Polinomios de Angelescu

Los polinomios de Angelescu satisfacen el siguiente teorema de adición:

$${\displaystyle (-1)^{n}\sum _{r=0}^{m}{\frac {L_{m+nr}^{(n)}(x)\pi _{r}(y)}{(n+mr)!r!}}=\sum _{r=0}^{m}(-1)^{r}{\binom {-n-1}{r}}{\frac {\pi _{nr}(x+y)}{(mr)!}},}$$dónde${\displaystyle L_{m+nr}^{(n)}}$es un polinomio de Laguerre generalizado .

Un caso especial particularmente notable de esto es cuando${\displaystyle n=0}$, en cuyo caso la fórmula se simplifica a$${\displaystyle {\frac {\pi _{m}(x+y)}{m!}}=\sum _{r=0}^{m}{\frac {L_{mr}(x)\pi _{r}(y)}{(mr)!r!}}-\sum _{r=0}^{m-1}{\frac {L_{mr-1}(x)\pi _{r}(y)}{(mr-1)!r!}}.}$$^{[ 4 ]}

Los polinomios también satisfacen la relación de recurrencia.

$${\displaystyle \pi _{s}(x)=\sum _{r=0}^{n}(-1)^{n+r}{\binom {n}{r}}{\frac {s!}{(n+sr)!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[\pi _{n+sr}(x)],}$$

lo cual se simplifica cuando${\displaystyle n=0}$a${\displaystyle \pi '_{s+1}(x)=(s+1)[\pi '_{s}(x)-\pi _{s}(x)]}$. ^{[ 4 ]} Esto se puede generalizar a lo siguiente:

$${\displaystyle -\sum _{r=0}^{s}{\frac {1}{(m+nr-1)!}}L_{m+nr-1}^{(m+n-1)}(x){\frac {\pi _{rs}(y)}{(sr)!}}={\frac {1}{(m+n+s)!}}{\frac {d^{m+n}}{dx^{m}dy^{n}}}\pi _{m+n+s}(x+y),}$$

un caso especial de lo cual es la fórmula${\displaystyle {\frac {d^{m+n}}{dx^{m}dy^{n}}}\pi _{m+n}(x+y)=(-1)^{m+n}(m+n)!a_{0}}$. ^{[ 4 ]}

Los polinomios de Angelescu satisfacen las siguientes fórmulas integrales:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x/2}}{x}}[\pi _{n}(x)-\pi _{n}(0)]dx&=\sum _{r=0}^{n-1}(-1)^{n-r+1}{\frac {n!}{r!}}\pi _{r}(0)\int _{0}^{\infty }[{\frac {1}{1/2+p}}-1]^{nr-1}d[{\frac {1}{1/2+p}}]\\&=\sum _{r=0}^{n-1}(-1)^{n-r+1}{\frac {n!}{r!}}{\frac {\pi _{r}(0)}{nr}}[1+(-1)^{nr-1}]\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}[\pi _{n}(x)-\pi _{n}(0)]L_{m}^{(1)}(x)dx={\begin{cases}0{\text{ si }}m\geq n\\{\frac {n!}{(nm-1)!}}\pi _{nm-1}(0){\text{ si }}0\leq m\leq n-1\end{cases}}}$$^{[ 4 ]}

(Aquí,${\displaystyle L_{m}^{(1)}(x)}$es un polinomio de Laguerre.)