Diagrama de caja de contorno

En gráficos estadísticos y visualización científica , el diagrama de caja de contorno ^{[ 1 ]} es una herramienta exploratoria que se ha propuesto para visualizar conjuntos de conjuntos de características determinados por un umbral en alguna función escalar (por ejemplo, conjuntos de nivel , isocontornos ). Análogo al diagrama de caja clásico y considerado una extensión de los conceptos que definen el diagrama de caja funcional , ^{[ 2 ] [ 3 ]} las estadísticas descriptivas de un diagrama de caja de contorno son: la envolvente de la región central del 50%, la curva mediana y la envolvente máxima no atípica.

Para construir un diagrama de caja de contorno, el primer paso es ordenar los datos. En el análisis de datos funcionales , cada observación es una función real; por lo tanto, el ordenamiento de datos difiere del diagrama de caja clásico, donde los datos escalares se ordenan simplemente del valor de muestra más pequeño al más grande. En términos más generales, la profundidad de datos proporciona un ordenamiento de los puntos de datos desde el centro hacia afuera, lo que permite construir estadísticas de rango para diversos tipos de datos multidimensionales. Por ejemplo, los ejemplos de datos funcionales se pueden ordenar utilizando el método de profundidad de banda o una profundidad de banda modificada. En el análisis de datos de contorno, cada observación es un conjunto de características (un subconjunto del dominio) y, por lo tanto, no una función. Así, la noción de profundidad de banda y profundidad de banda modificada se extiende para incluir características que se pueden expresar como conjuntos, pero no necesariamente como funciones. La profundidad de banda de contorno permite ordenar los datos de conjuntos de características desde el centro hacia afuera y, por lo tanto, introduce una medida para definir los cuantiles funcionales y la centralidad o atipicidad de una observación. Al contar con datos de conjuntos de características, el diagrama de caja de contorno es una extensión natural del diagrama de caja clásico que, en casos especiales, se reduce de nuevo al diagrama de caja funcional tradicional.

La profundidad de banda de conjuntos (introducida en ^{[ 1 ]} ), denotada como sBD, es un método para establecer un ordenamiento de centro a exterior de una colección de conjuntos. Al igual que otros métodos de ordenamiento de datos de profundidad de banda, la profundidad de banda de conjuntos calcula la probabilidad de que una muestra se encuentre en la banda formada por otras j muestras de la distribución. Decimos que un conjunto S  ∈ E es un elemento de la banda de una colección de otros j conjuntos S ₁ , ..., S _j ∈ E si está acotada por su unión e intersección. Es decir:     

${\displaystyle S\in sB(S_{1},\ldots ,S_{j})\Longleftrightarrow \bigcap _{k=1}^{j}S_{k}\subset S\subset \bigcup _{k=1}^{j}S_{k}.\,}$

La profundidad de banda establecida es la suma de las probabilidades de estar dentro de bandas formadas por diferentes números de muestras (2,  ..., J ). 

${\displaystyle sBD_{J}(S)=\sum _{j=2}^{J}P\left[S\in sB(S_{1},\ldots ,S_{j}\right].}$

Se demuestra que la profundidad de banda de conjuntos es una generalización de la profundidad de banda de funciones. La profundidad de banda de conjuntos tiene una forma modificada que se deriva de una forma relajada de subconjunto, la cual requiere que solo un porcentaje de un conjunto esté incluido en otro.

La profundidad de banda de contorno (cBD) es una aplicación directa de sBD, donde los conjuntos se derivan de funciones de entrada umbralizadas, F ( x )  > q . De esta manera, un conjunto de funciones de entrada escalares y un valor umbral dan lugar a una colección de contornos, y la ordenación de cBD proporciona un ordenamiento de profundidad de datos (de mayor a menor probabilidad se obtiene de mayor a menor profundidad) de esos contornos. Al basarse en la formulación de conjuntos, los diagramas de caja de contorno evitan cualquier correspondencia explícita de puntos en diferentes contornos. 

En el diagrama de caja clásico, la caja representa el 50% central de los datos. Dado que el orden de los datos en el diagrama de caja de contorno va del centro hacia afuera, la región central del 50% se define por la banda delimitada por el 50% de las observaciones más profundas o centrales. El borde de la región central del 50% se define como la envoltura que representa la caja en un diagrama de caja clásico. Por lo tanto, esta región central del 50% es análoga al rango intercuartil (RIC) y proporciona una indicación útil de la dispersión del 50% central de las curvas. Este es un rango robusto para la interpretación porque la región central del 50% no se ve afectada por valores atípicos o extremos, y ofrece una visualización menos sesgada de la dispersión de las curvas. La observación dentro de la caja indica la mediana , o la observación más central, que también es una estadística robusta para medir la centralidad.

Los "bigotes" del diagrama de caja son las líneas verticales que se extienden desde la caja e indican la envolvente máxima del conjunto de datos, excluyendo los valores atípicos. En los diagramas de caja de contorno, esta envolvente se forma considerando la diferencia entre la unión y la intersección de todas las muestras que no son atípicas. Los valores atípicos se determinan cuando su valor cBD es menor que un factor multiplicador (menor que uno) del cBD del 50 % de las muestras clasificadas.

El siguiente ejemplo muestra un conjunto de datos de una simulación bidimensional incompresible de Navier-Stokes, compuesto por 40 elementos. Cada elemento del conjunto es una simulación con un número de Reynolds y una velocidad de entrada elegidos aleatoriamente. Los valores de velocidad de entrada se extraen aleatoriamente de una distribución normal con una media de 1 y una desviación estándar de ±0,01 (en unidades adimensionales); asimismo, los números de Reynolds se generan a partir de una distribución normal con una media de 130 y una desviación estándar de ±3.

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  Conjunto de contornos resultantes de diferentes valores de parámetros en una simulación de fluidos 2D (flujo alrededor de un cilindro, de izquierda a derecha).
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  Los diagramas de caja de contorno proporcionan una mediana, estadísticas de orden y valores atípicos (representados sobre una visualización de convolución de integral de línea del flujo).
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  Los promedios y la desviación estándar de ±1 de los campos dan resultados que no son geométricamente correctos (lo que implica la ausencia de simulación) y subestiman las posibles posiciones de los contornos (representados sobre una visualización de convolución de integral de línea del flujo).

El ejemplo que se muestra a continuación proviene de un conjunto de datos disponibles públicamente de la Administración Nacional Oceánica y Atmosférica (NOAA) [1]. Los datos del conjunto se generan mediante diferentes ejecuciones de un modelo de simulación con distintas perturbaciones de las condiciones iniciales para tener en cuenta los errores en dichas condiciones y/o en la parametrización del modelo. El conjunto consta de isocontornos del campo de temperatura (isovalor -15 °C) a 500 mb de altitud.

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  Un conjunto de isocontornos del sitio web de la NOAA, mostrados como un "gráfico de espaguetis".
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  Los diagramas de caja de contorno del conjunto de datos meteorológicos proporcionan una mediana, estadísticas de orden y valores atípicos.
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  Promedios y ±1 desviación estándar de los campos de temperatura asociados con el conjunto de pronósticos meteorológicos de la NOAA.

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