Espacio de módulos

En matemáticas , en particular en geometría algebraica , un espacio de módulos es un espacio geométrico (generalmente un esquema o una pila algebraica ) cuyos puntos representan objetos algebraico-geométricos de un tipo fijo, o clases de isomorfismo de dichos objetos. Estos espacios suelen surgir como soluciones a problemas de clasificación : si se puede demostrar que una colección de objetos interesantes (por ejemplo, las curvas algebraicas suaves de un género fijo ) puede tener la estructura de un espacio geométrico, entonces se pueden parametrizar dichos objetos introduciendo coordenadas en el espacio resultante. En este contexto, el término «módulo» se usa como sinónimo de «parámetro»; los espacios de módulos se entendieron inicialmente como espacios de parámetros, más que como espacios de objetos. Una variante de los espacios de módulos son los módulos formales . Bernhard Riemann utilizó por primera vez el término «módulos» en 1857. ^{[ 1 ]}

Motivación

Cada punto de un espacio de módulos corresponde a una solución de un problema geométrico dado. Dos soluciones diferentes corresponden al mismo punto si son isomorfas (es decir, geométricamente idénticas). Un espacio de módulos puede considerarse como un espacio universal de parámetros para el problema.

Por ejemplo, consideremos el problema de encontrar todos los círculos en el plano euclidiano salvo congruencia. Cualquier círculo puede describirse de forma única dando tres puntos, pero muchos conjuntos diferentes de tres puntos dan el mismo círculo: la correspondencia es de muchos a uno. Sin embargo, los círculos se parametrizan de forma única dando su centro y su radio: esto son dos parámetros reales y un parámetro real positivo. Como solo nos interesan los círculos "salvo congruencia", identificamos círculos que tienen centros diferentes pero el mismo radio, por lo que el radio por sí solo basta para parametrizar el conjunto de interés. El espacio de módulos es, por lo tanto, los números reales positivos .

Los espacios de módulos suelen presentar estructuras geométricas y topológicas naturales. En el caso de los círculos, por ejemplo, el espacio de módulos no es solo un conjunto abstracto, sino que el valor absoluto de la diferencia de los radios define una métrica para determinar cuándo dos círculos están "cerca". La estructura geométrica de los espacios de módulos nos indica localmente cuándo dos soluciones de un problema de clasificación geométrica están "cerca", pero, en general, estos espacios también poseen una compleja estructura global.

{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {R} )} — **$\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {R} )$** es el espacio de líneas que pasan por el origen del plano real. Cada línea interseca el círculo unitario en dos lugares, por lo que se identifica de forma única mediante un ángulo o, equivalentemente, como un par de puntos opuestos en . $S^{1}$ $0\leq \theta <\pi$ $S^{1}$

Por ejemplo, consideremos cómo describir el conjunto de líneas que intersecan el origen. Queremos asignar a cada línea de esta familia una magnitud que la identifique de forma única: un módulo. Un ejemplo de dicha magnitud es el ángulo positivo con radianes. El conjunto de líneas así parametrizadas se conoce como y se denomina recta proyectiva real . $\mathbb {R} ^{2}$ $L$ $\theta (L)$ $0\leq \theta <\pi$ $\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {R} )$

También podemos describir el conjunto de líneas que intersecan el origen mediante una construcción topológica. Por ejemplo: consideremos el círculo unitario y observemos que para cada punto hay una única línea que une el origen y . Sin embargo, esta es también la línea que obtendríamos al observar , por lo que identificamos puntos opuestos mediante una relación de equivalencia para obtener , con la topología cociente . $\mathbb {R} ^{2}$ $S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ $s\in S^{1}$ $s$ $-s$ $\sim$ $\mathbb {P} ^{1}\cong S^{1}/\sim$

Así, cuando consideramos como un espacio de módulos de líneas que intersecan el origen en , capturamos las formas en que los miembros (líneas en este caso) de la familia pueden modularse variando continuamente el ángulo . $\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {R} )$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\theta$

Ejemplos básicos

Espacio proyectivo y grassmannianos

El espacio proyectivo real es el espacio de módulos de las rectas que pasan por el origen en . De manera similar, el espacio proyectivo complejo es el espacio de todas las rectas complejas que pasan por el origen en . $\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} )$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ $\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )$ $\mathbb {C} ^{n+1}$

De forma más general, la grassmanniana de un espacio vectorial es el espacio de módulos de todos los subespacios lineales de dimensión V. $\mathbf {Gr} (k,V)$ $V$ $k$

Espacio proyectivo como módulos de haces de líneas muy amplios generados por secciones globales

Siempre que haya una incrustación de un esquema en el espacio proyectivo universal , ^[²^]^[³^] la incrustación viene dada por un fibrado de líneas y secciones que no se anulan todas al mismo tiempo. Esto significa que, dado un punto $X$ $\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}$ ${\mathcal {L}}\to X$ $n+1$ $s_{0},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})$

$x:{\text{Spec}}(R)\to X$

Hay un punto asociado

${\hat {x}}:{\text{Spec}}(R)\to \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}$

dado por las composiciones

$[s_{0}:\cdots :s_{n}]\circ x=[s_{0}(x):\cdots :s_{n}(x)]\in \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}(R)$

Entonces, dos haces de líneas con secciones son equivalentes.

$({\mathcal {L}},(s_{0},\ldots ,s_{n}))\sim ({\mathcal {L}}',(s_{0}',\ldots ,s_{n}'))$

si y solo si existe un isomorfismo tal que . Esto significa que el functor de módulos asociado ${\displaystyle \phi$ $\phi (s_{i})=s_{i}'$

$\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}:{\text{Sch}}\to {\text{Sets}}$

envía un esquema al conjunto $X$

$\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}(X)=\left\{({\mathcal {L}},s_{0},\ldots ,s_{n}):{\begin{matrix}{\mathcal {L}}\to X{\text{ is a line bundle}}\\s_{0},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})\\{\text{ form a basis of global sections}}\end{matrix}}\right\}/\sim$

Se puede demostrar que esto es cierto recorriendo una serie de tautologías: cualquier incrustación proyectiva da el haz generado globalmente con secciones . Recíprocamente, dado un haz de líneas amplio generado globalmente por secciones da una incrustación como la anterior. $i:X\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}$ $i^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}(1)$ $i^{*}x_{0},\ldots ,i^{*}x_{n}$ ${\mathcal {L}}\to X$ $n+1$

Variedad Chow

La variedad de Chow Chow (d, P ³ ) es una variedad algebraica proyectiva que parametriza curvas de grado d en P ³ . Se construye de la siguiente manera. Sea C una curva de grado d en P ³ , entonces consideremos todas las rectas en P ³ que intersecan la curva C . Este es un divisor de grado d D _C en G (2, 4), la grassmanniana de rectas en P ³ . Cuando C varía, al asociar C a D _C , obtenemos un espacio de parámetros de curvas de grado d como un subconjunto del espacio de divisores de grado d de la grassmanniana: Chow (d, P ³ ).

Esquema de Hilbert

El esquema de Hilbert Hilb ( X ) es un esquema de módulos. Cada punto cerrado de Hilb ( X ) corresponde a un subesquema cerrado de un esquema fijo X , y cada subesquema cerrado está representado por dicho punto. Un ejemplo sencillo de esquema de Hilbert es el esquema que parametriza las hipersuperficies de grado del espacio proyectivo . Este viene dado por el fibrado proyectivo. $d$ $\mathbb {P} ^{n}$

${\mathcal {Hilb}}_{d}(\mathbb {P} ^{n})=\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(d)))$

con la familia universal dada por

${\mathcal {U}}=\{(V(f),f):f\in \Gamma ({\mathcal {O}}(d))\}$

donde es el esquema proyectivo asociado para el polinomio homogéneo de grado . $V(f)$ $d$ $f$

Definiciones

Existen varias nociones relacionadas de lo que podríamos llamar espacios de módulos. Cada una de estas definiciones formaliza una noción diferente de lo que significa que los puntos del espacio M representen objetos geométricos.

Módulos finos espacio

Este es el concepto estándar. Heurísticamente, si tenemos un espacio M para el cual cada punto m ∈ M corresponde a un objeto algebraico-geométrico U _m , entonces podemos ensamblar estos objetos en un fibrado tautológico U sobre M . (Por ejemplo, la grassmanniana G ( k , V ) contiene un fibrado de rango k cuya fibra en cualquier punto [ L ] ∈ G ( k , V ) es simplemente el subespacio lineal L ⊂ V .) M se denomina espacio base de la familia U . Decimos que dicha familia es universal si cualquier familia de objetos algebraico-geométricos T sobre cualquier espacio base B es la imagen inversa de U a lo largo de una única aplicación B → M . Un espacio de módulos finos es un espacio M que es la base de una familia universal.

Más precisamente, supongamos que tenemos un functor F de esquemas a conjuntos, que asigna a un esquema B el conjunto de todas las familias adecuadas de objetos con base B. Un espacio M es un espacio de módulos finos para el functor F si M representa a F , es decir, existe un isomorfismo natural τ : F → Hom (−, M ), donde Hom (−, M ) es el functor de puntos. Esto implica que M posee una familia universal; esta familia es la familia en M correspondiente a la aplicación identidad 1 _M ∊ Hom ( M , M ).

Espacio de módulos gruesos

Los espacios de módulos finos son deseables, pero no siempre existen y con frecuencia son difíciles de construir, por lo que los matemáticos a veces utilizan una noción más débil: la idea de un espacio de módulos gruesos. Un espacio M es un espacio de módulos gruesos para el functor F si existe una transformación natural τ : F → Hom (−, M ) y τ es universal entre dichas transformaciones naturales. Más concretamente, M es un espacio de módulos gruesos para F si cualquier familia T sobre una base B da lugar a una aplicación φ _T : B → M y cualesquiera dos objetos V y W (considerados familias sobre un punto) corresponden al mismo punto de M si y solo si V y W son isomorfos. Así, M es un espacio que tiene un punto para cada objeto que podría aparecer en una familia, y cuya geometría refleja las formas en que los objetos pueden variar en las familias. Sin embargo, cabe señalar que un espacio de módulos gruesos no necesariamente contiene cualquier familia de objetos apropiada, y mucho menos una universal.

En otras palabras, un espacio de módulos finos incluye tanto un espacio base M como una familia universal U → M , mientras que un espacio de módulos gruesos solo tiene el espacio base M.

Apilamiento de módulos

Con frecuencia, los objetos geométricos interesantes vienen equipados con muchos automorfismos naturales . Esto, en particular, hace imposible la existencia de un espacio de módulos fino (intuitivamente, la idea es que si L es algún objeto geométrico, la familia trivial L × [0,1] puede convertirse en una familia retorcida en el círculo S ¹ identificando L × {0} con L × {1} mediante un automorfismo no trivial. Ahora bien, si existiera un espacio de módulos fino X , la aplicación S ¹ → X no debería ser constante, pero tendría que ser constante en cualquier conjunto abierto propio por trivialidad). Aun así, a veces se puede obtener un espacio de módulos grueso. Sin embargo, este enfoque no es ideal, ya que no se garantiza la existencia de tales espacios, suelen ser singulares cuando existen y omiten detalles sobre algunas familias no triviales de objetos que clasifican.

Un enfoque más sofisticado consiste en enriquecer la clasificación recordando los isomorfismos. Más precisamente, sobre cualquier base B se puede considerar la categoría de familias sobre B tomando como morfismos únicamente los isomorfismos entre familias. Luego se considera la categoría fibrada que asigna a cualquier espacio B el grupoide de familias sobre B. El uso de estas categorías fibradas en grupoides para describir un problema de módulos se remonta a Grothendieck (1960/61). En general, no pueden representarse mediante esquemas ni siquiera espacios algebraicos , pero en muchos casos, tienen una estructura natural de pila algebraica .

Las pilas algebraicas y su uso para analizar problemas de módulos aparecieron en Deligne-Mumford (1969) como una herramienta para demostrar la irreductibilidad del espacio de módulos (grueso) de curvas de un género dado. El lenguaje de las pilas algebraicas proporciona esencialmente una manera sistemática de ver la categoría fibrada que constituye el problema de módulos como un "espacio", y la pila de módulos de muchos problemas de módulos se comporta mejor (por ejemplo, es suave) que el espacio de módulos grueso correspondiente.

Otros ejemplos

Módulos de curvas

La pila de módulos clasifica familias de curvas proyectivas suaves de género g , junto con sus isomorfismos. Cuando g > 1, esta pila puede compactarse añadiendo nuevos puntos de "frontera" que corresponden a curvas nodales estables (junto con sus isomorfismos). Una curva es estable si solo tiene un grupo finito de automorfismos. La pila resultante se denota como . Ambas pilas de módulos contienen familias universales de curvas. También se pueden definir espacios de módulos gruesos que representan clases de isomorfismo de curvas suaves o estables. Estos espacios de módulos gruesos se estudiaron antes de que se inventara la noción de pila de módulos. De hecho, la idea de una pila de módulos fue inventada por Deligne y Mumford en un intento de demostrar la proyectividad de los espacios de módulos gruesos. En los últimos años, se ha hecho evidente que la pila de curvas es en realidad el objeto más fundamental. ${\mathcal {M}}_{g}$ ${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$

Ambas pilas anteriores tienen dimensión 3 g −3; por lo tanto, una curva nodal estable puede especificarse completamente eligiendo los valores de 3 g −3 parámetros, cuando g > 1. En género inferior, se debe tener en cuenta la presencia de familias suaves de automorfismos, restando su número. Hay exactamente una curva compleja de género cero, la esfera de Riemann, y su grupo de isomorfismos es PGL(2). Por lo tanto, la dimensión de es ${\mathcal {M}}_{0}$

dim(espacio de curvas de género cero) − dim(grupo de automorfismos) = 0 − dim(PGL(2)) = −3.

Asimismo, en el género 1, existe un espacio unidimensional de curvas, pero cada curva posee un grupo unidimensional de automorfismos. Por lo tanto, la pila tiene dimensión 0. Los espacios de módulos gruesos tienen dimensión 3 g −3, al igual que las pilas cuando g > 1, porque las curvas con género g > 1 solo poseen un grupo finito como automorfismo, es decir, dim(un grupo de automorfismos) = 0. Finalmente, en el género cero, el espacio de módulos gruesos tiene dimensión cero, y en el género uno, tiene dimensión uno. ${\mathcal {M}}_{1}$

También se puede enriquecer el problema considerando la pila de módulos de curvas nodales de género g con n puntos marcados. Se dice que dichas curvas marcadas son estables si el subgrupo de automorfismos de curvas que fijan los puntos marcados es finito. Las pilas de módulos resultantes de curvas suaves (o estables) de género g con n puntos marcados se denotan (o ), y tienen dimensión 3 g − 3 + n . ${\mathcal {M}}_{g,n}$ ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$

Un caso de particular interés es el conjunto de módulos de curvas de género 1 con un punto marcado. Este conjunto corresponde a curvas elípticas y es el entorno natural de las formas modulares , ampliamente estudiadas , que son secciones meromorfas de haces sobre este conjunto. ${\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}$

Módulos de variedades

En dimensiones superiores, los módulos de variedades algebraicas son más difíciles de construir y estudiar. Por ejemplo, el análogo en dimensiones superiores del espacio de módulos de curvas elípticas mencionado anteriormente es el espacio de módulos de variedades abelianas , como la variedad modular de Siegel . Este es el problema subyacente a la teoría de formas modulares de Siegel . Véase también la variedad de Shimura .

Utilizando técnicas derivadas del programa de modelos mínimos, János Kollár y Nicholas Shepherd-Barron construyeron espacios de módulos de variedades de tipo general , ahora conocidos como espacios de módulos KSB. ^{[ 4 ]}

Se sabe que no es posible establecer una teoría de módulos adecuada para todas las variedades de Fano. Bajo la dirección de Chenyang Xu , se logró construir espacios de módulos para variedades de Fano restringiendo el trabajo a una clase especial de variedades K-estables . Más precisamente, existe un esquema proyectivo que parametriza las variedades de Fano K-poliestables, el cual constituye el espacio de módulos adecuado del conjunto de módulos que parametriza las variedades de Fano K-semiestables.

La construcción de espacios de módulos de variedades de Calabi-Yau es un problema abierto importante, y solo se comprenden casos especiales como los espacios de módulos de superficies K3 o variedades abelianas . ^{[ 5 ]}

Módulos de haces vectoriales

Otro problema importante de los módulos es comprender la geometría de (varias subpilas de) la pila de módulos Vect _n ( X ) de haces vectoriales de rango n en una variedad algebraica fija X . ^[⁶^] Esta pila se ha estudiado más cuando X es unidimensional, y especialmente cuando n es igual a uno. En este caso, el espacio de módulos grueso es el esquema de Picard , que al igual que el espacio de módulos de curvas, se estudió antes de que se inventaran las pilas. Cuando los haces tienen rango 1 y grado cero, el estudio del espacio de módulos grueso es el estudio de la variedad jacobiana .

En aplicaciones a la física , se ha descubierto que el número de módulos de haces vectoriales y el problema estrechamente relacionado del número de módulos de haces G principales son significativos en la teoría de gauge .

Volumen del espacio de módulos

Geodésicas simples y volúmenes de Weil-Petersson de espacios de módulos de superficies de Riemann con borde.

Métodos para construir espacios de módulos

La formulación moderna de los problemas de módulos y la definición de espacios de módulos en términos de los functores de módulos (o, más generalmente, las categorías fibradas en grupoides ) y los espacios que (casi) los representan, se remonta a Grothendieck (1960/61), quien describió el marco general, los enfoques y los principales problemas utilizando como ejemplo los espacios de Teichmüller en geometría analítica compleja. En particular, las ponencias describen el método general para construir espacios de módulos rigidizando primero el problema de módulos en cuestión.

Más precisamente, la existencia de automorfismos no triviales de los objetos que se clasifican hace imposible tener un espacio de módulos fino. Sin embargo, a menudo es posible considerar un problema de módulos modificado de clasificar los objetos originales junto con datos adicionales, elegidos de tal manera que la identidad sea el único automorfismo que respete también los datos adicionales. Con una elección adecuada de los datos rigidificantes, el problema de módulos modificado tendrá un espacio de módulos (fino) T , a menudo descrito como un subesquema de un esquema de Hilbert o esquema Quot adecuado . Los datos rigidificantes se eligen además de modo que correspondan a un fibrado principal con un grupo de estructura algebraica G. Así, se puede volver del problema rigidizado al original tomando el cociente por la acción de G , y el problema de construir el espacio de módulos se convierte en el de encontrar un esquema (o espacio más general) que sea (en un sentido suficientemente fuerte) el cociente T / G de T por la acción de G. El último problema, en general, no admite una solución; Sin embargo, este problema se aborda mediante la innovadora teoría de invariantes geométricos (GIT), desarrollada por David Mumford en 1965, que demuestra que, bajo las condiciones adecuadas, el cociente sí existe.

Para ver cómo podría funcionar esto, consideremos el problema de parametrizar curvas suaves de género g > 2. Una curva suave junto con un sistema lineal completo de grado d > 2 g es equivalente a un subesquema unidimensional cerrado del espacio proyectivo P ^d−g . En consecuencia, el espacio de módulos de curvas suaves y sistemas lineales (que satisfacen ciertos criterios) puede incrustarse en el esquema de Hilbert de un espacio proyectivo de dimensión suficientemente alta. Este lugar H en el esquema de Hilbert tiene una acción de PGL( n ) que mezcla los elementos del sistema lineal; por consiguiente, el espacio de módulos de curvas suaves se recupera como el cociente de H por el grupo lineal general proyectivo.

Otro enfoque general se asocia principalmente con Michael Artin . Aquí, la idea es partir de un objeto del tipo que se desea clasificar y estudiar su teoría de deformación . Esto implica, en primer lugar, construir deformaciones infinitesimales y, a continuación, recurrir a teoremas de prorepresentabilidad para combinarlas en un objeto sobre una base formal . Posteriormente, el teorema de existencia formal de Grothendieck proporciona un objeto del tipo deseado sobre una base que es un anillo local completo. Este objeto puede aproximarse mediante el teorema de aproximación de Artin por un objeto definido sobre un anillo finitamente generado. El espectro de este último anillo puede considerarse como una especie de carta de coordenadas en el espacio de módulos deseado. Al unir suficientes de estas cartas, podemos cubrir el espacio, pero la aplicación de nuestra unión de espectros al espacio de módulos será, en general, de muchos a uno. Por lo tanto, definimos una relación de equivalencia en el primero; esencialmente, dos puntos son equivalentes si los objetos sobre cada uno son isomorfos. Esto proporciona un esquema y una relación de equivalencia, lo cual es suficiente para definir un espacio algebraico (en realidad una pila algebraica si queremos ser precisos), aunque no siempre un esquema.

En física

El término espacio de módulos se utiliza a veces en física para referirse específicamente al espacio de módulos de valores esperados en el vacío de un conjunto de campos escalares , o al espacio de módulos de posibles fondos de cuerdas .

Los espacios de módulos también aparecen en física en la teoría topológica de campos , donde se pueden usar integrales de trayectoria de Feynman para calcular los números de intersección de varios espacios de módulos algebraicos.

Véase también

Herramientas de construcción

Esquema de Hilbert
Plan de cuotas
Teoría de la deformación
Cociente GIT
Criterio de Artin , criterio general para construir espacios de módulos como pilas algebraicas a partir de functores de módulos.

Espacios de módulos

Referencias

↑ Chan, Melody. "Espacios de módulos de curvas: clásico y tropical" (PDF) . AMS .
↑ "Lema 27.13.1 (01NE)—El proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 12 de septiembre de 2020 .
↑ "geometría algebraica: ¿qué clasifica el espacio proyectivo?" . Mathematics Stack Exchange . Consultado el 12 de septiembre de 2020 .
↑ J. Kollar. Módulos de variedades de tipo general, Manual de módulos. Vol. II, 2013, pp. 131–157.
↑ Huybrechts, D. , 2016. Lectures on K3 surfaces (Vol. 158). Cambridge University Press.
↑ "Pilas algebraicas y módulos de haces vectoriales" (PDF) .

Notas

Teoría de los módulos
Pilas de módulos en formas modulares P-ádicas y programa de Langlands

Artículos de investigación

Artículos fundamentales

Grothendieck, Alejandro (1960-1961). "Técnicas de construcción en geometría analítica. I. Descripción axiomatique de l'espace de Teichmüller et de ses variantes" (PDF) . Séminaire Henri Cartan 13 N° 1, Exposés N° 7 y 8 . París.
Mumford, David , Teoría de la invariante geométrica . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Neue Folge, Band 34 Springer-Verlag, Berlín-Nueva York 1965 vi+145 pp MR 0214602
Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. Teoría de la invariante geométrica . Tercera edición. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) (Resultados en matemáticas y áreas afines (2)), 34. Springer-Verlag, Berlín, 1994. xiv+292 págs. MR 1304906 ISBN 3-540-56963-4

Solicitudes anticipadas

Deligne, Pierre ; Mumford, David (1969). "La irreductibilidad del espacio de curvas de determinado género" (PDF) . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 36 (1): 75– 109. CiteSeerX 10.1.1.589.288 . doi : 10.1007/bf02684599 .
Faltings, Gerd ; Chai, Ching-Li (1990). Degeneración de variedades abelianas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. vol. 22. Con apéndice de David Mumford. Berlín: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-3-662-02632-8 . ISBN 978-3-540-52015-3. MR 1083353 .
Katz, Nicholas M .; Mazur, Barry (1985). Módulos aritméticos de curvas elípticas . Annals of Mathematics Studies. Vol. 108. Princeton University Press . ISBN 978-0-691-08352-0. SR 0772569 .

Otras referencias

Papadopoulos, Athanase, ed. (2007), Manual de teoría de Teichmüller. Vol. I, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 11, European Mathematical Society (EMS), Zúrich, doi : 10.4171/029 , ISBN 978-3-03719-029-6, MR 2284826
Papadopoulos, Athanase, ed. (2009), Manual de teoría de Teichmüller. Vol. II, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 13, European Mathematical Society (EMS), Zúrich, doi : 10.4171/055 , ISBN 978-3-03719-055-5, MR 2524085
Papadopoulos, Athanase, ed. (2012), Manual de teoría de Teichmüller. Vol. III, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 17, European Mathematical Society (EMS), Zúrich, doi : 10.4171/103 , ISBN 978-3-03719-103-3.

Otros artículos y fuentes

Harris, Joe ; Morrison, Ian (1998). Módulos de curvas . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 187. Nueva York: Springer Verlag . doi : 10.1007/b98867 . ISBN 978-0-387-98429-2. MR 1631825 .
Viehweg, Eckart (1995). Módulos cuasiproyectivos para colectores polarizados (PDF) . Springer Verlag. ISBN 978-3-540-59255-6.
Simpson, Carlos (1994). "Módulos de representaciones del grupo fundamental de una variedad proyectiva lisa I" (PDF) . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 79 (1): 47– 129. doi : 10.1007/bf02698887 .
Maryam Mirzakhani (2007) "Geodésicas simples y volúmenes de Weil-Petersson de espacios de módulos de superficies de Riemann con borde" Inventiones Mathematicae

Enlaces externos

Lurie, J. (2011). «Problemas de módulos para espectros de anillos». Actas del Congreso Internacional de Matemáticos 2010 (ICM 2010) . págs. 1099–1125 . doi : 10.1142/9789814324359_0088 . ISBN 978-981-4324-30-4.

[1] Chan, Melody. "Espacios de módulos de curvas: clásico y tropical" (PDF) . AMS .

[2] "Lema 27.13.1 (01NE)—El proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 12 de septiembre de 2020 .

[3] "geometría algebraica: ¿qué clasifica el espacio proyectivo?" . Mathematics Stack Exchange . Consultado el 12 de septiembre de 2020 .

[4] J. Kollar. Módulos de variedades de tipo general, Manual de módulos. Vol. II, 2013, pp. 131–157.

[5] Huybrechts, D. , 2016. Lectures on K3 surfaces (Vol. 158). Cambridge University Press.

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