Polinomios de Laguerre

En matemáticas , los polinomios de Laguerre , que reciben su nombre de Edmond Laguerre (1834-1886), son soluciones no triviales de la ecuación diferencial de Laguerre: $xy''+(1-x)y'+ny=0,\ y=L(x)$ que es una ecuación diferencial lineal de segundo orden . Esta ecuación tiene soluciones no singulares solo si $n$ es un entero no negativo.

A veces se utiliza el nombre de polinomios de Laguerre para soluciones de $xy''+(\alpha +1-x)y'+ny=0~.$ donde $n$ sigue siendo un entero no negativo. Entonces también se les llama polinomios de Laguerre generalizados , como se hará aquí (alternativamente polinomios de Laguerre asociados o, raramente, polinomios de Sonine , en honor a su inventor ^{[ 1 ]} Nikolay Yakovlevich Sonin ).

En términos más generales, una función de Laguerre es una solución cuando $n$ no es necesariamente un entero no negativo.

Los polinomios de Laguerre también se utilizan para la cuadratura de Gauss-Laguerre para calcular numéricamente integrales de la forma $\int _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.$

Estos polinomios, usualmente denotados $L 0$ , $L$ $1$ , ..., son una secuencia de polinomios que puede definirse mediante la fórmula de Rodrigues ,

$L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},$ reduciendo a la forma cerrada de una sección siguiente.

Son polinomios ortogonales con respecto a un producto interno. $\langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.$

En combinatoria, los polinomios de torre son prácticamente iguales a los polinomios de Laguerre, salvo cambios elementales de variables. Véase también los polinomios de Tricomi-Carlitz .

Los polinomios de Laguerre surgen en mecánica cuántica, en la parte radial de la solución de la ecuación de Schrödinger para un átomo de un electrón. También describen las funciones de Wigner estáticas de sistemas osciladores en mecánica cuántica en el espacio de fases . Además, intervienen en la mecánica cuántica del potencial de Morse y del oscilador armónico isotrópico tridimensional .

En ocasiones, los físicos utilizan una definición de los polinomios de Laguerre que es n ! mayor que la definición empleada aquí. (Asimismo, algunos físicos pueden utilizar definiciones ligeramente diferentes de los denominados polinomios de Laguerre asociados).

Definición recursiva, forma cerrada y función generadora

También se pueden definir los polinomios de Laguerre recursivamente, definiendo los dos primeros polinomios como $L_{0}(x)=1$ $L_{1}(x)=1-x$ y luego utilizando la siguiente relación de recurrencia para cualquier $k \geq 1$ : $L_{k+1}(x)={\frac {(2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x)}{k+1}}.$ Además, $xL'_{n}(x)=nL_{n}(x)-nL_{n-1}(x).$

En la solución de algunos problemas de valores en la frontera, los valores característicos pueden resultar útiles: $L_{k}(0)=1,L_{k}'(0)=-k.$

La forma cerrada es $L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}.$

La función generadora para ellos es igualmente la siguiente: $\sum _{n=0}^{\infty }t^{n}L_{n}(x)={\frac {1}{1-t}}e^{-tx/(1-t)}.$ El formulario del operador es $L_{n}(x)={\frac {1}{n!}}e^{x}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})$

Los polinomios de índice negativo se pueden expresar utilizando los de índice positivo: $L_{-n}(x)=e^{x}L_{n-1}(-x).$

Polinomios de Laguerre generalizados

Para un α real arbitrario, las soluciones polinómicas de la ecuación diferencial ^{[ 2 ]} $x\,y''+\left(\alpha +1-x\right)y'+n\,y=0$ se denominan polinomios de Laguerre generalizados o polinomios de Laguerre asociados .

También se pueden definir los polinomios de Laguerre generalizados de forma recursiva, definiendo los dos primeros polinomios como $L_{0}^{(\alpha )}(x)=1$ $L_{1}^{(\alpha )}(x)=1+\alpha -x$

y luego utilizando la siguiente relación de recurrencia para cualquier $k \geq 1$ : $L_{k+1}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2k+1+\alpha -x)L_{k}^{(\alpha )}(x)-(k+\alpha )L_{k-1}^{(\alpha )}(x)}{k+1}}.$

Los polinomios de Laguerre simples son el caso especial $α = 0$ de los polinomios de Laguerre generalizados: $L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).$

La fórmula de Rodrigues para ellos es $L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)={\frac {x^{-\alpha }}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n+\alpha }.$

La función generadora para ellos es $\sum _{n=0}^{\infty }t^{n}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{(1-t)^{\alpha +1}}}e^{-tx/(1-t)}.$

Propiedades

Las funciones de Laguerre se definen mediante funciones hipergeométricas confluentes y la transformación de Kummer como ^{[ 3 ].} $L_{n}^{(\alpha )}(x):={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x).$ dónde ${\textstyle {n+\alpha \choose n}}$ es un coeficiente binomial generalizado . Cuando $n$ es un entero, la función se reduce a un polinomio de grado $n$ . Tiene la expresión alternativa ^{[ 4 ].} $L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}U(-n,\alpha +1,x)$ en términos de la función de segundo tipo de Kummer .
La forma cerrada para estos polinomios de Laguerre generalizados de grado $n$ es ^{[ 5 ].} $L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}{\frac {x^{i}}{i!}}$ derivado al aplicar el teorema de Leibniz para la diferenciación de un producto a la fórmula de Rodrigues.
Los polinomios de Laguerre tienen una representación mediante operadores diferenciales , muy similar a la de los polinomios de Hermite, estrechamente relacionados. Es decir, sea $D={\frac {d}{dx}}$ y considere el operador diferencial $M=xD^{2}+(\alpha +1)D$ . Entonces $\exp(-tM)x^{n}=(-1)^{n}t^{n}n!L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {x}{t}}\right)$ .
Los primeros polinomios de Laguerre generalizados son:

El coeficiente del término principal es $(-1) n / n!$ ;
El término constante , que es el valor en 0, es $L_{n}^{(\alpha )}(0)={n+\alpha \choose n}={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!\,\Gamma (\alpha +1)}};$
El discriminante es ^{[ 6 ]} $\operatorname {Disc} \left(L_{n}^{(\alpha )}\right)=\prod _{j=1}^{n}j^{j-2n+2}(j+\alpha )^{j-1}$

Como integral de contorno

Dada la función generadora especificada anteriormente, los polinomios pueden expresarse en términos de una integral de contorno. $L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)^{\alpha +1}\,t^{n+1}}}\;dt,$ donde el contorno rodea el origen una vez en sentido contrario a las agujas del reloj sin encerrar la singularidad esencial en 1

Relaciones de recurrencia

La fórmula de adición para los polinomios de Laguerre: ^{[ 7 ]} $L_{n}^{(\alpha _{1}+\dots +\alpha _{r}+r-1)}\left(x_{1}+\dots +x_{r}\right)=\sum _{m_{1}+\dots +m_{r}=n}L_{m_{1}}^{(\alpha _{1})}\left(x_{1}\right)\cdots L_{m_{r}}^{(\alpha _{r})}\left(x_{r}\right).$ Los polinomios de Laguerre satisfacen las relaciones de recurrencia. $L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{n-i}^{(\alpha +i)}(y){\frac {(y-x)^{i}}{i!}},$ En particular $L_{n}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)$ y $L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n-i-1 \choose n-i}L_{i}^{(\beta )}(x),$ o $L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n \choose n-i}L_{i}^{(\beta -i)}(x);$ además ${\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)-\sum _{j=0}^{\Delta -1}{n+\alpha \choose n-j}(-1)^{j}{\frac {x^{j}}{j!}}&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(\alpha +\Delta )}(x)\\[6pt]&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha -i-1 \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(n+\alpha +\Delta -i)}(x)\end{aligned}}$

Se pueden utilizar para derivar las cuatro reglas de 3 puntos. ${\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=L_{n}^{(\alpha +1)}(x)-L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}(-1)^{j}L_{n-j}^{(\alpha +k)}(x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha )}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-xL_{n-1}^{(\alpha +1)}(x),\\[10pt]&{\text{or }}\\{\frac {x^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{n+i \choose i}{n+\alpha \choose k-i}L_{n+i}^{(\alpha -k)}(x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n-x)L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)+(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]xL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(n-x)L_{n}^{(\alpha )}(x);\end{aligned}}$

En conjunto, proporcionan estas relaciones de recurrencia adicionales y útiles. ${\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\left(2+{\frac {\alpha -1-x}{n}}\right)L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-\left(1+{\frac {\alpha -1}{n}}\right)L_{n-2}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]&={\frac {\alpha +1-x}{n}}L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)-{\frac {x}{n}}L_{n-2}^{(\alpha +2)}(x)\end{aligned}}$

Desde $L_{n}^{(\alpha )}(x)$ es un polinomio mónico de grado $n$ en $\alpha$ , existe la descomposición en fracciones parciales ${\begin{aligned}{\frac {n!\,L_{n}^{(\alpha )}(x)}{(\alpha +1)_{n}}}&=1-\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j}{\frac {j}{\alpha +j}}{n \choose j}L_{n}^{(-j)}(x)\\&=1-\sum _{j=1}^{n}{\frac {x^{j}}{\alpha +j}}\,\,{\frac {L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!}}\\&=1-x\sum _{i=1}^{n}{\frac {L_{n-i}^{(-\alpha )}(x)L_{i-1}^{(\alpha +1)}(-x)}{\alpha +i}}.\end{aligned}}$ La segunda igualdad se deduce de la siguiente identidad, válida para enteros i y $n$ e inmediata a partir de la expresión de $L_{n}^{(\alpha )}(x)$ en términos de polinomios de Charlier : ${\frac {(-x)^{i}}{i!}}L_{n}^{(i-n)}(x)={\frac {(-x)^{n}}{n!}}L_{i}^{(n-i)}(x).$ Para la tercera igualdad, aplique la cuarta y la quinta identidad de esta sección.

Derivados

Al diferenciar la representación en serie de potencias de un polinomio de Laguerre generalizado $k$ veces, se obtiene: ${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\begin{cases}(-1)^{k}L_{n-k}^{(\alpha +k)}(x)&{\text{if }}k\leq n,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Esto apunta a un caso especial ( $α = 0$ ) de la fórmula anterior: para un entero $α = k,$ el polinomio generalizado se puede escribir $L_{n}^{(k)}(x)=(-1)^{k}{\frac {d^{k}L_{n+k}(x)}{dx^{k}}},$ El desplazamiento por $k$ a veces causa confusión con la notación habitual entre paréntesis para una derivada.

Además, se cumple la siguiente ecuación: ${\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose k}x^{\alpha -k}L_{n}^{(\alpha -k)}(x),$ que se generaliza con la fórmula de Cauchy a $L_{n}^{(\alpha ')}(x)=(\alpha '-\alpha ){\alpha '+n \choose \alpha '-\alpha }\int _{0}^{x}{\frac {t^{\alpha }(x-t)^{\alpha '-\alpha -1}}{x^{\alpha '}}}L_{n}^{(\alpha )}(t)\,dt.$

La derivada con respecto a la segunda variable $α$ tiene la forma, ^{[ 8 ]} ${\frac {d}{d\alpha }}L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{n-i}}.$ Los polinomios de Laguerre generalizados obedecen la ecuación diferencial $xL_{n}^{(\alpha )\prime \prime }(x)+(\alpha +1-x)L_{n}^{(\alpha )\prime }(x)+nL_{n}^{(\alpha )}(x)=0,$ que puede compararse con la ecuación que obedece la k -ésima derivada del polinomio de Laguerre ordinario,

$xL_{n}^{[k]\prime \prime }(x)+(k+1-x)L_{n}^{[k]\prime }(x)+(n-k)L_{n}^{[k]}(x)=0,$ dónde $L_{n}^{[k]}(x)\equiv {\frac {d^{k}L_{n}(x)}{dx^{k}}}$ Solo para esta ecuación.

En la forma de Sturm-Liouville, la ecuación diferencial es

$-\left(x^{\alpha +1}e^{-x}\cdot L_{n}^{(\alpha )}(x)^{\prime }\right)'=n\cdot x^{\alpha }e^{-x}\cdot L_{n}^{(\alpha )}(x),$

lo que demuestra que $L (α) n$ es un vector propio para el valor propio $n$ .

Ortogonalidad

Los polinomios de Laguerre generalizados son ortogonales sobre $[0, \infty)$ con respecto a la medida con función de ponderación $x α e - x$ : ^{[ 9 ]}

$\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{n,m},$

lo cual se deduce de

$\int _{0}^{\infty }x^{\alpha '-1}e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)dx={\alpha -\alpha '+n \choose n}\Gamma (\alpha ').$

Si $\Gamma (x,\alpha +1,1)$ si denota la distribución gamma , entonces la relación de ortogonalidad se puede escribir como

$\int _{0}^{\infty }L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)\Gamma (x,\alpha +1,1)dx={n+\alpha \choose n}\delta _{n,m}.$

El polinomio núcleo simétrico asociado tiene las representaciones ( fórmula de Christoffel-Darboux )

${\begin{aligned}K_{n}^{(\alpha )}(x,y)&:={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{i}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +i \choose i}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(y)-L_{n+1}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{{\frac {x-y}{n+1}}{n+\alpha \choose n}}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {L_{n-i}^{(\alpha +i)}(x)L_{n-i}^{(\alpha +i+1)}(y)}{{\alpha +n \choose n}{n \choose i}}};\end{aligned}}$

recursivamente

$K_{n}^{(\alpha )}(x,y)={\frac {y}{\alpha +1}}K_{n-1}^{(\alpha +1)}(x,y)+{\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha +1)}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +n \choose n}}.$

Además,

$y^{\alpha }e^{-y}K_{n}^{(\alpha )}(\cdot ,y)\to \delta (y-\cdot ).$

Las desigualdades de Turán se pueden derivar aquí, lo cual es $L_{n}^{(\alpha )}(x)^{2}-L_{n-1}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\alpha +n-1 \choose n-k}{n{n \choose k}}}L_{k}^{(\alpha -1)}(x)^{2}>0.$

La siguiente integral es necesaria en el tratamiento mecánico cuántico del átomo de hidrógeno ,

$\int _{0}^{\infty }x^{\alpha +1}e^{-x}\left[L_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}dx={\frac {(n+\alpha )!}{n!}}(2n+\alpha +1).$

Expansiones de la serie

Sea una función con la siguiente expansión en serie (formal): $f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }f_{i}^{(\alpha )}L_{i}^{(\alpha )}(x).$

Entonces $f_{i}^{(\alpha )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{i+\alpha \choose i}}\cdot {\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}\cdot f(x)\,dx.$

La serie converge en el espacio de Hilbert asociado $L 2 [0, \infty)$ si y solo si

$\|f\|_{L^{2}}^{2}:=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{i=0}^{\infty }{i+\alpha \choose i}|f_{i}^{(\alpha )}|^{2}<\infty .$

Otros ejemplos de expansiones

Los monomios se representan como ${\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}L_{i}^{(\alpha )}(x),$ mientras que los binomios tienen la parametrización ${n+x \choose n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {\alpha ^{i}}{i!}}L_{n-i}^{(x+i)}(\alpha ).$

Esto conduce directamente a $e^{-\gamma x}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\gamma ^{i}}{(1+\gamma )^{i+\alpha +1}}}L_{i}^{(\alpha )}(x)\qquad {\text{convergent iff }}\Re (\gamma )>-{\tfrac {1}{2}}$ para la función exponencial. La función gamma incompleta tiene la representación $\Gamma (\alpha ,x)=x^{\alpha }e^{-x}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{1+i}}\qquad \left(\Re (\alpha )>-1,x>0\right).$

Asintótica

En términos de funciones elementales

Para cualquier entero positivo fijo $M$ , número real fijo $\alpha$ intervalo fijo y acotado $[c,d]\subset (0,+\infty )$ , uniformemente para $x\in [c,d]$ , en $n\to \infty$ : $L_{n}^{(\alpha )}\left(x\right)={\frac {n^{{\frac {1}{2}}\alpha -{\frac {1}{4}}}{\mathrm {e} }^{{\frac {1}{2}}x}}{{\pi }^{\frac {1}{2}}x^{{\frac {1}{2}}\alpha +{\frac {1}{4}}}}}\left(\cos \theta _{n}^{(\alpha )}(x)\left(\sum _{m=0}^{M-1}{\frac {a_{m}(x)}{n^{{\frac {1}{2}}m}}}+O\left({\frac {1}{n^{{\frac {1}{2}}M}}}\right)\right)+\sin \theta _{n}^{(\alpha )}(x)\left(\sum _{m=1}^{M-1}{\frac {b_{m}(x)}{n^{{\frac {1}{2}}m}}}+O\left({\frac {1}{n^{{\frac {1}{2}}M}}}\right)\right)\right)$ dónde $\theta _{n}^{(\alpha )}(x):=2(nx)^{\frac {1}{2}}-\left({\tfrac {1}{2}}\alpha +{\tfrac {1}{4}}\right)\pi .$ y $a_{0},b_{1},a_{1},b_{2},\dots$ son funciones que dependen de $\alpha ,x$ pero no $n$ y regular para $x>0$ Los primeros son: ${\begin{aligned}&a_{0}(x)=1\\&a_{1}(x)=0\\&b_{1}(x)={\frac {1}{48x^{\frac {1}{2}}}}\left(4x^{2}-24(\alpha +1)x+3-12\alpha ^{2}\right)\end{aligned}}$ Esta es la fórmula de Perron . ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{: 78} También hay una generalización para $x\in \mathbb {C} \setminus [0,\infty )$ . ^{[ 12 ]} La fórmula de Fejér es un caso especial de la fórmula de Perron con $M=1$ . ^{[ 13 ]}^{[ 12 ]}^{[ 14 ]}

En términos de funciones de Bessel

La fórmula de Mehler-Heine establece:

\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {z^{2}}{4n}}\right)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z),

dónde $J_{\alpha }$ es una función de Bessel de primera especie .

Véase también: ^{[ 10 ]}

En términos de funciones de Airy

Dejar $\nu =4n+2\alpha +2$ . Dejar $\operatorname {Ai}$ Sea la función de Airy . $\alpha$ ser arbitrario y real, $\epsilon$ y $\omega$ Sé positivo y firme.

Las fórmulas asintóticas de Plancherel-Rotach : ^{[ 15 ]}^{[ 10 ]}

para $x=\nu \cos ^{2}\varphi$ y $\epsilon \leq \varphi \leq {\tfrac {\pi }{2}}-\epsilon n^{-1/2}$ , uniformemente en $n\to \infty$ :

e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{n}(\pi \sin \varphi )^{-1/2}x^{-\alpha /2-1/4}n^{\alpha /2-1/4}{\big \{}\sin \left[\left(n+{\tfrac {\alpha +1}{2}}\right)(\sin 2\varphi -2\varphi )+3\pi /4\right]+(nx)^{-1/2}{\mathcal {O}}(1){\big \}}

para $x=\nu \cosh ^{2}\varphi$ y $\epsilon \leq \varphi \leq \omega$ , uniformemente en $n\to \infty$ :

e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\tfrac {1}{2}}(-1)^{n}(\pi \sinh \varphi )^{-1/2}x^{-\alpha /2-1/4}n^{\alpha /2-1/4}\exp \left[\left(n+{\tfrac {\alpha +1}{2}}\right)(2\varphi -\sinh 2\varphi )\right]\{1+{\mathcal {O}}\left(n^{-1}\right)\}

para $x=\nu -2(2n/3)^{1/3}t$ y $t$ complejo y acotado, uniformemente en $n\to \infty$ :

e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{n}\pi ^{-1}2^{-\alpha -1/3}3^{1/3}n^{-1/3}{\bigg \{}\pi \operatorname {Ai} (-3^{-1/3}t)+{\mathcal {O}}\left(n^{-2/3}\right){\bigg \}}

Consulte DLMF para términos de orden superior. ^{[ 10 ]}

Ceros

Notación

$j_{\alpha ,m}$ es el $m$ -ésimo cero positivo de la función de Bessel $J_{\alpha }(x)$ .

$a_{m}$ es el $m$ -ésimo cero de la función de Airy $\operatorname {Ai} (x)$ , en orden descendente: $0>a_{1}>a_{2}>\cdots$ .

$\nu =4n+2\alpha +2$ .

Si $\alpha >-1$ , entonces $L_{n}^{(\alpha )}$ tiene $n$ raíces reales. Por lo tanto, en esta sección asumimos $\alpha >-1$ por defecto.

$x_{1}<\dots <x_{n}$ son las verdaderas raíces de $L_{n}^{(\alpha )}$ .

Tenga en cuenta que $\left((-1)^{n-i}L_{n-i}^{(\alpha )}\right)_{i=0}^{n}$ es una cadena de Sturm .

Desigualdades

Para $\alpha >-1$ , tenemos estos límites: ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ 6 ]}^{[ 18 ]}

$x_{1}<{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)}{n+\alpha +1}}$
$x_{1}<{\frac {(\alpha +1)(\alpha +3)}{2n+\alpha +1}}$
$x_{1}<{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +4)(2n+\alpha +1)}{(\alpha +1)^{2}(\alpha +2)+n(5\alpha +11)(n+\alpha +1)}}$
$x_{n}\leq 2n+\alpha -1+2{\sqrt {(n-2)(n+\alpha -1)}}$ cuando $n\geq 2$
$x_{n}>4n+\alpha -16{\sqrt {2n}}$
$x_{n}>3n-4$
$x_{n}>2n+\alpha -1$
$x_{n}>2n+\alpha -2+{\sqrt {n^{2}-2n+\alpha n+2}}$
${\begin{aligned}&(n+2)x_{1}&\geq \left(n-1-{\sqrt {n^{2}+(n+2)(\alpha +1)}}\right)^{2}-1\\&(n+2)x_{n}&\leq \left(n-1+{\sqrt {n^{2}+(n+2)(\alpha +1)}}\right)^{2}-1\end{aligned}}$
${\begin{aligned}x_{1}&>{\frac {1}{2}}\nu -3-{\sqrt {1+4(n-1)(n+\alpha -1)}}\\x_{n}&<{\frac {1}{2}}\nu -3+{\sqrt {1+4(n-1)(n+\alpha -1)}}\end{aligned}}$

Para fijo $k=1,\dots ,n$ , ^{[ 16 ]}^{[ 6 ]}^{[ 17 ]} ${\begin{aligned}\nu x_{k}&>j_{\alpha ,k}^{2}\\x_{k}&<{\frac {j_{\alpha ,k}^{2}}{\nu /2+{\sqrt {(\nu /2)^{2}-j_{\alpha ,k}^{2}}}}}\quad {\text{ if }}\nu /2>j_{\alpha ,k}\\x_{k}&<\left[\nu ^{1/2}+2^{-1/3}\nu ^{-1/6}a_{n-k+1}\right]^{2}\quad {\text{ if }}|\alpha |\geqslant 1/4\\x_{k}&<\nu +2^{\frac {2}{3}}a_{k}\nu ^{\frac {1}{3}}+2^{-{\frac {2}{3}}}a_{k}^{2}\nu ^{-{\frac {1}{3}}}\end{aligned}}$ Para fijo $k$ , tenemos $\lim _{n\to \infty }\nu x_{k}=j_{\alpha ,k}^{2}$ , por lo tanto, la primera desigualdad es precisa.

Véase también. ^{[ 19 ]}

Electrostática

Los ceros satisfacen las relaciones de Stieltjes : ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]} ${\begin{aligned}\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{x_{i}-x_{j}}}&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {\alpha +1}{x_{i}}}\right)\\\sum _{1\leq j\leq n}{\frac {1}{x_{j}}}&={\frac {n}{\alpha +1}}\\\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{i}-x_{j})^{2}}}&=-{\frac {(\alpha +1)(\alpha +5)}{12x_{i}^{2}}}+{\frac {2n+\alpha +1}{6x_{i}}}-{\frac {1}{12}}\\\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{i}-x_{j})^{3}}}&=-{\frac {(\alpha +1)(\alpha +3)}{8x_{i}^{3}}}+{\frac {2n+\alpha +1}{8x_{i}^{2}}}\\\end{aligned}}$ La primera relación puede interpretarse físicamente. Fijemos una partícula eléctrica en el origen con carga $+{\frac {\alpha +1}{2}}$ y producir un campo eléctrico constante de intensidad $-{\frac {1}{2}}$ Luego, coloque $n$ partículas eléctricas con carga $+1$ . La primera relación establece que los ceros de $L_{n}^{(\alpha )}$ son las posiciones de equilibrio de las partículas.

Dado que los ceros especifican el polinomio salvo por un factor de escala, esto proporciona una forma alternativa de caracterizar de manera única los polinomios de Laguerre.

Los ceros también satisfacen ^{[ 22 ]} $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x-x_{i}}}=-\sum _{k=0}^{\infty }S_{k+1}x^{k},\quad S_{k}:=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{-k}$ lo que permite el siguiente límite $S_{m}^{-1/m}<x_{1}<S_{m}/S_{m+1},\quad m=1,2,\ldots$

Distribución límite

Dejar $F_{n}(t):={\frac {1}{n}}\#\{i:x_{i}\leq t\}$ Sea la función de distribución acumulativa para las raíces, entonces tenemos la ley límite ^{[ 23 ].} $\lim _{n\to \infty }F_{n}(4nt)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{t}{\sqrt {\frac {1-s}{s}}}ds\quad \forall t\in (0,1]$ lo cual puede interpretarse como la distribución límite del espectro del conjunto de Wishart .

Para fijo $\alpha >-1$ y fijo $k$ , como $n\to \infty$ , ^{[ 17 ]} ${\begin{aligned}x_{n+1-k}=&\nu +2^{2/3}a_{k}\nu ^{1/3}+{\frac {1}{5}}2^{4/3}a_{k}^{2}\nu ^{-1/3}+\left({\frac {11}{35}}-\alpha ^{2}-{\frac {12}{175}}a_{k}^{3}\right)\nu ^{-1}\\&+\left({\frac {16}{1575}}a_{k}+{\frac {92}{7875}}a_{k}^{4}\right)2^{2/3}\nu ^{-5/3}-\left({\frac {15152}{3031875}}a_{k}^{5}+{\frac {1088}{121275}}a_{k}^{2}\right)2^{1/3}\nu ^{-7/3}+{\mathcal {O}}\left(\nu ^{-3}\right),\end{aligned}}$

Para $\alpha \in (-1,0)$ , ^{[ 22 ]} ${\begin{aligned}x_{1}={\frac {\alpha +1}{n}}&+{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {\alpha +1}{n}}\right)^{2}-{\frac {n^{2}+3n-4}{12}}\left({\frac {\alpha +1}{n}}\right)^{3}\\&+{\frac {7n^{3}+6n^{2}+23n-36}{144}}\left({\frac {\alpha +1}{n}}\right)^{4}\\&-{\frac {293n^{4}+210n^{3}+235n^{2}+990n-1728}{8640}}\left({\frac {\alpha +1}{n}}\right)^{5}+\cdots \end{aligned}}$

En mecánica cuántica

En mecánica cuántica, la ecuación de Schrödinger para el átomo hidrogenado se puede resolver exactamente mediante la separación de variables en coordenadas esféricas. La parte radial de la función de onda es un polinomio de Laguerre (generalizado). ^{[ 24 ]}

Las transiciones vibrónicas en la aproximación de Franck-Condon también pueden describirse utilizando polinomios de Laguerre. ^{[ 25 ]}

Teoremas de multiplicación

Erdélyi da los siguientes dos teoremas de multiplicación ^{[ 26 ]}

${\begin{aligned}&t^{n+1+\alpha }e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=n}^{\infty }{k \choose n}\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{k-n}L_{k}^{(\alpha )}(z),\\[6pt]&e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(1-t)^{k}z^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha +k)}(z).\end{aligned}}$

Relación con los polinomios de Hermite

Los polinomios de Laguerre generalizados están relacionados con los polinomios de Hermite : ${\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}2^{2n}n!L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})\\[4pt]H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}2^{2n+1}n!xL_{n}^{(1/2)}(x^{2})\end{aligned}}$ donde los $H n (x)$ son los polinomios de Hermite basados en la función de ponderación $exp(- x 2)$ , la llamada "versión del físico".

Debido a esto, los polinomios de Laguerre generalizados surgen en el tratamiento del oscilador armónico cuántico .

Aplicando la fórmula de suma, $(-1)^{n}2^{2n}n!\,L_{n}^{\left({\frac {r}{2}}-1\right)}{\Bigl (}z_{1}^{2}+\cdots +z_{r}^{2}{\Bigr )}=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{r}=n}\prod _{i=1}^{r}H_{2m_{i}}(z_{i}).$

Relación con las funciones hipergeométricas

Los polinomios de Laguerre pueden definirse en términos de funciones hipergeométricas , específicamente las funciones hipergeométricas confluentes , como $L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,x)$ dónde $(a)_{n}$ es el símbolo de Pochhammer (que en este caso representa el factorial ascendente).

Fórmula de Hardy-Hille

Los polinomios de Laguerre generalizados satisfacen la fórmula de Hardy - Hille ^{[ 27 ]}^{[ 28 ].} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!\,\Gamma \left(\alpha +1\right)}{\Gamma \left(n+\alpha +1\right)}}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)t^{n}={\frac {1}{(1-t)^{\alpha +1}}}e^{-(x+y)t/(1-t)}\,_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\frac {xyt}{(1-t)^{2}}}\right),$ donde converge la serie de la izquierda para $\alpha >-1$ y $|t|<1$ . Utilizando la identidad $\,_{0}F_{1}(;\alpha +1;z)=\,\Gamma (\alpha +1)z^{-\alpha /2}I_{\alpha }\left(2{\sqrt {z}}\right),$ (véase función hipergeométrica generalizada ), esto también se puede escribir como $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{\Gamma (1+\alpha +n)}}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)t^{n}={\frac {1}{(xyt)^{\alpha /2}(1-t)}}e^{-(x+y)t/(1-t)}I_{\alpha }\left({\frac {2{\sqrt {xyt}}}{1-t}}\right).$ dónde $I_{\alpha }$ denota la función de Bessel modificada de primer tipo, definida como $I_{\alpha }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!\,\Gamma (k+\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2k+\alpha }$ Esta fórmula es una generalización del núcleo de Mehler para polinomios de Hermite , que se puede recuperar a partir de él considerando los polinomios de Hermite como un caso especial de los polinomios de Laguerre asociados.

Sustituto $t\mapsto -t/y$ y tomar el $y\to \infty$ límite, obtenemos ^{[ 29 ]} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{\Gamma (n+1+\alpha )}}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {e^{t}}{(-xt)^{\alpha /2}}}I_{\alpha }(2{\sqrt {-xt}}).$ La fórmula lleva el nombre de GH Hardy y Einar Hille . ^{[ 30 ]}^{[ 31 ]}

Convención de física

Los polinomios de Laguerre generalizados se utilizan para describir la función de onda cuántica para los orbitales del átomo de hidrógeno . ^{[ 32 ]}^{[ 33 ]}^{[ 34 ]} La convención utilizada a lo largo de este artículo expresa los polinomios de Laguerre generalizados como ^{[ 35 ]}

$L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{\Gamma (\alpha +1)n!}}\,_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x),$

dónde $\,_{1}F_{1}(a;b;x)$ es la función hipergeométrica confluente . En la literatura física, ^{[ 34 ]} los polinomios de Laguerre generalizados se definen en cambio como

${\bar {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\left[\Gamma (\alpha +n+1)\right]^{2}}{\Gamma (\alpha +1)n!}}\,_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x).$

La versión física está relacionada con la versión estándar mediante

${\bar {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)=(n+\alpha )!L_{n}^{(\alpha )}(x).$

Existe otra convención, aunque menos utilizada, en la literatura de física ^{[ 36 ]}^{[ 37 ]}^{[ 38 ].}

${\tilde {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{\alpha }{\bar {L}}_{n-\alpha }^{(\alpha )}.$

Convención del cálculo umbral

Los polinomios de Laguerre generalizados están vinculados al cálculo umbral al ser secuencias de Sheffer para $D/(D-I)$ cuando se multiplica por $n!$ . En la convención del cálculo umbral, ^{[ 39 ]} los polinomios de Laguerre por defecto se definen como ${\mathcal {L}}_{n}(x)=n!L_{n}^{(-1)}(x)=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-x)^{k}$ dónde ${\textstyle L(n,k)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}}$ son los números Lah sin signo . ${\textstyle ({\mathcal {L}}_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }}$ es una secuencia de polinomios de tipo binomial , es decir, satisfacen ${\mathcal {L}}_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathcal {L}}_{k}(x){\mathcal {L}}_{n-k}(y)$

Véase también

Polinomios ortogonales
Fórmula de Rodrigues
Polinomios de Angelescu
polinomios de Bessel
Polinomios de Denisyuk
Modo transversal , una aplicación importante de los polinomios de Laguerre para describir la intensidad del campo dentro de una guía de ondas o el perfil de un haz láser.

Notas

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