Lindbladian

En mecánica cuántica , la ecuación maestra de Franke-Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindblad ( FGKSL ) (nombrada en honor a Valentin Franke , Vittorio Gorini, Andrzej Kossakowski , George Sudarshan y Göran Lindblad ), ecuación maestra de Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindblad ( GKSL ), ecuación maestra en forma de Lindblad , Liouvillian cuántica o Lindbladian es una de las formas generales de ecuaciones maestras markovianas que describen sistemas cuánticos abiertos . Generaliza la ecuación de Schrödinger a sistemas cuánticos abiertos; es decir, sistemas en contacto con su entorno. La dinámica resultante ya no es unitaria, pero aún satisface la propiedad de ser preservadora de traza y completamente positiva para cualquier condición inicial . ^{[ 1 ]}

La ecuación de Schrödinger o, en realidad, la ecuación de von Neumann, es un caso especial de la ecuación GKSL, lo que ha dado lugar a especulaciones sobre la posibilidad de que la mecánica cuántica se extienda y expanda de manera productiva mediante la aplicación y el análisis de la ecuación de Lindblad. ^{[ 2 ]} La ecuación de Schrödinger trata con vectores de estado , que solo pueden describir estados cuánticos puros y, por lo tanto, son menos generales que las matrices de densidad , que también pueden describir estados mixtos .

Comprender la interacción de un sistema cuántico con su entorno es necesario para comprender muchos fenómenos que se observan comúnmente, como la emisión espontánea de luz de átomos excitados o el funcionamiento de muchos dispositivos tecnológicos cuánticos, como el láser .

En la formulación canónica de la mecánica cuántica, la evolución temporal de un sistema se rige por una dinámica unitaria. Esto implica que no hay decaimiento y que la coherencia de fase se mantiene durante todo el proceso. Es consecuencia de que se consideran todos los grados de libertad participantes. Sin embargo, cualquier sistema físico real interactúa con su entorno, ya que no puede aislarse por completo. La interacción con grados de libertad externos produce la disipación de energía en el entorno, lo que provoca decaimiento y aleatorización de la fase.

Se han introducido ciertas técnicas matemáticas para tratar la interacción de un sistema cuántico con su entorno. Una de ellas es el uso de la matriz de densidad y su ecuación maestra asociada. Si bien este enfoque para resolver la dinámica cuántica es, en principio, equivalente a la representación de Schrödinger o la de Heisenberg , facilita la descripción de los procesos incoherentes que representan las interacciones con el entorno. El operador de densidad tiene la propiedad de poder representar una mezcla clásica de estados cuánticos, por lo que resulta fundamental para describir con precisión la dinámica de los denominados sistemas cuánticos abiertos.

La ecuación maestra de Lindblad describe la evolución de varios tipos de sistemas cuánticos abiertos, por ejemplo, un sistema débilmente acoplado a un reservorio markoviano. ^{[ 1 ]} Nótese que la H que aparece en la ecuación no es necesariamente igual al hamiltoniano del sistema desnudo, sino que también puede incorporar dinámicas unitarias efectivas derivadas de la interacción sistema-entorno.

Una derivación heurística, por ejemplo , en las notas de John Preskill , ^{[ 5 ]} comienza con una forma más general de un sistema cuántico abierto y la convierte en la forma de Lindblad mediante la suposición markoviana y la expansión en tiempos pequeños. Un tratamiento estándar con mayor motivación física ^{[ 6 ] [ 7 ]} abarca tres tipos comunes de derivaciones del Lindbladiano a partir de un hamiltoniano que actúa tanto sobre el sistema como sobre el entorno: el límite de acoplamiento débil (descrito en detalle más adelante), la aproximación de baja densidad y el límite de acoplamiento singular. Cada uno de estos se basa en suposiciones físicas específicas con respecto a, por ejemplo, las funciones de correlación del entorno. Por ejemplo, en la derivación del límite de acoplamiento débil, se suele suponer que (a) las correlaciones del sistema con el entorno se desarrollan lentamente, (b) las excitaciones del entorno causadas por el sistema decaen rápidamente y (c) los términos que oscilan rápidamente en comparación con la escala de tiempo de interés del sistema pueden despreciarse. Estas tres aproximaciones se denominan Born, Markov y onda rotatoria, respectivamente. ^{[ 8 ]}

La derivación del límite de acoplamiento débil supone un sistema cuántico con un número finito de grados de libertad acoplado a un baño que contiene un número infinito de grados de libertad. Tanto el sistema como el baño poseen un hamiltoniano escrito en términos de operadores que actúan únicamente sobre el subespacio respectivo del espacio de Hilbert total . Estos hamiltonianos rigen la dinámica interna del sistema y el baño desacoplados. Existe un tercer hamiltoniano que contiene productos de operadores del sistema y del baño, acoplando así el sistema y el baño. La forma más general de este hamiltoniano es

La dinámica de todo el sistema puede describirse mediante la ecuación de movimiento de Liouville,${\displaystyle {\dot {\chi }}=-i[H,\chi ]}$Esta ecuación, que contiene un número infinito de grados de libertad, es imposible de resolver analíticamente excepto en casos muy particulares. Es más, bajo ciertas aproximaciones, no es necesario considerar los grados de libertad del baño, y se puede derivar una ecuación maestra efectiva en términos de la matriz de densidad del sistema.${\displaystyle \rho =\operatorname {tr} _{B}\chi }$El problema se puede analizar más fácilmente pasando a la imagen de interacción , definida por la transformación unitaria.${\displaystyle {\tilde {M}}=U_{0}MU_{0}^{\dagger }}$, dónde${\displaystyle M}$es un operador arbitrario, y${\displaystyle U_{0}=e^{i(H_{S}+H_{B})t}}$. Tenga en cuenta también que${\displaystyle U(t,t_{0})}$es el operador unitario total de todo el sistema. Es sencillo confirmar que la ecuación de Liouville se convierte en

donde el hamiltoniano${\displaystyle {\tilde {H}}_{BS}=e^{i(H_{S}+H_{B})t}H_{BS}e^{-i(H_{S}+H_{B})t}}$depende explícitamente del tiempo. Además, según la imagen de interacción,${\displaystyle {\tilde {\chi }}=U_{BS}(t,t_{0})\chi U_{BS}^{\dagger }(t,t_{0})}$, dónde${\displaystyle U_{BS}=U_{0}^{\dagger }U(t,t_{0})}$Esta ecuación se puede integrar directamente para obtener

Esta ecuación implícita para${\displaystyle {\tilde {\chi }}}$se puede sustituir de nuevo en la ecuación de Liouville para obtener una ecuación diferintegral exacta.

Procedemos con la derivación asumiendo que la interacción se inicia en${\displaystyle t=0}$y en ese momento no hay correlaciones entre el sistema y el baño. Esto implica que la condición inicial es factorizable como${\displaystyle \chi (0)=\rho (0)R_{0}}$, dónde${\displaystyle R_{0}}$es el operador de densidad del baño inicialmente.

Trazando los grados de libertad del baño,${\displaystyle \operatorname {tr} _{R}{\tilde {\chi }}={\tilde {\rho }}}$, de la ecuación diferintegral antes mencionada produce

Esta ecuación es exacta para la dinámica temporal de la matriz de densidad del sistema, pero requiere un conocimiento completo de la dinámica de los grados de libertad del baño. Una suposición simplificadora, denominada aproximación de Born, se basa en el gran tamaño del baño y la relativa debilidad del acoplamiento, es decir, que el acoplamiento del sistema al baño no debería alterar significativamente los autoestados del baño. En este caso, la matriz de densidad completa es factorizable para todos los tiempos como${\displaystyle {\tilde {\chi }}(t)={\tilde {\rho }}(t)R_{0}}$La ecuación maestra se convierte en:

La ecuación ahora es explícita en los grados de libertad del sistema, pero es muy difícil de resolver. Una suposición final es la aproximación de Born-Markov de que la derivada temporal de la matriz de densidad depende solo de su estado actual, y no de su pasado. Esta suposición es válida bajo dinámicas de baño rápidas, en las que las correlaciones dentro del baño se pierden extremadamente rápido, y equivale a reemplazar${\displaystyle \rho (t')\rightarrow \rho (t)}$en el lado derecho de la ecuación.

Si se supone que el hamiltoniano de interacción tiene la forma

para operadores de sistemas${\displaystyle \alpha _{i}}$y operadores de baños${\displaystyle \Gamma _{i}}$entonces${\displaystyle {\tilde {H}}_{BS}=\sum _{i}{\tilde {\alpha }}_{i}{\tilde {\Gamma }}_{i}}$La ecuación maestra se convierte en:

que puede ampliarse como

Los valores esperados${\displaystyle \langle \Gamma _{i}\Gamma _{j}\rangle =\operatorname {tr} \{\Gamma _{i}\Gamma _{j}R_{0}\}}$son con respecto a los grados de libertad del baño. Al asumir una rápida disminución de estas correlaciones (idealmente${\displaystyle \langle \Gamma _{i}(t)\Gamma _{j}(t')\rangle \propto \delta (t-t')}$), se obtiene la forma anterior del superoperador de Lindblad L.

En el caso más simple, solo hay un operador de salto.${\displaystyle F}$y ninguna evolución unitaria. En este caso, la ecuación de Lindblad es

Este caso se utiliza con frecuencia en óptica cuántica para modelar la absorción o la emisión de fotones desde un reservorio.

Para modelar tanto la absorción como la emisión, se necesitaría un operador de salto para cada una. Esto conduce a la ecuación de Lindblad más común que describe la amortiguación de un oscilador armónico cuántico (que representa, por ejemplo, una cavidad Fabry-Perot ) acoplado a un baño térmico , con operadores de salto:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}&=a,&\gamma _{1}&={\tfrac {\gamma }{2}}\left({\overline {n}}+1\right),\\F_{2}&=a^{\dagger },&\gamma _{2}&={\tfrac {\gamma }{2}}{\overline {n}}.\end{aligned}}}$

Aquí${\displaystyle {\overline {n}}}$es el número medio de excitaciones en el reservorio que amortiguan el oscilador y γ es la tasa de decaimiento.

Para modelar el hamiltoniano del oscilador armónico cuántico con frecuencia${\displaystyle \omega _{c}}$de los fotones, podemos agregar una evolución unitaria adicional:

Se pueden incluir operadores de Lindblad adicionales para modelar diversas formas de desfase y relajación vibracional. Estos métodos se han incorporado a los métodos de propagación de matriz de densidad basados ​​en cuadrículas .

• ecuación maestra cuántica
• ecuación de Redfield
• Sistema cuántico abierto
• Método de salto cuántico
• Teorema de Sokhotski-Plemelj §  Función de Heitler

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• QuantumOptics.jl, la caja de herramientas de óptica cuántica en Julia.
• La ecuación maestra de Lindblad