Ideal primitivo

En matemáticas , específicamente en teoría de anillos , un ideal primitivo izquierdo es el aniquilador de un módulo izquierdo simple (distinto de cero) . Un ideal primitivo derecho se define de manera similar. Los ideales primitivos izquierdo y derecho son siempre ideales bilaterales.

Los ideales primitivos son primos . El cociente de un anillo por un ideal primitivo izquierdo es un anillo primitivo izquierdo . Para los anillos conmutativos, los ideales primitivos son máximos y, por lo tanto, los anillos primitivos conmutativos son todos cuerpos .

El espectro primitivo de un anillo es un análogo no conmutativo ^{[nota 1]} del espectro primo de un anillo conmutativo.

Sea A un anillo y el conjunto de todos los ideales primitivos de A . Entonces existe una topología en , llamada topología de Jacobson , definida de modo que el cierre de un subconjunto T es el conjunto de ideales primitivos de A que contiene la intersección de elementos de T . ${\displaystyle \operatorname {Prim} (A)}$${\displaystyle \operatorname {Prim} (A)}$

Ahora bien, supongamos que A es un álgebra asociativa sobre un cuerpo. Entonces, por definición, un ideal primitivo es el núcleo de una representación irreducible de A y, por lo tanto, existe una sobreyección.${\estilo de visualización \pi}$

${\displaystyle \pi \mapsto \ker \pi :{\widehat {A}}\to \operatorname {Prim} (A).}$

Ejemplo: el espectro de un C*-álgebra unital .

• Geometría algebraica no conmutativa § Historia
• Mapeo de Dixmier

• Dixmier, Jacques (1996) [1974], Álgebras envolventes, Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 11, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0560-2, Sr.  0498740
• Isaacs, I. Martin (1994), Álgebra , Brooks/Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2

• "El espectro primitivo de un anillo unitario". Stack Exchange . 7 de enero de 2011.