Geometría algebraica no conmutativa

La geometría algebraica no conmutativa es una rama de las matemáticas , y más específicamente una dirección en la geometría no conmutativa , que estudia las propiedades geométricas de los duales formales de objetos algebraicos no conmutativos como los anillos , así como los objetos geométricos derivados de ellos (por ejemplo, pegando a lo largo de localizaciones o tomando cocientes de pila no conmutativos ).

Por ejemplo, se supone que la geometría algebraica no conmutativa extiende la noción de esquema algebraico mediante la unión adecuada de espectros de anillos no conmutativos; dependiendo de cuán literal y general sea este objetivo (y la noción de espectro) en el contexto no conmutativo, se ha logrado con diversos grados de éxito. El anillo no conmutativo generaliza aquí un anillo conmutativo de funciones regulares sobre un esquema conmutativo . Las funciones sobre espacios usuales en la geometría algebraica tradicional (conmutativa) tienen un producto definido por la multiplicación puntual ; como los valores de estas funciones conmutan , las funciones también conmutan: a por b es igual a b por a . Es notable que considerar las álgebras asociativas no conmutativas como álgebras de funciones sobre un espacio "no conmutativo" es una intuición geométrica de gran alcance, aunque formalmente parezca una falacia.

Gran parte de la motivación para la geometría no conmutativa, y en particular para la geometría algebraica no conmutativa, proviene de la física; especialmente de la física cuántica, donde las álgebras de observables se consideran análogos no conmutativos de funciones, por lo que es deseable tener la capacidad de observar sus aspectos geométricos.

Uno de los valores de este campo es que también proporciona nuevas técnicas para estudiar objetos en geometría algebraica conmutativa, como los grupos de Brauer .

Los métodos de la geometría algebraica no conmutativa son análogos a los de la geometría algebraica conmutativa, pero con frecuencia sus fundamentos difieren. El comportamiento local en la geometría algebraica conmutativa se describe mediante el álgebra conmutativa , y especialmente mediante el estudio de los anillos locales . Estos no tienen un análogo en la teoría de anillos en el contexto no conmutativo; si bien en un marco categórico se puede hablar de pilas de categorías locales de haces cuasicoherentes sobre espectros no conmutativos. Las propiedades globales, como las que surgen del álgebra homológica y la teoría K, se extienden con mayor frecuencia al contexto no conmutativo.

Historia

Enfoque clásico: el problema de la localización no conmutativa

La geometría algebraica conmutativa comienza construyendo el espectro de un anillo . Los puntos de la variedad algebraica (o, más generalmente, esquema ) son los ideales primos del anillo, y las funciones sobre la variedad algebraica son los elementos del anillo. Sin embargo, un anillo no conmutativo puede no tener ideales primos bilaterales no nulos propios. Por ejemplo, esto es cierto para el álgebra de Weyl de operadores diferenciales polinomiales en el espacio afín: el álgebra de Weyl es un anillo simple . Por lo tanto, se puede intentar, por ejemplo, reemplazar un espectro primo por un espectro primitivo : también existe la teoría de la localización no conmutativa, así como la teoría del descenso . Esto funciona hasta cierto punto: por ejemplo, las álgebras envolventes de Dixmier pueden considerarse como el desarrollo de la geometría algebraica no conmutativa para el espectro primitivo de un álgebra envolvente de un álgebra de Lie . Otro trabajo de espíritu similar son las notas de Michael Artin tituladas “anillos no conmutativos” ^[¹^] , que en parte constituyen un intento de estudiar la teoría de la representación desde el punto de vista de la geometría no conmutativa. La idea clave en ambos enfoques es que las representaciones irreducibles , o al menos los ideales primitivos , pueden considerarse como “puntos no conmutativos”.

Punto de vista moderno utilizando categorías de gavillas

Resulta que, partiendo, por ejemplo, de espectros primitivos, no era fácil desarrollar una teoría de haces viable . Podría pensarse que esta dificultad se debe a una especie de fenómeno cuántico: los puntos en un espacio pueden influir en puntos lejanos (y, de hecho, no es apropiado tratar los puntos individualmente y considerar un espacio como una mera colección de puntos).

Debido a lo anterior, se acepta un paradigma implícito en la tesis de Pierre Gabriel y parcialmente justificado por el teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg (en honor a Pierre Gabriel y Alexander L. Rosenberg ) que establece que un esquema conmutativo puede reconstruirse, salvo isomorfismo de esquemas, únicamente a partir de la categoría abeliana de haces cuasicoherentes sobre el esquema. Alexander Grothendieck enseñó que para hacer geometría no se necesita un espacio, basta con tener una categoría de haces sobre ese espacio hipotético; esta idea fue transmitida al álgebra no conmutativa por Yuri Manin . Existen, aunque algo más débiles, teoremas de reconstrucción a partir de las categorías derivadas de haces (cuasi)coherentes que motivan la geometría algebraica no conmutativa derivada (véase más adelante).

Geometría algebraica derivada

Quizás el enfoque más reciente sea a través de la teoría de la deformación , que sitúa la geometría algebraica no conmutativa en el ámbito de la geometría algebraica derivada .

Como ejemplo motivador, consideremos el álgebra de Weyl unidimensional sobre los números complejos C. Este es el cociente del anillo libre C < x , y > por la relación

xy - yx = 1.

Este anillo representa los operadores diferenciales polinomiales en una sola variable x ; y representa el operador diferencial ∂ _x . Este anillo pertenece a una familia uniparamétrica dada por las relaciones xy - yx = α . Cuando α no es cero, esta relación determina un anillo isomorfo al álgebra de Weyl. Sin embargo, cuando α es cero, la relación es la relación de conmutatividad para x e y , y el anillo cociente resultante es el anillo polinomial en dos variables, C [ x , y ]. Geométricamente, el anillo polinomial en dos variables representa el espacio afín bidimensional A ² , por lo que la existencia de esta familia uniparamétrica indica que el espacio afín admite deformaciones no conmutativas al espacio determinado por el álgebra de Weyl. Esta deformación está relacionada con el símbolo de un operador diferencial y con el hecho de que A ² es el fibrado cotangente de la recta afín. (El estudio del álgebra de Weyl puede proporcionar información sobre el espacio afín: la conjetura de Dixmier sobre el álgebra de Weyl es equivalente a la conjetura jacobiana sobre el espacio afín).

En esta línea de enfoque, la noción de operada , un conjunto o espacio de operaciones, se vuelve prominente: en la introducción a ( Francis 2008 ) , Francis escribe:

Comenzamos el estudio de ciertas geometrías algebraicas menos conmutativas. … geometría algebraica sobre ${\mathcal {E}}_{n}$ Los anillos pueden considerarse como interpolaciones entre algunas teorías derivadas de geometrías algebraicas no conmutativas y conmutativas. A medida que n aumenta, estos ${\mathcal {E}}_{n}$ Las álgebras convergen a la geometría algebraica derivada de Toën-Vezzosi y Lurie .

Proyección de un anillo no conmutativo

Una de las construcciones básicas en geometría algebraica conmutativa es la construcción Proj de un anillo conmutativo graduado . Esta construcción crea una variedad algebraica proyectiva junto con un fibrado lineal muy amplio cuyo anillo de coordenadas homogéneas es el anillo original. Construir el espacio topológico subyacente de la variedad requiere localizar el anillo, pero construir haces en ese espacio no. Por un teorema de Jean-Pierre Serre , los haces cuasi-coherentes en Proj de un anillo graduado son iguales a los módulos graduados sobre el anillo salvo factores de dimensión finita. La filosofía de la teoría de topos promovida por Alexander Grothendieck dice que la categoría de haces en un espacio puede servir como el espacio mismo. En consecuencia, en geometría algebraica no conmutativa se suele definir Proj de la siguiente manera: Sea R un C- álgebra graduado, y sea Mod- R la categoría de R -módulos derechos graduados. Sea F la subcategoría de Mod- R que consta de todos los módulos de longitud finita. Proj R se define como el cociente de la categoría abeliana Mod- R por F. Equivalentemente, es una localización de Mod- R en la que dos módulos se vuelven isomorfos si, después de tomar sus sumas directas con objetos de F elegidos apropiadamente , son isomorfos en Mod- R.

Este enfoque conduce a una teoría de la geometría proyectiva no conmutativa . Una curva proyectiva suave no conmutativa resulta ser una curva conmutativa suave, pero para curvas singulares o espacios suaves de dimensiones superiores, la configuración no conmutativa permite la existencia de nuevos objetos.

Véase también

Notas

↑ M. Artin, anillos no conmutativos

Referencias

M. Artin , JJ Zhang, Esquemas proyectivos no conmutativos, Advances in Mathematics 109 (1994), n.º 2, 228–287, doi .
Yuri I. Manin, Grupos cuánticos y geometría no conmutativa, CRM, Montreal 1988.
Yuri I Manin, Temas de geometría no conmutativa, 176 págs. Princeton 1991.
A. Bondal, M. van den Bergh , Generadores y representabilidad de functores en geometría conmutativa y no conmutativa, Revista Matemática de Moscú 3 (2003), n.º 1, 1–36.
A. Bondal, D. Orlov, Reconstrucción de una variedad a partir de la categoría derivada y grupos de autoequivalencias, Compositio Mathematica 125 (2001), 327–344 doi
Francis, John (2008), Geometría algebraica derivada sobre ${\mathcal {E}}_{n}$ -rings (PDF) (tesis doctoral), Instituto Tecnológico de Massachusetts, MR 2717524 , ProQuest 304382161
OA Laudal, Geometría algebraica no conmutativa, Rev. Mat. Iberoamericana 19, n. 2 (2003), 509-580; euclides .
Fred Van Oystaeyen , Alain Verschoren, Geometría algebraica no conmutativa, Springer Lect. Notes in Math. 887, 1981.
Fred van Oystaeyen, Geometría algebraica para álgebras asociativas, Marcel Dekker 2000. vi+287 pp.
AL Rosenberg, Geometría algebraica no conmutativa y representaciones de álgebras cuantizadas, MIA 330, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1995. xii+315 pp. ISBN 0-7923-3575-9
M. Kontsevich, A. Rosenberg, Espacios suaves no conmutativos, The Gelfand Mathematical Seminars, 1996-1999, 85-108, Gelfand Math. Sem., Birkhäuser, Boston 2000; arXiv:math/9812158
AL Rosenberg, Esquemas no conmutativos, Compositio Mathematica 112 (1998) 93-125, doi ; Espacios subyacentes de esquemas no conmutativos, preimpresión MPIM2003-111, dvi , ps ; Conferencia MSRI Esquemas y espacios no conmutativos (febrero de 2000): video
Pierre Gabriel, Des catégories abéliennes, Bulletin de la Société Mathématique de France 90 (1962), pág. 323-448, numdam
Zoran Škoda, Algunas construcciones equivariantes en geometría algebraica no conmutativa, Georgian Mathematical Journal 16 (2009), No. 1, 183--202, arXiv:0811.4770 .
Dmitri Orlov, Haces cuasi-coherentes en geometría conmutativa y no conmutativa, Izv. RAN. Ser. Mat., 2003, vol. 67, número 3, 119–138 (versión de preimpresión del MPI dvi , ps )
M. Kapranov, Geometría no conmutativa basada en expansiones de conmutadores, Journal für die reine und angewandte Mathematik 505 (1998), 73-118, math.AG/9802041 .

Lecturas adicionales

A. Bondal, D. Orlov, Descomposición semiortogonal para variedades algebraicas_, PreprintMPI/95–15, alg-geom/9506006
Tomasz Maszczyk, Geometría no conmutativa a través de categorías monoidales, math.QA/0611806
S. Mahanta, Sobre algunos enfoques hacia la geometría algebraica no conmutativa, math.QA/0501166
Ludmil Katzarkov , Maxim Kontsevich , Tony Pantev, Aspectos teóricos de Hodge de la simetría especular, arxiv/0806.0107
Dmitri Kaledin , conferencias en Tokio "Métodos homológicos en geometría no conmutativa", pdf , TeX ; y conferencias en Seúl (similares pero diferentes)

Enlaces externos

MathOverflow, Teorías de la geometría no conmutativa
Geometría algebraica no conmutativa en el Laboratorio n
Geometría algebraica no conmutativa equivariante en el Laboratorio n
esquema no conmutativo en el laboratorio n
La geometría no conmutativa de Kapranov en el Laboratorio n

[1] M. Artin, anillos no conmutativos

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