El método de Newton

El método de Newton requiere que la derivada pueda calcularse directamente. Obtener una expresión analítica para la derivada puede resultar difícil o costoso. En estos casos, puede ser conveniente aproximar la derivada utilizando la pendiente de una recta que pasa por dos puntos cercanos de la función. Esta aproximación daría como resultado un método similar al de la secante , cuya convergencia es más lenta que la del método de Newton.

Es importante revisar la demostración de la convergencia cuadrática del método de Newton antes de implementarlo. En concreto, conviene revisar las suposiciones de la demostración. Si el método no converge, es porque no se cumplen dichas suposiciones.

Por ejemplo, en algunos casos , si la primera derivada no se comporta adecuadamente en las proximidades de una raíz específica, es posible que el método de Newton no converja independientemente de la inicialización. En otros casos, el método de Newton puede estabilizarse mediante la sobrerrelajación sucesiva , o bien, se puede aumentar la velocidad de convergencia utilizando el mismo método.

En una implementación robusta del método de Newton, es común establecer límites al número de iteraciones, acotar la solución a un intervalo que se sabe que contiene la raíz y combinar el método con un método de búsqueda de raíces más robusto.

Si la raíz que se busca tiene una multiplicidad mayor que uno, la tasa de convergencia es simplemente lineal (los errores se reducen por un factor constante en cada paso) a menos que se tomen medidas especiales. Cuando hay dos o más raíces muy próximas, pueden ser necesarias muchas iteraciones antes de que las iteraciones se acerquen lo suficiente a una de ellas para que la convergencia cuadrática sea evidente. Sin embargo, si se conoce la multiplicidad m de la raíz, el siguiente algoritmo modificado conserva la tasa de convergencia cuadrática: ^{[ 10 ]}

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-m{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}.}$$

Esto equivale a utilizar la sobre-relajación sucesiva . Por otro lado, si se desconoce la multiplicidad m de la raíz, es posible estimar m tras realizar una o dos iteraciones y, a continuación, utilizar ese valor para aumentar la tasa de convergencia.

Si la multiplicidad m de la raíz es finita, entonces g ( x ) = ⁠ f ( x ) / f ′ ( x ) ⁠ tendrá una raíz en la misma ubicación con multiplicidad 1. Aplicar el método de Newton para encontrar la raíz de g ( x ) recupera la convergencia cuadrática en muchos casos, aunque generalmente implica la segunda derivada de f ( x ) . En un caso particularmente simple, si f ( x ) = x ^m entonces g ( x ) = ⁠ x / m ⁠ y el método de Newton encuentra la raíz en una sola iteración con

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {g(x_{n})}{g'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {\;{\frac {x_{n}}{m}}\;}{\frac {1}{m}}}=0\,.}$$

La función f ( x ) = x ² tiene una raíz en 0. ^{[ 11 ]} Dado que f es continuamente diferenciable en su raíz, la teoría garantiza que el método de Newton, inicializado suficientemente cerca de la raíz, convergerá. Sin embargo, dado que la derivada f ′ es cero en la raíz, la teoría no garantiza la convergencia cuadrática. En este ejemplo particular, la iteración de Newton viene dada por

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}={\frac {1}{2}}x_{n}.}$

De esto se desprende que el método de Newton podría inicializarse en cualquier punto y converger a cero, pero solo a un ritmo lineal. Si se inicializa en 1, se requerirían docenas de iteraciones antes de alcanzar una precisión de diez dígitos.

La función f ( x ) = x + x ^4/3 también tiene una raíz en 0, donde es continuamente diferenciable. Aunque la primera derivada f ′ es distinta de cero en la raíz, la segunda derivada f ′′ es inexistente allí, por lo que no se puede garantizar la convergencia cuadrática. De hecho, la iteración de Newton viene dada por

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}={\frac {x_{n}^{4/3}}{3+4x_{n}^{1/3}}}\approx x_{n}\cdot {\frac {x_{n}^{1/3}}{3}}.}$

A partir de esto, se puede observar que la tasa de convergencia es superlineal pero subcuadrática. Esto se puede apreciar en las siguientes tablas, la de la izquierda muestra el método de Newton aplicado a la función f ( x ) = x + x⁴ ^/³ y la de la derecha muestra el método de Newton aplicado a f ( x ) = x + x² . La convergencia cuadrática en la iteración mostrada a la derecha se ilustra mediante el orden de magnitud de la distancia desde la iteración hasta la raíz verdadera (0, 1, 2, 3, 5, 10, 20, ³⁹ ,...) que se duplica aproximadamente de una fila a otra. Mientras que la convergencia a la izquierda es superlineal, el orden de magnitud solo se multiplica por aproximadamente 4/3 de una fila a otra (0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 13,...).

La tasa de convergencia se distingue del número de iteraciones necesarias para alcanzar una precisión dada. Por ejemplo, la función f ( x ) = x ²⁰ − 1 tiene una raíz en 1. Dado que f ′(1) ≠ 0 y f es suave, se sabe que cualquier iteración de Newton que converja a 1 convergerá cuadráticamente. Sin embargo, si se inicializa en 0,5, las primeras iteraciones del método de Newton son aproximadamente 26214, 24904, 23658, 22476, disminuyendo lentamente, siendo solo la iteración 200 la de 1,0371. Las siguientes iteraciones son 1,0103, 1,00093, 1,0000082 y 1,00000000065, lo que ilustra la convergencia cuadrática. Esto pone de relieve que la convergencia cuadrática de una iteración de Newton no significa que se requieran pocas iteraciones; esto solo se aplica una vez que la secuencia de iteraciones está suficientemente cerca de la raíz. ^{[ 12 ]}

La función f ( x ) = x (1 + x ² ) ^−1/2 tiene una raíz en 0. La iteración de Newton viene dada por

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {x_{n}(1+x_{n}^{2})^{-1/2}}{(1+x_{n}^{2})^{-3/2}}}=-x_{n}^{3}.}$

De esto se puede ver que hay tres fenómenos posibles para una iteración de Newton. Si se inicializa estrictamente entre ±1 , la iteración de Newton convergerá (super)cuadráticamente a 0; si se inicializa exactamente en 1 o −1 , la iteración de Newton oscilará infinitamente entre ±1 ; si se inicializa en cualquier otro lugar, la iteración de Newton divergirá. ^{[ 13 ]} Esta misma tricotomía ocurre para f ( x ) = arctan x . ^{[ 11 ]}

En los casos en que la función en cuestión tiene múltiples raíces, puede ser difícil controlar, mediante la elección de la inicialización, qué raíz (si la hay) es identificada por el método de Newton. Por ejemplo, la función f ( x ) = x ( x ² − 1)( x − 3)e ^{−( x − 1) 2 /2} tiene raíces en −1, 0, 1 y 3. ^{[ 14 ]} Si se inicializa en −1.488, la iteración de Newton converge a 0; si se inicializa en −1.487, diverge a ∞ ; si se inicializa en −1.486, converge a −1; si se inicializa en −1.485, diverge a −∞ ; si se inicializa en −1.4843, converge a 3; Si se inicializa en −1,484, converge a 1. Este tipo de dependencia sutil de la inicialización no es infrecuente; se estudia frecuentemente en el plano complejo en forma del fractal de Newton .

Consideremos el problema de encontrar una raíz de f ( x ) = x ^1/3 . La iteración de Newton es

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{1/3}}{{\frac {1}{3}}x_{n}^{-2/3}}}=-2x_{n}.}$

A menos que el método de Newton se inicialice en la raíz exacta 0, se observa que la secuencia de iteraciones no converge. Por ejemplo, incluso si se inicializa con una estimación razonablemente precisa de 0,001, las primeras iteraciones son −0,002, 0,004, −0,008, 0,016, llegando a 1048,58, −2097,15, ... en la vigésima iteración. Esta falta de convergencia no se contradice con la teoría analítica, ya que en este caso f no es diferenciable en su raíz.

En el ejemplo anterior, la falta de convergencia se refleja en el hecho de que f ( x _n ) no se acerca a cero a medida que n aumenta, así como en el hecho de que las iteraciones sucesivas se separan cada vez más. Sin embargo, la función f ( x ) = x ^1/3 e ^{− x 2} también tiene una raíz en 0. La iteración de Newton viene dada por

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}\left(1-{\frac {3}{1-6x_{n}^{2}}}\right).}$

En este ejemplo, donde nuevamente f no es diferenciable en la raíz, cualquier iteración de Newton que no comience exactamente en la raíz divergirá, pero tanto x _{n + 1} − x _n como f ( x _n ) convergerán a cero. ^{[ 15 ]} Esto se observa en la siguiente tabla que muestra las iteraciones con inicialización 1:

Aunque la convergencia de x _{n + 1} − x _n en este caso no es muy rápida, se puede demostrar a partir de la fórmula de iteración. Este ejemplo pone de manifiesto la posibilidad de que un criterio de parada para el método de Newton basado únicamente en la pequeñez de x _{n + 1} − x _n y f ( x _n ) pueda identificar erróneamente una raíz.

Es fácil encontrar situaciones en las que el método de Newton oscila infinitamente entre dos valores distintos. Por ejemplo, para que el método de Newton aplicado a una función f oscile entre 0 y 1, basta con que la recta tangente a f en 0 interseque el eje x en 1 y que la recta tangente a f en 1 interseque el eje x en 0. ^{[ 15 ]} Este es el caso, por ejemplo, si f ( x ) = x ³ − 2 x + 2 . Para esta función, incluso se da el caso de que la iteración de Newton, inicializada suficientemente cerca de 0 o 1, oscile asintóticamente entre estos valores. Por ejemplo, el método de Newton, inicializado en 0,99, produce las siguientes iteraciones: 0,99, -0,06317, 1,00628, 0,03651, 1,00196, 0,01162, 1,00020, 0,00120, 1,000002, etc. Este comportamiento se observa a pesar de la presencia de una raíz de f aproximadamente igual a -1,76929.

En algunos casos, ni siquiera es posible realizar la iteración de Newton. Por ejemplo, si f ( x ) = x ² − 1 , entonces la iteración de Newton se define por

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{2}-1}{2x_{n}}}={\frac {x_{n}^{2}+1}{2x_{n}}}.}$

Por lo tanto, el método de Newton no puede inicializarse en 0, ya que esto haría que x ₁ no estuviera definido. Geométricamente, esto se debe a que la línea tangente a f en 0 es horizontal (es decir, f ′(0) = 0 ), y nunca interseca el eje x .

Aunque la inicialización se seleccione de forma que pueda comenzar la iteración de Newton, el mismo fenómeno puede impedir que la iteración continúe indefinidamente.

Si f tiene un dominio incompleto, es posible que el método de Newton envíe las iteraciones fuera del dominio, de modo que sea imposible continuar la iteración. ^{[ 15 ]} Por ejemplo, la función logaritmo natural f ( x ) = ln x tiene una raíz en 1 y está definida solo para x positivo . La iteración de Newton en este caso viene dada por

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}(1-\ln x_{n}).}$

Si la iteración se inicializa en e , la siguiente iteración será 0; si se inicializa con un valor mayor que e , la siguiente iteración será negativa. En ambos casos, el método no puede continuar.

Según el teorema de Taylor , cualquier función f ( x ) que tenga una segunda derivada continua puede representarse mediante un desarrollo en serie alrededor de un punto cercano a una raíz de f ( x ) . Supongamos que esta raíz es α . Entonces, el desarrollo en serie de f ( α ) alrededor de _xⁿ es :

donde la forma lagrangiana del resto de la expansión de la serie de Taylor es

$${\displaystyle R_{1}={\frac {1}{2!}}f''(\xi _{n})\left(\alpha -x_{n}\right)^{2}\,,}$$

donde ξ _n está entre x _n y α .

Dado que α es la raíz, ( 1 ) se convierte en:

Dividiendo la ecuación ( ₂ ) por f ' ( xn ) y reordenando se obtiene

Recordando que x _{n + 1} se define por

uno descubre que

$${\displaystyle \underbrace {\alpha -x_{n+1}} _{\varepsilon _{n+1}}={\frac {-f''(\xi _{n})}{2f'(x_{n})}}{(\,\underbrace {\alpha -x_{n}} _{\varepsilon _{n}}\,)}^{2}\,.}$$

Eso es,

Tomando el valor absoluto de ambos lados se obtiene

La ecuación ( 6 ) muestra que el orden de convergencia es al menos cuadrático si se cumplen las siguientes condiciones:

1. f ′ ( x ) ≠ 0 ; para todo x ∈ I , donde I es el intervalo [ α − | ε ₀ | , α + | ε ₀ | ] ;
2. f ″ ( x ) es continua, para todo x ∈ I ;
3. M | ε ₀ | < 1

donde M viene dado por

$${\displaystyle M={\frac {1}{2}}\left(\sup _{x\in I}\vert f''(x)\vert \right)\left(\sup _{x\in I}{\frac {1}{\vert f'(x)\vert }}\right).\,}$$

Si se cumplen estas condiciones,

$${\displaystyle \vert \varepsilon _{n+1}\vert \leq M\cdot \varepsilon _{n}^{2}\,.}$$

Supongamos que f ( x ) es una función cóncava en un intervalo, estrictamente creciente . Si es negativa en el extremo izquierdo y positiva en el extremo derecho, el teorema del valor intermedio garantiza que existe un cero ζ de f en algún punto del intervalo. A partir de principios geométricos, se puede ver que la iteración de Newton xᵢ _que comienza en el extremo izquierdo es monótonamente creciente y converge, necesariamente a ζ . ^{[ 18 ]}

Joseph Fourier introdujo una modificación del método de Newton comenzando en el extremo derecho:

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}-{\frac {f(y_{i})}{f'(x_{i})}}.}$

Esta sucesión es monótonamente decreciente y convergente. Al pasar al límite en esta definición, se puede ver que el límite de y _i también debe ser el cero ζ . ^{[ 18 ]}

Así pues, en el caso de una función cóncava creciente con un cero, la inicialización es en gran medida irrelevante. La iteración de Newton que comience en cualquier punto a la izquierda del cero convergerá, al igual que la iteración de Newton modificada de Fourier que comience en cualquier punto a la derecha del cero. La precisión en cualquier paso de la iteración se puede determinar directamente a partir de la diferencia entre la posición de la iteración desde la izquierda y la posición de la iteración desde la derecha. Si f es dos veces continuamente diferenciable, se puede demostrar utilizando el teorema de Taylor que

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }{\frac {y_{i+1}-x_{i+1}}{(y_{i}-x_{i})^{2}}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {f''(\zeta )}{f'(\zeta )}},}$

demostrando que esta diferencia en las ubicaciones converge cuadráticamente a cero. ^{[ 18 ]}

Todo lo anterior puede extenderse a sistemas de ecuaciones con múltiples variables, aunque en ese contexto los conceptos relevantes de monotonicidad y concavidad son más sutiles de formular. ^{[ 19 ]} En el caso de ecuaciones simples con una sola variable, la convergencia monótona del método de Newton también puede generalizarse para reemplazar la concavidad por condiciones de positividad o negatividad en una derivada arbitraria de orden superior de f . Sin embargo, en esta generalización, la iteración de Newton se modifica para basarse en polinomios de Taylor en lugar de la recta tangente . En el caso de la concavidad, esta modificación coincide con el método de Newton estándar. ^{[ 20 ]}

Si buscamos la raíz de una sola función${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} }$ entonces el error${\displaystyle \epsilon _{n}=x_{n}-\alpha }$es un vector tal que sus componentes obedecen${\displaystyle \epsilon _{k}^{(n+1)}={\frac {1}{2}}(\epsilon ^{(n)})^{T}Q_{k}\epsilon ^{(n)}+O(\|\epsilon ^{(n)}\|^{3})}$dónde${\displaystyle Q_{k}}$es una forma cuadrática: ${\displaystyle (Q_{k})_{i,j}=\sum _{\ell }((D^{2}f)^{-1})_{i,\ell }{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{\ell }}}}$ evaluado en la raíz${\displaystyle \alpha }$ (dónde${\displaystyle D^{2}f}$es la matriz hessiana de segunda derivada).

El método de Newton es uno de los muchos métodos conocidos para calcular raíces cuadradas . Dado un número positivo a , el problema de encontrar un número x tal que x² = a es equivalente a encontrar una raíz de la función f ( x ) = x² − ^a . La iteración de Newton definida por esta función viene dada por ^{[ 21 ] .}

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{2}-a}{2x_{n}}}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)}$.

Esto coincide con el método "babilónico" para hallar raíces cuadradas , que consiste en reemplazar una raíz aproximada x _n por la media aritmética de x _n y a ⁄ x _n . Al realizar esta iteración, es posible calcular una raíz cuadrada con la precisión deseada utilizando únicamente las operaciones aritméticas básicas .

Las siguientes tres tablas muestran ejemplos del resultado de este cálculo para hallar la raíz cuadrada de 612, con la iteración inicializada en los valores 1, 10 y −20. Cada fila en una columna " x _n " se obtiene aplicando la fórmula anterior a la entrada que se encuentra encima, por ejemplo

${\displaystyle 306.5={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {612}{1}}\right).}$

Los dígitos correctos están subrayados. Se observa que con solo unas pocas iteraciones se puede obtener una solución con una precisión de muchas cifras decimales. La primera tabla muestra que esto es cierto incluso si la iteración de Newton se inicializó con la estimación muy imprecisa de 1 .

Al calcular cualquier raíz cuadrada distinta de cero, la primera derivada de f debe ser distinta de cero en la raíz, y f debe ser una función suave. Por lo tanto, incluso antes de cualquier cálculo, se sabe que cualquier iteración de Newton convergente tiene una tasa de convergencia cuadrática. Esto se refleja en las tablas anteriores en el hecho de que, una vez que una iteración de Newton se acerca a la raíz, el número de dígitos correctos se duplica aproximadamente con cada iteración.

Consideremos el problema de encontrar el número positivo ^x tal que cos( x ) = x³ . Podemos reformularlo como encontrar el cero de f ( x ) = cos( ^x ) - x³ . Tenemos f ' ( x ) = -sin ( x ) - ^3x² . Dado que cos( x ) ≤ 1 para todo x y x³ > 1 ^para x > 1 , sabemos que nuestra solución se encuentra entre 0 y 1.

Un valor inicial de 0 dará como resultado un resultado indefinido, lo que ilustra la importancia de usar un punto de partida cercano a la solución. Por ejemplo, con una estimación inicial _x₀ = 0,5 , la secuencia dada por el método de Newton es:

$${\displaystyle {\begin{matrix}x_{1}&=&x_{0}-{\dfrac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}&=&0.5-{\dfrac {\cos 0.5-0.5^{3}}{-\sin 0.5-3\times 0.5^{2}}}&=&1.112\,141\,637\,097\dots \\x_{2}&=&x_{1}-{\dfrac {f(x_{1})}{f'(x_{1})}}&=&\vdots &=&{\underline {0.}}909\,672\,693\,736\dots \\x_{3}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.86}}7\,263\,818\,209\dots \\x_{4}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865\,47}}7\,135\,298\dots \\x_{5}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865\,474\,033\,1}}11\dots \\x_{6}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865\,474\,033\,102}}\dots \end{matrix}}}$$

En el ejemplo anterior, los dígitos correctos están subrayados. En particular, x ₆ es correcto hasta la 12 cifra decimal. Observamos que el número de dígitos correctos después del punto decimal aumenta de 2 (para x ₃ ) a 5 y 10, lo que ilustra la convergencia cuadrática.

Al trabajar con funciones complejas , el método de Newton se puede aplicar directamente para hallar sus ceros. ^{[ 27 ]} Cada cero tiene una cuenca de atracción en el plano complejo, el conjunto de todos los valores iniciales que hacen que el método converja a ese cero en particular. Estos conjuntos se pueden representar como en la imagen mostrada. Para muchas funciones complejas, los límites de las cuencas de atracción son fractales .

En algunos casos, existen regiones en el plano complejo que no pertenecen a ninguna de estas cuencas de atracción, lo que significa que las iteraciones no convergen. Por ejemplo, ^{[ 28 ]} si se utiliza una condición inicial real para buscar una raíz de x² + 1 ^, todas las iteraciones subsiguientes serán números reales y, por lo tanto, las iteraciones no pueden converger a ninguna de las raíces, ya que ambas son no reales. En este caso, casi todas las condiciones iniciales reales conducen a un comportamiento caótico , mientras que algunas condiciones iniciales iteran hasta el infinito o a ciclos repetitivos de cualquier longitud finita.

Curt McMullen ha demostrado que para cualquier posible algoritmo puramente iterativo similar al método de Newton, el algoritmo divergirá en algunas regiones abiertas del plano complejo cuando se aplique a algún polinomio de grado 4 o superior. Sin embargo, McMullen proporcionó un algoritmo generalmente convergente para polinomios de grado 3. ^{[ 29 ]} Además, Hubbard, Schleicher y Sutherland construyeron un conjunto universal de puntos de partida para el método de Newton: para cada grado d , existe un conjunto explícitamente construible de aproximadamente 1,11 d (log d ) ² puntos tales que, para cualquier polinomio de grado d debidamente normalizado , cada raíz se encuentra mediante la iteración de Newton iniciada desde al menos un punto del conjunto. ^{[ 30 ] [ 31 ]}

Otra generalización es el método de Newton para encontrar una raíz de un funcional F definido en un espacio de Banach . En este caso, la formulación es

$${\displaystyle X_{n+1}=X_{n}-{\bigl (}F'(X_{n}){\bigr )}^{-1}F(X_{n}),\,}$$

donde F ′ ( X _n ) es la derivada de Fréchet calculada en X _n . Para que el método sea aplicable, es necesario que la derivada de Fréchet sea invertible acotadamente en cada X _n . El teorema de Newton-Kantorovich proporciona una condición para la existencia y convergencia a una raíz . ^{[ 32 ]}

Cuando el jacobiano no está disponible o su cálculo en cada iteración resulta demasiado costoso, se puede utilizar un método cuasi-Newton .

Dado que las expansiones de Taylor de orden superior ofrecen aproximaciones locales más precisas de una función f , es razonable preguntarse por qué el método de Newton se basa únicamente en una aproximación de Taylor de segundo orden. En el siglo XIX, el matemático ruso Pafnuty Chebyshev exploró esta idea desarrollando una variante del método de Newton que utilizaba aproximaciones cúbicas. ^{[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}

En el análisis p -ádico, el método estándar para demostrar que una ecuación polinómica de una variable tiene una raíz p -ádica es el lema de Hensel , que utiliza la recursión del método de Newton en los números p -ádicos. Debido al comportamiento más estable de la suma y la multiplicación en los números p -ádicos en comparación con los números reales (específicamente, la bola unitaria en los números p -ádicos es un anillo), la convergencia en el lema de Hensel puede garantizarse bajo hipótesis mucho más simples que en el método clásico de Newton en la recta real.

El método de Newton puede generalizarse con el análogo q de la derivada usual. ^{[ 38 ]}

El método de Newton se puede utilizar para encontrar un mínimo o un máximo de una función f ( x ) . La derivada es cero en un mínimo o un máximo, por lo que se pueden encontrar mínimos y máximos locales aplicando el método de Newton a la derivada. ^{[ 45 ]} La iteración se convierte en:

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f'(x_{n})}{f''(x_{n})}}.}$$

Una aplicación importante es la división de Newton-Raphson , que se puede usar para encontrar rápidamente el recíproco de un número a , usando solo multiplicación y resta, es decir, el número x tal que 1 / x = a . Podemos reformularlo como encontrar el cero de f ( x ) = 1 / x - a . Tenemos f ' ( x ) = -1 / x² ^.

La iteración de Newton es

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}+{\frac {{\frac {1}{x_{n}}}-a}{\frac {1}{x_{n}^{2}}}}=x_{n}(2-ax_{n}).}$$

Por lo tanto, la iteración de Newton solo necesita dos multiplicaciones y una resta.

Este método también es muy eficiente para calcular el inverso multiplicativo de una serie de potencias .

Muchas ecuaciones trascendentales pueden resolverse con una precisión arbitraria mediante el método de Newton. Por ejemplo, hallar la función de densidad de probabilidad acumulada , como una distribución normal que se ajuste a una probabilidad conocida, generalmente implica funciones integrales sin un método conocido para resolverlas en forma cerrada. Sin embargo, el cálculo de las derivadas necesarias para resolverlas numéricamente con el método de Newton suele ser conocido, lo que permite obtener soluciones numéricas. Como ejemplo, véase la solución numérica de la distribución acumulada normal inversa .

Se ha establecido una verificación numérica para soluciones de ecuaciones no lineales mediante el uso repetido del método de Newton y la formación de un conjunto de soluciones candidatas.