Algoritmo de puntuación

El algoritmo de puntuación , también conocido como puntuación de Fisher , ^{[ 1 ]} es una forma del método de Newton utilizado en estadística para resolver numéricamente ecuaciones de máxima verosimilitud , llamado así en honor a Ronald Fisher .

Dejar${\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$sean variables aleatorias , independientes e idénticamente distribuidas con función de densidad de probabilidad dos veces diferenciable${\displaystyle f(y;\theta )}$y deseamos calcular el estimador de máxima verosimilitud (EMV).${\displaystyle \theta ^{*}}$de${\displaystyle \theta }$Primero, supongamos que tenemos un punto de partida para nuestro algoritmo.${\displaystyle \theta _{0}}$y consideremos una expansión de Taylor de la función de puntuación ,${\displaystyle V(\theta )}$, acerca de${\displaystyle \theta _{0}}$:

${\displaystyle V(\theta )\approx V(\theta _{0})-{\mathcal {J}}(\theta _{0})(\theta -\theta _{0}),\,}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {J}}(\theta _{0})=-\sum _{i=1}^{n}\left.\nabla \nabla ^{\top }\right|_{\theta =\theta _{0}}\log f(Y_{i};\theta )}$

es la matriz de información observada en${\displaystyle \theta _{0}}$Ahora, configurando${\displaystyle \theta =\theta ^{*}}$, usando eso${\displaystyle V(\theta ^{*})=0}$y reordenando obtenemos:

${\displaystyle \theta ^{*}\approx \theta _{0}+{\mathcal {J}}^{-1}(\theta _{0})V(\theta _{0}).\,}$

Por lo tanto, utilizamos el algoritmo.

${\displaystyle \theta _{m+1}=\theta _{m}+{\mathcal {J}}^{-1}(\theta _{m})V(\theta _{m}),\,}$

y bajo ciertas condiciones de regularidad, se puede demostrar que${\displaystyle \theta _{m}\rightarrow \theta ^{*}}$.

En la práctica,${\displaystyle {\mathcal {J}}(\theta )}$suele ser reemplazado por${\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )=\mathrm {E} [{\mathcal {J}}(\theta )]}$, la información de Fisher , lo que nos da el algoritmo de puntuación de Fisher :

${\displaystyle \theta _{m+1}=\theta _{m}+{\mathcal {I}}^{-1}(\theta _{m})V(\theta _{m})}$...

Bajo ciertas condiciones de regularidad, si${\displaystyle \theta _{m}}$es un estimador consistente , entonces${\displaystyle \theta _{m+1}}$(la corrección después de un solo paso) es "óptima" en el sentido de que su distribución de error es asintóticamente idéntica a la de la verdadera estimación de máxima verosimilitud. ^{[ 2 ]}

• Puntuación (estadísticas)
• Prueba de puntuación
• Información de Fisher

• Jennrich, RI y Sampson, PF (1976). "Newton-Raphson y algoritmos relacionados para la estimación de componentes de varianza de máxima verosimilitud" . Technometrics . 18 (1): 11– 17. doi : 10.1080/00401706.1976.10489395 (inactivo el 12 de julio de 2025). JSTOR 1267911 . {{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactivo desde julio de 2025 ( enlace )