El plan de Godunov

En análisis numérico y dinámica de fluidos computacional , el esquema de Godunov es un método numérico conservativo , propuesto por Sergei Godunov en 1959 ^{[ 1 ]} , para resolver ecuaciones diferenciales parciales . Este método puede considerarse un método de volumen finito conservativo que resuelve problemas de Riemann exactos o aproximados en cada frontera entre celdas. En su forma básica, el método de Godunov es de primer orden de precisión tanto espacial como temporal, y puede utilizarse como base para desarrollar métodos de orden superior.

Siguiendo el marco del método clásico de volumen finito , buscamos rastrear un conjunto finito de incógnitas discretas, $${\displaystyle Q_{i}^{n}={\frac {1}{\Delta x}}\int _{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}q(t^{n},x)\,dx}$$ donde el${\displaystyle x_{i-1/2}=x_{\text{bajo}}+\left(i-1/2\right)\Delta x}$y${\displaystyle t^{n}=n\Delta t}$formar un conjunto discreto de puntos para el problema hiperbólico: $${\displaystyle q_{t}+(f(q))_{x}=0,}$$ donde los índices${\displaystyle t}$y${\displaystyle x}$indican las derivadas en el tiempo y el espacio, respectivamente. Si integramos el problema hiperbólico sobre un volumen de control${\displaystyle [x_{i-1/2},x_{i+1/2}],}$obtenemos una formulación del método de líneas (MOL) para los promedios de celdas espaciales: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}Q_{i}(t)=-{\frac {1}{\Delta x}}\left(f(q(t,x_{i+1/2}))-f(q(t,x_{i-1/2}))\right),}$$ que es una descripción clásica del método de volumen finito de primer orden con discretización ascendente. ^{[ 2 ]}

Integración temporal exacta de la fórmula anterior desde el tiempo${\displaystyle t=t^{n}}$a tiempo${\displaystyle t=t^{n+1}}$produce la fórmula de actualización exacta: $${\displaystyle Q_{i}^{n+1}=Q_{i}^{n}-{\frac {1}{\Delta x}}\int _{t^{n}}^{t^{n+1}}\left(f(q(t,x_{i+1/2}))-f(q(t,x_{i-1/2}))\right)\,dt.}$$

El método de Godunov reemplaza la integral de tiempo de cada $${\displaystyle \int _{t^{n}}^{t^{n+1}}f(q(t,x_{i-1/2}))\,dt}$$ con un método de Euler hacia adelante que produce una fórmula de actualización totalmente discreta para cada una de las incógnitas.${\displaystyle Q_{i}^{n}}$. Es decir, aproximamos las integrales con $${\displaystyle \int _{t^{n}}^{t^{n+1}}f(q(t,x_{i-1/2}))\,dt\approx \Delta tf^{\downarrow }\left(Q_{i-1}^{n},Q_{i}^{n}\right),}$$ dónde${\displaystyle f^{\downarrow }\left(q_{l},q_{r}\right)}$es una aproximación a la solución exacta del problema de Riemann. Para mayor coherencia, se supone que $${\displaystyle f^{\downarrow }(q_{l},q_{r})=f(q_{l})\quad {\text{ si }}\quad q_{l}=q_{r},}$$ y eso${\displaystyle f^{\downarrow }}$es creciente en el primer argumento y decreciente en el segundo argumento. Para problemas escalares donde${\displaystyle f'(q)>0}$, se puede utilizar el esquema Upwind simple , que define${\displaystyle f^{\downarrow }(q_{l},q_{r})=f(q_{l})}$.

El esquema completo de Godunov requiere la definición de un solucionador de Riemann aproximado o exacto , pero en su forma más básica, viene dado por: $${\displaystyle Q_{i}^{n+1}=Q_{i}^{n}-\lambda \left({\hat {f}}_{i+1/2}^{n}-{\hat {f}}_{i-1/2}^{n}\right),\quad \lambda ={\frac {\Delta t}{\Delta x}},\quad {\hat {f}}_{i-1/2}^{n}=f^{\downarrow }\left(Q_{i-1}^{n},Q_{i}^{n}\right)}$$

En el caso de un problema lineal, donde${\displaystyle f(q)=aq}$y sin pérdida de generalidad, asumiremos que${\displaystyle a>0}$El método de Godunov con viento ascendente produce: $${\displaystyle Q_{i}^{n+1}=Q_{i}^{n}-\nu \left(Q_{i}^{n}-Q_{i-1}^{n}\right),\quad \nu =a{\frac {\Delta t}{\Delta x}},}$$ lo que produce el esquema clásico de volumen finito de primer orden con discretización ascendente, cuya estabilidad requiere${\displaystyle \nu =\left|a{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\right|\leq 1}$.

Siguiendo a Hirsch, ^{[ 3 ]} el esquema implica tres pasos distintos para obtener la solución en${\displaystyle t=(n+1)\Delta t\,}$de la solución conocida en${\displaystyle {t=n\Delta t}\,}$, de la siguiente manera:

1. Definir la aproximación constante por partes de la solución en${\displaystyle {t=(n+1)\Delta t}\,}$Dado que la aproximación constante por partes es un promedio de la solución sobre la celda de tamaño${\displaystyle {\Delta x}\,}$, el error espacial es de orden${\displaystyle {\Delta x}\,}$Por lo tanto, el esquema resultante tendrá una precisión de primer orden en el espacio. Cabe destacar que esta aproximación corresponde a una representación mediante el método de volumen finito, donde los valores discretos representan promedios de las variables de estado en las celdas. Las relaciones exactas para los valores promedio de las celdas se pueden obtener a partir de las leyes de conservación integrales.
2. Obtenga la solución del problema de Riemann local en las interfaces de las celdas. Este es el único paso físico de todo el procedimiento. Las discontinuidades en las interfaces se resuelven mediante una superposición de ondas que satisfacen localmente las ecuaciones de conservación. El método original de Godunov se basa en la solución exacta de los problemas de Riemann. Sin embargo, se pueden aplicar soluciones aproximadas como alternativa.
3. Calcula el promedio de las variables de estado después de un intervalo de tiempo.${\displaystyle {\Delta t}\,}$Las variables de estado obtenidas después del Paso 2 se promedian sobre cada celda definiendo una nueva aproximación constante por partes resultante de la propagación de la onda durante el intervalo de tiempo.${\displaystyle {\Delta t}\,}$Para ser coherente, el intervalo de tiempo${\displaystyle {\Delta t}\,}$Debe limitarse de tal manera que las ondas que emanan de una interfaz no interactúen con las ondas creadas en las interfaces adyacentes. De lo contrario, la situación dentro de una celda se vería influenciada por problemas de Riemann interactivos. Esto conduce a la condición CFL.${\displaystyle |a_{\max }|\Delta t<\Delta x/2\,}$dónde${\displaystyle |a_{\max }|\,}$es la velocidad máxima de onda obtenida a partir del/los valor/es propio/s de la celda de la matriz jacobiana local .

El primer y el tercer paso son exclusivamente numéricos y pueden considerarse una etapa de proyección , independiente del segundo paso físico, la etapa de evolución . Por lo tanto, pueden modificarse sin afectar la entrada física, por ejemplo, reemplazando la aproximación constante por tramos por una variación lineal por tramos dentro de cada celda, lo que lleva a la definición de esquemas de segundo orden con precisión espacial, como el esquema MUSCL .

• Método de líneas

• Laney, Culbert B. (1998). Dinámica de gases computacional . Cambridge University Press. ISBN 0-521-57069-7.
• Toro, EF (1999). Solucionadores de Riemann y métodos numéricos para la dinámica de fluidos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-65966-8.
• Tannehill, John C.; et  al. (1997). Mecánica de fluidos computacional y transferencia de calor (2.ª  ed.). Washington: Taylor and Francis. ISBN 1-56032-046-X.
• Wesseling, Pieter (2001). Principios de la dinámica de fluidos computacional . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-67853-0.