categoría monoide cartesiana

En matemáticas , específicamente en el campo conocido como teoría de categorías , una categoría monoidal donde el producto monoidal ("tensor") es el producto categórico se llama categoría monoidal cartesiana . Cualquier categoría con productos finitos ("categoría de producto finito") puede considerarse una categoría monoidal cartesiana. En cualquier categoría monoidal cartesiana, el objeto terminal es la unidad monoidal. De manera similar , una categoría de coproducto finito monoidal con la estructura monoidal dada por el coproducto y la unidad del objeto inicial se llama categoría monoidal cocartesiana , y cualquier categoría de coproducto finito puede considerarse una categoría monoidal cocartesiana.

Las categorías cartesianas con un functor Hom interno que es un functor adjunto al producto se denominan categorías cartesianas cerradas . ^{[ 1 ]}

Las categorías monoidales cartesianas poseen una serie de propiedades especiales e importantes, como la existencia de aplicaciones diagonales Δ _x  : x → x ⊗ x y aumentos e _x : x → I para cualquier objeto x . En aplicaciones a la informática, podemos pensar en Δ como la duplicación de datos y en e como la eliminación de datos. Estas aplicaciones convierten cualquier objeto en un comonoide . De hecho, cualquier objeto en una categoría monoidal cartesiana se convierte en un comonoide de una manera única.         

Categorías monoidales cartesianas:

• Conjunto , la categoría de conjuntos en la que el conjunto unitario sirve como unidad.
• Gato , la bicategoría de categorías pequeñas con la categoría de producto , donde la categoría con un objeto y solo su mapa de identidad es la unidad.

Categorías monoidales cocartesianas:

• Vect , la categoría de espacios vectoriales sobre un campo dado , puede hacerse monoidal cocartesiana con el producto monoidal dado por la suma directa de espacios vectoriales y el espacio vectorial trivial como unidad.
• Ab , la categoría de grupos abelianos , con la suma directa de grupos abelianos como producto monoidal y el grupo trivial como unidad.
• De manera más general, la categoría R - Mod de módulos (izquierdos) sobre un anillo R ( conmutativo o no) se convierte en una categoría monoidal cocartesiana con la suma directa de módulos como producto tensorial y el módulo trivial como unidad.

En cada una de estas categorías de módulos equipados con una estructura monoidal cocartesiana, los productos finitos y los coproductos coinciden (en el sentido de que el producto y el coproducto de un número finito de objetos son isomorfos). O más formalmente, si f  : X ₁ ∐ ... ∐ X _n → X ₁ × ... × X _n es la aplicación "canónica" del coproducto n -ario de objetos X _j a su producto, para un número natural n , en el caso de que la aplicación f sea un isomorfismo , decimos que un biproducto para los objetos X _j es un objeto      ${\displaystyle X=\bigoplus _{j\in {1,\ldots ,n}}X_{j}}$isomorfo a${\displaystyle \coprod _{j\in {1,\ldots ,n}}X_{j}}$y${\displaystyle \prod _{j\in {1,\ldots ,n}}X_{j}}$junto con los mapas i _j  : X _j → X y p _j : X → X _j tales que el par ( X , { i _j }) es un diagrama de coproducto para los objetos X _j y el par ( X , { p _j }) es un diagrama de producto para los objetos X _j , y donde p _j ∘ i _j = id _{X j} . Si, además, la categoría en cuestión tiene un objeto cero , de modo que para cualesquiera objetos A y B hay un único mapa 0 _{A , B} : A → 0 → B , a menudo se sigue que p _k ∘ i _j = : δ _ij , la delta de Kronecker , donde interpretamos 0 y 1 como los mapas 0 y los mapas identidad de los objetos X _j y X _k , respectivamente. Véase categoría preaditiva para más información.                        

• Categoría cerrada cartesiana