ecuación maestra cuántica

En información cuántica , una ecuación maestra cuántica es una ecuación general que describe la evolución de un sistema cuántico que interactúa con su entorno. Son una generalización de las ecuaciones maestras , ecuaciones que describen la evolución de combinaciones probabilísticas de estados. ^{[ 1 ]} Las ecuaciones maestras cuánticas son ecuaciones diferenciales para la matriz de densidad de un sistema , una descripción matricial del sistema cuántico.

En lugar de ser simplemente un sistema de ecuaciones diferenciales para un conjunto de probabilidades (que solo constituye los elementos diagonales de una matriz de densidad ), las ecuaciones maestras cuánticas son ecuaciones diferenciales para toda la matriz de densidad, incluyendo los elementos fuera de la diagonal . Una matriz de densidad con solo elementos diagonales puede modelarse como un proceso aleatorio clásico; por lo tanto, dicha ecuación maestra "ordinaria" se considera clásica. Los elementos fuera de la diagonal representan la coherencia cuántica , una característica física intrínsecamente cuántica.

Algunas ecuaciones maestras cuánticas, como la ecuación de Nakajima-Zwanzig , son formalmente exactas, pero en general son tan difíciles de resolver como el problema cuántico completo. En cambio, muchas ecuaciones maestras emplean la aproximación markoviana para lograr una dinámica reducida. Esta aproximación supone que el entorno, o baño, carece de memoria. Entre las ecuaciones maestras cuánticas markovianas aproximadas se incluyen la ecuación de Redfield y la ecuación de Lindblad . Estas ecuaciones son muy fáciles de resolver, pero generalmente no son precisas para todos los sistemas.

Algunas aproximaciones modernas basadas en ecuaciones maestras cuánticas, que muestran una mejor concordancia con los cálculos numéricos exactos en algunos casos, incluyen la ecuación maestra cuántica transformada en polarones y la VPQME (ecuación maestra cuántica transformada en polarones variacional). ^{[ 2 ]}

Los enfoques numéricamente exactos para los tipos de problemas a los que se suelen aplicar las ecuaciones maestras incluyen integrales numéricas de Feynman , ^{[ 3 ]} Monte Carlo cuántico , DMRG ^{[ 4 ]} y NRG , MCTDH , ^{[ 5 ]} y HEOM .

La evolución temporal de un sistema cuántico cerrado se describe mediante la ecuación de Schrödinger ,

$${\displaystyle i{\dot {\psi }}=H\psi \qquad \psi _{t}=U_{t}\psi _{0},}$$

Para más de un parámetro, como en un estado entrelazado o un conjunto clásico de estados cuánticos, se utiliza la matriz de densidad. Para la matriz de densidad, la evolución temporal viene dada por la ecuación de von Neumann .

$${\displaystyle {\dot {\rho }}=-i[H,\rho ]\qquad \rho _{t}=U_{t}\rho _{0}U_{t}^{\dagger }}$$

Sin embargo, esto todavía describe un sistema cerrado. En cambio, el sistema se describe mediante la ley de evolución.

$${\displaystyle \rho '=\Lambda \rho =\sum _{\alpha }K_{\alpha }\rho K_{\alpha }^{\dagger },\quad {\textrm {donde}}\quad \sum _{\alpha }K_{\alpha }K_{\alpha }^{\dagger }=I}$$

Esta aún no es una ecuación maestra cuántica, ya que no es una ecuación diferencial. En la aproximación markoviana, esta ley da como resultado:

$${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}={\mathcal {L}}\rho \qquad \rho _{t}=e^{t{\mathcal {L}}}\,\rho _{0},}$$

que es una ecuación maestra para${\displaystyle \rho }$en la aproximación markoviana. ^{[ 6 ]}

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