Superoperador

En física , un superoperador es un operador lineal que actúa sobre un espacio vectorial de operadores lineales . ^{[ 1 ]}

En ocasiones, el término se refiere más específicamente a una aplicación completamente positiva que también conserva o no aumenta la traza de su argumento . Este significado especializado se utiliza ampliamente en el campo de la computación cuántica , especialmente en la programación cuántica , ya que caracterizan las aplicaciones entre matrices de densidad .

El uso del prefijo "super-" en este contexto no guarda relación alguna con su otro uso en la física matemática. Es decir, los superoperadores no tienen conexión con la supersimetría ni con la superálgebra , que son extensiones de los conceptos matemáticos habituales definidos al extender el anillo de números para incluir los números de Grassmann . Dado que los superoperadores son operadores en sí mismos, el prefijo "super-" se utiliza para distinguirlos de los operadores sobre los que actúan.

Multiplicación izquierda/derecha

Fijar una elección de base para el espacio de Hilbert subyacente $\{|i\rangle \}_{i}$ .

Definición de los superoperadores de multiplicación izquierda y derecha mediante ${\mathcal {L}}(A)[\rho ]=A\rho$ y ${\mathcal {R}}(A)[\rho ]=\rho A$ respectivamente se puede expresar el conmutador como

[A,\rho ]={\mathcal {L}}(A)[\rho ]-{\mathcal {R}}(A)[\rho ].

A continuación, vectorizamos la matriz. $\rho$ que es el mapeo

\rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}|i\rangle \langle j|\mapsto |\rho \rangle \!\rangle =\sum _{i,j}\rho _{ij}|i\rangle \otimes |j\rangle ,

dónde $|\cdot \rangle \!\rangle$ denota un vector en el espacio de Fock-Liouville. La representación matricial de ${\mathcal {L}}(A)$ Luego se calcula utilizando el mismo mapeo.

A\rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}A|i\rangle \langle j|\mapsto \sum _{i,j}\rho _{ij}(A|i\rangle )\otimes |j\rangle =\sum _{i,j}\rho _{ij}(A\otimes I)(|i\rangle \otimes |j\rangle )=(A\otimes I)|\rho \rangle \!\rangle ={\mathcal {L}}(A)[\rho ],

indicando que ${\mathcal {L}}(A)=A\otimes I$ . De manera similar se puede demostrar que ${\mathcal {R}}(A)=(I\otimes A^{T})$ Estas representaciones nos permiten calcular elementos como los autovalores asociados a los superoperadores. Estos autovalores son particularmente útiles en el campo de los sistemas cuánticos abiertos, donde las partes reales de los autovalores del superoperador de Lindblad indican si un sistema cuántico se relajará o no.

Ejemplos

La ecuación de Von Neumann

En mecánica cuántica la ecuación de Schrödinger ,

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi

,

expresa la evolución temporal del vector de estado $\psi$ por la acción del hamiltoniano ${\hat {H}}$ que es un operador que mapea vectores de estado a vectores de estado.

En la formulación más general de John von Neumann , los estados estadísticos y los conjuntos se expresan mediante operadores de densidad en lugar de vectores de estado. En este contexto, la evolución temporal del operador de densidad se expresa mediante la ecuación de von Neumann en la que el operador de densidad es sometido a un superoperador. ${\mathcal {H}}$ mapeo de operadores a operadores. Se define tomando el conmutador con respecto al operador hamiltoniano:

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\mathcal {H}}[\rho ]

dónde

{\mathcal {H}}[\rho ]=[{\hat {H}},\rho ]\equiv {\hat {H}}\rho -\rho {\hat {H}}

Dado que los corchetes conmutadores se utilizan ampliamente en mecánica cuántica, esta presentación explícita del superoperador de la acción del hamiltoniano se suele omitir.

Derivadas de funciones en el espacio de operadores

Al considerar una función valorada en operadores ${\hat {H}}={\hat {H}}({\hat {P}})$ como por ejemplo cuando definimos el hamiltoniano mecánico cuántico de una partícula como una función de los operadores de posición y momento, podemos (por cualquier motivo) definir una "derivada de operador". ${\frac {\Delta {\hat {H}}}{\Delta {\hat {P}}}}$ como un superoperador que asigna un operador a otro operador.

Por ejemplo, si $H(P)=P^{3}=PPP$ entonces su operador derivado es el superoperador definido por:

{\frac {\Delta H}{\Delta P}}[X]=XP^{2}+PXP+P^{2}X

Esta “derivada de operador” es simplemente la matriz jacobiana de la función (de operadores), donde se tratan la entrada y la salida del operador como vectores y se expande el espacio de operadores en alguna base. La matriz jacobiana es entonces un operador (en un nivel de abstracción superior) que actúa sobre ese espacio vectorial (de operadores).

Referencias

↑ John Preskill , Apuntes de clase para el curso de Computación Cuántica en Caltech , Cap. 3 ,

[1] John Preskill , Apuntes de clase para el curso de Computación Cuántica en Caltech , Cap. 3 ,

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