiperbólico de tres dimensiones. ^{[ 32 ] [ 33 ]} Ya en la década de 1890, Alexander Macfarlane estaba trazando esta subvariedad a través de su Álgebra de la Física y los cuaterniones hiperbólicos , aunque Macfarlane no utilizó el lenguaje cosmológico como lo hizo Minkowski en 1908. La estructura relevante ahora se llama modelo hiperboloide de geometría hiperbólica.

Las álgebras planas no euclidianas admiten geometrías cinemáticas en el plano. Por ejemplo, el número complejo dividido z = e ^{a j} puede representar un evento espaciotemporal un instante en el futuro de un marco de referencia de rapidez a . Además, la multiplicación por z equivale a una transformación de Lorentz que mapea el marco con rapidez cero al marco con rapidez a .

El estudio cinemático utiliza los números duales.${\displaystyle z=x+y\epsilon ,\quad \epsilon ^{2}=0,}$para representar la descripción clásica del movimiento en el tiempo y el espacio absolutos : Las ecuaciones${\displaystyle x^{\prime }=x+vt,\quad t^{\prime }=t}$son equivalentes a una aplicación de corte en álgebra lineal:${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}.}$

Con números duales el mapeo es${\displaystyle t^{\prime }+x^{\prime }\epsilon =(1+v\epsilon )(t+x\epsilon )=t+(x+vt)\epsilon .}$^{[ 34 ]}

Otra perspectiva de la relatividad especial como una geometría no euclidiana fue propuesta por E.B. Wilson y Gilbert Lewis en las Actas de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias en 1912. Renovaron la geometría analítica implícita en el álgebra de números complejos divididos, transformándola en una geometría sintética de premisas y deducciones. ^{[ 35 ] [ 36 ]}

La geometría no euclidiana aparece con frecuencia en obras de ciencia ficción y fantasía .

• En 1895, H.G. Wells publicó el cuento «El extraordinario caso de los ojos de Davidson». Para apreciar esta historia, es necesario saber cómo se identifican los puntos antipodales en una esfera dentro de un modelo del plano elíptico. En el relato, en medio de una tormenta eléctrica, Sidney Davidson ve «olas y una goleta extraordinariamente pulcra» mientras trabaja en un laboratorio eléctrico del Harlow Technical College. Al final de la historia, Davidson demuestra haber visto el HMS Fulmar frente a la isla de Antípodas .
• La geometría no euclidiana se relaciona a veces con la influencia del escritor de ficción de terror del siglo XX , H.P. Lovecraft . En sus obras, muchas cosas antinaturales siguen sus propias leyes geométricas: en los Mitos de Cthulhu de Lovecraft , la ciudad sumergida de R'lyeh se caracteriza por su geometría no euclidiana. Se da a entender que esto se logra como un efecto secundario de no seguir las leyes naturales de este universo, en lugar de simplemente usar un modelo geométrico alternativo, ya que se dice que su intrínseca maldad es capaz de enloquecer a quienes la contemplan. ^{[ 37 ]}
• El personaje principal de la obra Zen y el arte del mantenimiento de motocicletas de Robert Pirsig menciona la geometría riemanniana en múltiples ocasiones.
• En Los hermanos Karamazov , Dostoievski aborda la geometría no euclidiana a través de su personaje Iván.
• La novela Mundo invertido de Christopher Priest describe la lucha por vivir en un planeta con forma de pseudoesfera giratoria .
• La novela El número de la bestia, de Robert Heinlein, utiliza la geometría no euclidiana para explicar el transporte instantáneo a través del espacio y el tiempo, y entre universos paralelos y ficticios.
• HyperRogue de Zeno Rogue es un juego roguelike ambientado en el plano hiperbólico , que permite al jugador experimentar muchas propiedades de esta geometría. Muchas mecánicas, misiones y ubicaciones dependen en gran medida de las características de la geometría hiperbólica. ^{[ 38 ]}
• En el universo de ciencia ficción de la Legión Renegada , utilizado en los juegos de guerra , de rol y de ficción de FASA, los viajes y las comunicaciones a velocidades superiores a la de la luz son posibles gracias al uso de la Geometría No Euclidiana Polidimensional de Hsieh Ho, publicada a mediados del siglo XXII.
• En Flatterland , de Ian Stewart , la protagonista Victoria Line visita todo tipo de mundos no euclidianos.

• Espacio euclidiano §  Otros espacios geométricos
• espacio hiperbólico
• esfera de Lénárt
• Geometría proyectiva
• Crecimiento superficial no euclidiano
• Paralelo (geometría) §  En geometría no euclidiana
• Geometría esférica §  Relación con geometrías similares

• A'Campo, Norbert ; Papadopoulos, Athanase (2012), "Notas sobre geometría no euclidiana", Strasbourg Master Class on Geometry , Zúrich, Suiza: European Mathematical Society, pp. 1–182 , doi : 10.4171/105-1/1 , ISBN  978-3-03719-105-7, OCLC 776505866 
• Anderson, James W. (1999), Geometría hiperbólica , Londres: Springer, ISBN 978-1-85233-156-6
• Beltrami, Eugenio (1868), "Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante"  , Annali di Matematica , 2 (1): 232– 255, doi : 10.1007/BF02419615
• Blumenthal, Leonard M. (1980), Una visión moderna de la geometría , Mineola, NY: Dover, ISBN 978-0-486-63962-8
• Carrol, Lewis (1879), Euclides y sus rivales modernos , Londres: MacMillan
• Coxeter, HSM (1961) [1942], Geometría no euclidiana (4.ª  ed.), Toronto: University of Toronto Press
• Faber, Richard L. (1983), Fundamentos de la geometría euclidiana y no euclidiana , Nueva York: Dekker, ISBN 978-0-8247-1748-3
• Gray, Jeremy (1989) [1979], Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic (2.ª  ed.), Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853935-3
• Greenberg, Marvin J. (2008), Geometrías euclidianas y no euclidianas: desarrollo e historia (4.ª  ed.), Nueva York: WH Freeman, ISBN 978-0-7167-9948-1
• Kline, Morris (1972), El pensamiento matemático desde la antigüedad hasta la época moderna , Nueva York: Oxford University Press, págs.  861-881, ISBN 978-0-19-501496-9
• Lavenda, Bernard H. , ed. (2012), Una nueva perspectiva sobre la relatividad: una odisea en geometrías no euclidianas , Singapur: World Scientific, Bibcode : 2012npro.book.....L , doi : 10.1142/9789814340496_0001 , ISBN 978-981-4340-49-6
• Lobačevskij, Nikolaj I. (2010), Pangeometría , traducido por Papadopoulos, Athanase, Zúrich: Sociedad Matemática Europea, ISBN 978-3-03719-087-6
• Manning, Henry Parker (1901), Geometría no euclidiana
• Meschkowski, Herbert (1964), Geometría nouclídea , traducido por Shenitzer, A., Nueva York: Academic Press
• Milnor, John W. (1982), "Geometría hiperbólica: Los primeros 150 años" , Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 6 (1): 9–24 , doi : 10.1090/S0273-0979-1982-14958-8
• Richards, Joan L. (1988), Visiones matemáticas: La búsqueda de la geometría en la Inglaterra victoriana , Boston: Academic Press, ISBN 978-0-12-587445-8
• Smart, James R. (1997), Geometrías modernas (5.ª  ed.), Pacific Grove, CA: Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-35188-5
• Stewart, Ian (2001), Flatterland: Como Flatland, pero aún más , Cambridge, MA: Perseus Books, ISBN 978-0-7382-0675-2
• Stillwell, John (1996), Fuentes de la geometría hiperbólica , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0529-9
• Trudeau, Richard J. (2001) [1987], La revolución no euclidiana , Boston: Birkhäuser, ISBN 978-1-4612-2102-9
• Lambert, Johann Heinrich (2014), Papadopoulos, Athanase; Théret, Guillaume (eds.), La théorie des lignes parallèles de Johann Heinrich Lambert , París: Librairie Albert Blanchard, ISBN 978-2-85367-266-5

• Contenido multimedia relacionado con la geometría no euclidiana en Wikimedia Commons.

• Roberto Bonola (1912) Geometría no euclidiana , Open Court, Chicago.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Geometría no euclidiana" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
• "Geometrías no euclidianas" Archivado el 9 de julio de 2015 en Wayback Machine de la Enciclopedia de Matemáticas de la Sociedad Matemática Europea y Springer.
• Espaciotiempo sintético , un compendio de los axiomas utilizados y los teoremas demostrados por Wilson y Lewis. Archivado por WebCite .