Dinámica cuántica

En física, la dinámica cuántica es la versión cuántica de la dinámica clásica . La dinámica cuántica se ocupa de los movimientos y los intercambios de energía y momento de sistemas cuyo comportamiento se rige por las leyes de la mecánica cuántica . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} La dinámica cuántica es relevante para campos emergentes, como la computación cuántica y la óptica atómica .

En matemáticas, la dinámica cuántica es el estudio de las matemáticas que subyacen a la mecánica cuántica . ^{[ 3 ]} Específicamente, como estudio de la dinámica , este campo investiga cómo cambian las observables mecánicas cuánticas a lo largo del tiempo. Fundamentalmente, esto implica el estudio de automorfismos de un parámetro del álgebra de todos los operadores acotados en el espacio de Hilbert de observables (que son operadores autoadjuntos). Esta dinámica se comprendió ya en la década de 1930, después de que Wigner , Stone , Hahn y Hellinger trabajaran en este campo. Los matemáticos en este campo también han estudiado sistemas mecánicos cuánticos irreversibles en álgebras de von Neumann . ^{[ 4 ]}

Modelos fundamentales de la evolución del tiempo

La dinámica de un sistema cuántico se rige por una ecuación de movimiento específica que depende de si el sistema se considera cerrado (aislado de su entorno) o abierto (acoplado a un entorno).

Sistemas cuánticos cerrados

Un sistema cuántico cerrado es aquel que está perfectamente aislado de cualquier influencia externa. La evolución temporal de dicho sistema se describe como unitaria , lo que significa que la probabilidad total se conserva y el proceso es, en principio, reversible. La dinámica de los sistemas cerrados se describe mediante dos ecuaciones fundamentales equivalentes. ^{[ 5 ]}

La formulación más común de la dinámica cuántica es la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Describe la evolución del vector de estado del sistema, denotado como un ket. $|\psi (t)\rangle$ La ecuación viene dada por:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle$

Aquí, $i$ es la unidad imaginaria, $\hbar$ es la constante de Planck reducida, $|\psi (t)\rangle$ es el estado del sistema en el momento $t$ , y ${\hat {H}}$ es el operador hamiltoniano: la magnitud observable que corresponde a la energía total del sistema.

La ecuación de Schrödinger es potente pero se aplica solo a estados puros . Una descripción más general de un sistema cuántico es la matriz de densidad (o operador de densidad), denotada $\rho$ , que puede representar tanto estados puros como estados mixtos (conjuntos estadísticos de estados cuánticos). La evolución temporal de la matriz de densidad se rige por la ecuación de Liouville-von Neumann:

$i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho (t)=[{\hat {H}},\rho (t)]$

dónde $[{\hat {H}},\rho (t)]={\hat {H}}\rho (t)-\rho (t){\hat {H}}$ es el conmutador del hamiltoniano con la matriz de densidad. Esta ecuación es el análogo cuántico del teorema clásico de Liouville. Para un sistema cerrado, la ecuación de Von Neumann es totalmente equivalente a la ecuación de Schrödinger, ^{[ 6 ]} pero su marco es esencial para comprender la dinámica de los sistemas abiertos.

Sistemas cuánticos abiertos

En la práctica, ningún sistema cuántico está perfectamente aislado de su entorno. Un sistema que interactúa con su entorno (a menudo denominado "baño") se conoce como sistema cuántico abierto . Esta interacción da lugar a una evolución no unitaria , donde se puede intercambiar información y energía con el entorno. ^{[ 7 ]}

Este intercambio provoca la desintegración de fenómenos exclusivamente cuánticos, un proceso conocido como decoherencia , donde la superposición limpia de estados se degrada en una mezcla clásica. También conduce a la disipación , donde el sistema pierde energía hacia su entorno. ^{[ 7 ]}

La dinámica de los sistemas cuánticos abiertos se modela típicamente mediante ecuaciones maestras cuánticas . La forma más general para un sistema cuyo entorno no tiene memoria (un sistema markoviano) es la ecuación de Lindblad , también conocida como ecuación de Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindblad (GKSL): ^{[ 8 ]}

${\frac {d}{dt}}\rho (t)=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},\rho ]+\sum _{k}\left(L_{k}\rho L_{k}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\{L_{k}^{\dagger }L_{k},\rho \}\right)$

En esta ecuación:

El primer término, $-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},\rho ]$ describe la evolución unitaria ordinaria del sistema, idéntica a la ecuación de Von Neumann.
El segundo término, a menudo llamado "disipador" o "Lindbladiano", describe la dinámica irreversible y no unitaria debida al entorno. ^{[ 9 ]}
Los operadores $L_{k}$ Se conocen como operadores de Lindblad u operadores de salto cuántico . ^{[ 10 ]} Modelan las formas específicas en que el sistema se acopla al baño (por ejemplo, a través de la emisión de fotones o el ruido térmico). $\{A,B\}=AB+BA$ es el anticonmutador.

El estudio de los sistemas cuánticos abiertos es fundamental para comprender la transición cuántica a clásica y resulta esencial para tecnologías como la computación cuántica, donde la decoherencia es un desafío de ingeniería primordial.

Relación con la dinámica clásica

Si bien la dinámica cuántica es fundamentalmente diferente de la dinámica clásica, también es una generalización de esta. Los principios de la mecánica clásica surgen de la mecánica cuántica como una aproximación en el límite macroscópico, un concepto conocido como principio de correspondencia . ^{[ 5 ]}

La principal diferencia con la física clásica radica en la naturaleza de las variables físicas. En la dinámica clásica, variables como la posición ( $x$ ) y momento ( $p$ Los números son números simples ( números c ). En dinámica cuántica, se representan mediante operadores ( números q ) que, fundamentalmente, no necesariamente conmutan . Por ejemplo, el operador de posición. ${\hat {X}}$ y el operador de momento ${\hat {P}}$ están relacionadas por la relación de conmutación canónica:

$[{\hat {X}},{\hat {P}}]={\hat {X}}{\hat {P}}-{\hat {P}}{\hat {X}}=i\hbar$

Esta no conmutatividad es la fuente del principio de incertidumbre de Heisenberg y altera fundamentalmente la dinámica de un sistema, ^{[ 6 ]} haciendo imposible conocer simultáneamente la posición y el momento precisos de una partícula. La relación entre el conmutador cuántico y el corchete de Poisson clásico, $[{\hat {A}},{\hat {B}}]\leftrightarrow i\hbar \{A,B\}$ , fue una idea clave en el desarrollo de la mecánica cuántica, señalada por primera vez por Paul Dirac. ^{[ 11 ]}

A pesar de esta diferencia, el papel del hamiltoniano sigue siendo central en ambos marcos. Así como el hamiltoniano clásico genera la evolución temporal de un sistema a través de las ecuaciones de Hamilton, el operador hamiltoniano cuántico ${\hat {H}}$ La ecuación de Schrödinger rige la evolución del estado cuántico. Para sistemas con números cuánticos grandes (es decir, a escala macroscópica), la evolución cuántica descrita por la ecuación de Schrödinger se promediará para producir la trayectoria predicha por las leyes de Newton. ^{[ 5 ]}

Véase también

Referencias

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[1] Joan Vaccaro (26 de junio de 2008). "Centro de Dinámica Cuántica, Universidad Griffith" . Quantiki . Archivado del original el 25 de octubre de 2009. Consultado el 25 de enero de 2010 .

[2] Wyatt, Robert Eugene ; Corey J. Trahan (2005). Dinámica cuántica con trayectorias . Springer. ISBN 9780387229645.

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[:2-7] 1 2 Breuer, Heinz-Peter; Petruccione, Francesco (2009). La teoría de los sistemas cuánticos abiertos (1. publ. en edición de bolsillo, [Nachdr.] ed.). Oxford: Prensa de Clarendon. ISBN 978-0-19-852063-4.

[8] Chruściński, Dariusz; Pascazio, Saverio (2017-11-04). "Una breve historia de la ecuación GKLS". Open Systems & Information Dynamics . 24 (3). arXiv : 1710.05993 . Bibcode : 2017OSID...2440001C . doi : 10.1142/S1230161217400017 .

[9] Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (5 de junio de 2012). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9780511976667 . ISBN 978-1-107-00217-3.

[10] Plenio, MB; Knight, PL (1997-02-01). "El enfoque de salto cuántico a la dinámica disipativa en óptica cuántica". Reviews of Modern Physics . 70 : 101–144 . arXiv : quant-ph/9702007 . doi : 10.1103/RevModPhys.70.101 .

[11] Dirac, PAM (2010). Los principios de la mecánica cuántica . Serie internacional de monografías sobre física (4.ª ed. (rev.), reimpresión ). Oxford: Clarendon Press, Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852011-5.

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