Producto (matemáticas)

Clases de residuos en los anillos${\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }$se puede añadir:

${\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )+(b+N\mathbb {Z} )=a+b+N\mathbb {Z} }$

y multiplicado:

${\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z} }$

Dos funciones de los números reales a sí mismas se pueden multiplicar de otra manera, llamada convolución .

Si

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t<\infty \qquad {\mbox{y}}\qquad \int \limits _{-\infty }^{\infty }|g(t)|\,\mathrm {d} t<\infty ,}$

entonces la integral

${\displaystyle (f*g)(t)\;:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau }$

Está bien definida y se llama convolución.

Bajo la transformada de Fourier , la convolución se convierte en una multiplicación de funciones punto por punto.

El producto de dos polinomios viene dado por la siguiente expresión:

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}{\biggr )}\cdot {\biggl (}\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}{\biggr )}=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}}$

con

${\displaystyle c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}}$

Por definición misma de espacio vectorial, se puede formar el producto de cualquier escalar con cualquier vector, dando como resultado una función.${\displaystyle \mathbb {R} \times V\rightarrow V}$.

Un producto escalar es una aplicación bilineal:

${\displaystyle \cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R} }$

con las siguientes condiciones, que${\displaystyle v\cdot v>0}$a pesar de${\displaystyle 0\not =v\in V}$.

A partir del producto escalar, se puede definir una norma dejando${\displaystyle \|v\|:={\sqrt {v\cdot v}}}$.

El producto escalar también permite definir un ángulo entre dos vectores:

${\displaystyle \cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}}$

En${\displaystyle n}$En un espacio euclidiano de -dimensiones , el producto escalar estándar (llamado producto punto ) viene dado por:

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}{\biggr )}\cdot {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}e_{i}{\biggr )}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\beta _{i}}$

El producto vectorial de dos vectores en 3 dimensiones es un vector perpendicular a los dos factores, con una longitud igual al área del paralelogramo formado por los dos factores.

El producto cruzado también puede expresarse como el determinante formal ^{[ a ]} :

${\displaystyle \mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}}$

Una aplicación lineal puede definirse como una función f entre dos espacios vectoriales V y W con campo subyacente F , que satisface ^{[ 3 ].}

${\displaystyle f(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2})=t_{1}f(x_{1})+t_{2}f(x_{2}),\forall x_{1},x_{2}\in V,\forall t_{1},t_{2}\in \mathbb {F} .}$

Si solo se consideran espacios vectoriales de dimensión finita, entonces

${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f\left(v_{i}\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)=v_{i}f\left(\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)={f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j},}$

en la que b _V y b _W denotan las bases de V y W , y v _i denota la componente de v en b _V ⁱ , y se aplica la convención de suma de Einstein .

Ahora consideramos la composición de dos aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita. Sea la aplicación lineal f que mapea V a W , y sea la aplicación lineal g que mapea W a U. Entonces se puede obtener

${\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=g\left({f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j}\right)={g^{j}}_{k}{f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{U}} ^{k}.}$

O en forma matricial:

${\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=\mathbf {G} \mathbf {F} \mathbf {v} ,}$

en la que el elemento de la fila i y la columna j de F , denotado por F ij _, es f ^j _i , y G _ij =g ^j _i .

La composición de más de dos funciones lineales puede representarse de forma similar mediante una cadena de multiplicación de matrices.

Dadas dos matrices con entradas de valor real ,${\displaystyle A}$en​​${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{s\times r}}$y​​${\displaystyle B}$en​​${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{r\times t}}$⁠ (el número de columnas de ⁠${\displaystyle A}$⁠ debe coincidir con el número de filas de ⁠${\displaystyle B}$⁠ ), su producto es una matriz ⁠${\displaystyle C=AB}$en​​${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{s\times t}}$cuyas entradas vienen dadas por la suma de productos por pares de las entradas de la fila correspondiente de${\displaystyle A}$y columna de${\displaystyle B}$:​

${\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{r}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{ir}b_{rj}}$

Existe una relación entre la composición de funciones lineales y el producto de dos matrices. Para ver esto, sean r = dim(U), s = dim(V) y t = dim(W) las dimensiones (finitas) de los espacios vectoriales U, V y W. ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{u_{1},\ldots,u_{r}\}}$ser una base de U, ${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{v_{1},\ldots ,v_{s}\}}$ser una base de V y ${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{w_{1},\ldots ,w_{t}\}}$Sea una base de W. En términos de esta base, sea ${\displaystyle A=M_{\mathcal {V}}^{\mathcal {U}}(f)\in \mathbb {R} ^{s\times r}}$ Sea la matriz que representa f  : U → V y ${\displaystyle B=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {V}}(g)\in \mathbb {R} ^{r\times t}}$ Sea g la matriz que representa  V → W. Entonces

${\displaystyle B\cdot A=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {U}}(g\circ f)\in \mathbb {R} ^{s\times t}}$

es la matriz que representa${\displaystyle g\circ f:U\rightarrow W}$.

En otras palabras: el producto matricial es la descripción en coordenadas de la composición de funciones lineales.

Dados dos espacios vectoriales de dimensión finita V y W , el producto tensorial de ellos se puede definir como un tensor (2,0) que satisface:

${\displaystyle V\otimes W(v,m)=V(v)W(w),\forall v\in V^{*},\forall w\in W^{*},}$

donde V ^* y W ^* denotan los espacios duales de V y W . ^{[ 4 ]}

Para espacios vectoriales de dimensión infinita, también se tiene lo siguiente:

• Producto tensorial de espacios de Hilbert
• Producto tensorial topológico .

El producto tensorial, el producto exterior y el producto de Kronecker transmiten la misma idea general. La diferencia radica en que el producto de Kronecker es simplemente un producto tensorial de matrices con respecto a una base predefinida, mientras que el producto tensorial se define generalmente en su forma intrínseca . El producto exterior es simplemente el producto de Kronecker, limitado a vectores (en lugar de matrices).

En general, cuando se tienen dos objetos matemáticos que pueden combinarse de forma similar a un producto tensorial de álgebra lineal, esto puede entenderse, en términos generales, como el producto interno de una categoría monoidal . Es decir, la categoría monoidal captura con precisión el significado de un producto tensorial; captura exactamente la noción de por qué los productos tensoriales se comportan de esa manera. Más precisamente, una categoría monoidal es la clase de todas las cosas (de un tipo dado ) que tienen un producto tensorial.

Otros tipos de productos en álgebra lineal incluyen:

• Producto Hadamard
• Producto Kronecker
• El producto de tensores :
  • Producto en forma de cuña o producto exterior
  • Producto de interior
  • Producto externo
  • producto tensorial