ecuación G

En la combustión , la ecuación G es un escalar.${\displaystyle G(\mathbf {x} ,t)}$Ecuación de campo que describe la posición instantánea de la llama, introducida por Forman A. Williams en 1985 ^{[ 1 ] [ 2 ]} en el estudio de la combustión turbulenta premezclada. La ecuación se deriva a partir del método de conjunto de nivel . La ecuación fue estudiada por primera vez por George H. Markstein , en una forma restrictiva para la velocidad de combustión y no como un conjunto de nivel de un campo. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} La ecuación G se lee ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial G}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla G\right)={\dot {m}}|\nabla G|}$

dónde${\displaystyle \rho }$es la densidad del flujo,${\displaystyle v}$es la velocidad del flujo y${\displaystyle {\dot {m}}={\dot {m}}(\mathbf {x} ,t)}$es el flujo de masa normal que ingresa a cualquier conjunto de niveles particular${\displaystyle G(\mathbf {x} ,t)=}$constante.

La ecuación G se lee como ^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla G=S_{T}|\nabla G|}$

dónde

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$es el campo de velocidad del flujo ,
• ${\displaystyle S_{T}={\dot {m}}/\rho _{u}}$es la velocidad de combustión local con respecto al gas no quemado con densidad${\displaystyle \rho _{u}}$.

La ubicación de la llama viene dada por${\displaystyle G(\mathbf {x} ,t)=G_{o}}$que puede definirse arbitrariamente de tal manera que${\displaystyle G(\mathbf {x} ,t)>G_{o}}$es la región de gas quemado y${\displaystyle G(\mathbf {x} ,t)<G_{o}}$es la región de gas no quemado. El vector normal a la llama, apuntando hacia el gas quemado, es${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla G/|\nabla G|}$.

La ecuación G tiene la forma de la ecuación de Hamilton-Jacobi , una ecuación de mecánica analítica utilizada para modelar la dinámica de partículas como propagación de ondas. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

La ecuación G tiene una expresión exacta para un quemador de ranura simple. Consideremos un quemador de ranura planar bidimensional de ancho de ranura${\displaystyle b}$La mezcla de reactivos premezclada se alimenta a través de la ranura desde la parte inferior a una velocidad constante.${\displaystyle \mathbf {v} =(0,U)}$donde la coordenada${\displaystyle (x,y)}$se elige de tal manera que${\displaystyle x=0}$se encuentra en el centro de la ranura y${\displaystyle y=0}$se encuentra en la ubicación de la boca de la ranura. Cuando se enciende la mezcla, se desarrolla una llama premezclada desde la boca de la ranura hasta cierta altura.${\displaystyle y=L}$en forma de cuña bidimensional con un ángulo de cuña${\displaystyle \alpha }$Para simplificar, supongamos que...${\displaystyle S_{T}=S_{L}}$, lo cual es una buena aproximación excepto cerca de la esquina de la cuña donde los efectos de curvatura se vuelven importantes. En el caso estacionario, la ecuación G se reduce a

${\displaystyle U{\frac {\partial G}{\partial y}}=S_{L}{\sqrt {\left({\frac {\partial G}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial G}{\partial y}}\right)^{2}}}}$

Si una separación de la forma${\displaystyle G(x,y)=y+f(x)}$se introduce, entonces la ecuación se convierte en

${\displaystyle U=S_{L}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}}},\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\sqrt {U^{2}-S_{L}^{2}}}{S_{L}}}}$

que al integrarse da

${\displaystyle f(x)={\frac {\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}{S_{L}}}|x|+C,\quad \Rightarrow \quad G(x,y)={\frac {\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}{S_{L}}}|x|+y+C}$

Sin pérdida de generalidad, elija la ubicación de la llama en${\displaystyle G(x,y)=G_{o}=0}$Dado que la llama está unida a la boca de la ranura${\displaystyle |x|=b/2,\ y=0}$, la condición de contorno es${\displaystyle G(b/2,0)=0}$, que puede utilizarse para evaluar la constante${\displaystyle C}$. Por lo tanto, el campo escalar es

${\displaystyle G(x,y)={\frac {\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}{S_{L}}}\left(|x|-{\frac {b}{2}}\right)+y}$

En la punta de la llama, tenemos${\displaystyle x=0,\ y=L,\ G=0}$, que nos permiten determinar la altura de la llama

${\displaystyle L={\frac {b\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}{2S_{L}}}}$

y el ángulo de la llama${\displaystyle \alpha }$,

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {b/2}{L}}={\frac {S_{T}}{\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}}}$

Utilizando la identidad trigonométrica${\displaystyle \tan ^{2}\alpha =\sin ^{2}\alpha /\left(1-\sin ^{2}\alpha \right)}$, tenemos

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {S_{L}}{U}}.}$

De hecho, la fórmula anterior se utiliza a menudo para determinar la velocidad de combustión planar.${\displaystyle S_{L}}$, midiendo el ángulo de la cuña.