Método de conjunto de niveles

El método de conjuntos de nivel ( LSM ) es un marco conceptual para utilizar conjuntos de nivel como herramienta para el análisis numérico de superficies y formas . LSM puede realizar cálculos numéricos que involucran curvas y superficies en una cuadrícula cartesiana fija sin necesidad de parametrizar estos objetos. ^{[ 1 ]} LSM facilita la realización de cálculos en formas con esquinas afiladas y formas que cambian de topología (como al dividirse en dos o desarrollar agujeros). Estas características hacen que LSM sea eficaz para modelar objetos que varían en el tiempo, como un airbag que se infla o una gota de aceite que flota en el agua.

La figura de la derecha ilustra varias ideas sobre LSM. En la esquina superior izquierda hay una región acotada con un límite bien definido. Debajo, la superficie roja es la gráfica de una función de conjunto de nivel.${\displaystyle \varphi }$determinando esta forma, y ​​la región azul plana representa el plano XY . El límite de la forma es entonces el conjunto de nivel cero de${\displaystyle \varphi }$, mientras que la forma misma es el conjunto de puntos en el plano para el cual${\displaystyle \varphi }$es positivo (en el interior de la figura) o cero (en el borde).

En la fila superior, la topología de la figura cambia al dividirse en dos. Resulta complejo describir numéricamente esta transformación parametrizando el contorno de la figura y siguiendo su evolución. Se puede utilizar un algoritmo para detectar el momento en que la figura se divide en dos y, a continuación, construir parametrizaciones para las dos curvas resultantes. En la fila inferior, sin embargo, el plano en el que se muestrea la función de nivel se desplaza hacia arriba, donde se describe el cambio de topología de la figura. Es menos complejo trabajar con una figura a través de su función de nivel que directamente con ella, en cuyo caso un método tendría que considerar todas las posibles deformaciones que podría sufrir.

Así, en dos dimensiones, el método de nivel-conjunto equivale a representar una curva cerrada.${\displaystyle \Gamma }$(como el contorno de la forma en nuestro ejemplo) utilizando una función auxiliar${\displaystyle \varphi }$, llamada función de nivel. La curva${\displaystyle \Gamma }$se representa como el conjunto de nivel cero de${\displaystyle \varphi }$por

${\displaystyle \Gamma =\{(x,y)\mid \varphi (x,y)=0\},}$

y el método de conjunto de niveles manipula${\displaystyle \Gamma }$implícitamente a través de la función${\displaystyle \varphi }$Esta función${\displaystyle \varphi }$Se supone que toma valores positivos dentro de la región delimitada por la curva.${\displaystyle \Gamma }$y valores negativos en el exterior. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Si la curva${\displaystyle \Gamma }$se mueve en la dirección normal con una velocidad${\displaystyle v}$, entonces por regla de cadena y diferenciación implícita, se puede determinar que la función de conjunto de nivel${\displaystyle \varphi }$satisface la ecuación de nivel

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=v|\nabla \varphi |.}$

Aquí,${\displaystyle |\cdot |}$es la norma euclidiana (denotada habitualmente por barras simples en ecuaciones diferenciales parciales), y${\displaystyle t}$es el tiempo. Esta es una ecuación diferencial parcial , en particular una ecuación de Hamilton-Jacobi , y puede resolverse numéricamente, por ejemplo, utilizando diferencias finitas en una malla cartesiana. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Sin embargo, la solución numérica de la ecuación del conjunto de nivel puede requerir técnicas avanzadas. Los métodos simples de diferencias finitas fallan rápidamente. Los métodos de diferencias ascendentes, como el método de Godunov, se consideran mejores; sin embargo, el método del conjunto de nivel no garantiza la preservación del volumen y la forma del nivel establecido en un campo de advección que mantiene su forma y tamaño, por ejemplo, un campo de velocidad uniforme o rotacional . En cambio, la forma del conjunto de nivel puede distorsionarse y el conjunto de nivel puede desaparecer en unos pocos pasos de tiempo. Por lo tanto, a menudo se requieren esquemas de diferencias finitas de alto orden, como los esquemas esencialmente no oscilatorios (ENO) de alto orden, e incluso así, la viabilidad de las simulaciones a largo plazo es cuestionable. Se han desarrollado métodos más avanzados para superar esto; por ejemplo, combinaciones del método de nivelación con partículas marcadoras de seguimiento sugeridas por el campo de velocidad. ^{[ 4 ]}

Consideremos un círculo unitario en${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$El círculo se contrae sobre sí mismo a un ritmo constante; es decir, cada punto en su borde se mueve a lo largo de su eje, apuntando normalmente hacia adentro a una velocidad fija. El círculo se contraerá y finalmente colapsará hasta convertirse en un punto. Si se construye un campo de distancia inicial (es decir, una función cuyo valor es la distancia euclidiana con signo al borde, positiva en el interior y negativa en el exterior) sobre el círculo inicial, el gradiente normalizado de este campo será la normal del círculo.

Si al campo se le resta un valor constante en el tiempo, el nivel cero (que era el límite inicial) de los nuevos campos también será circular y colapsará de manera similar en un punto. Esto se debe a que se trata, en efecto, de la integración temporal de la ecuación de Eikonal con una velocidad de frente fija .

• En la modelización matemática de la combustión , el método de mínimos cuadrados (LSM) se utiliza para describir la superficie instantánea de la llama, conocida como la ecuación G.
• Se han desarrollado estructuras de datos de conjuntos de nivel para facilitar el uso del método de conjuntos de nivel en aplicaciones informáticas.
• Dinámica de fluidos computacional
• Planificación de trayectorias
• Mejoramiento
• Procesamiento de imágenes
• Biofísica computacional
• Dinámica compleja discreta (visualización del plano de parámetros y del plano dinámico )

El método de conjuntos de nivel fue desarrollado en 1979 por Alain Dervieux, ^{[ 5 ]} y posteriormente popularizado por Stanley Osher y James Sethian . Desde entonces se ha popularizado en muchas disciplinas, como el procesamiento de imágenes , los gráficos por computadora , la geometría computacional , la optimización , la dinámica de fluidos computacional y la biología computacional .

• Consulte la página web académica de Ronald Fedkiw para ver numerosas imágenes y animaciones que muestran cómo se puede utilizar el método de conjuntos de nivel para modelar fenómenos de la vida real.
• Multivac es una biblioteca de C++ para el seguimiento frontal en 2D con métodos de conjuntos de nivel.
• Página web de James Sethian sobre el método de conjuntos de nivel.
• Página principal de Stanley Osher .
• Método de conjunto de nivel. MIT 16.920J / 2.097J / 6.339J. Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales por Per-Olof Persson. 8 de marzo de 2005.
• Clase 11: El método de conjuntos de nivel: MIT 18.086. Métodos matemáticos para ingenieros II por Gilbert Strang