Paquetes verticales y horizontales

En matemáticas , el fibrado vertical y el fibrado horizontal son fibrados vectoriales asociados a un fibrado liso . Más precisamente, dado un fibrado liso${\displaystyle \pi \colon E\to B}$, el haz vertical${\displaystyle VE}$y haz horizontal${\displaystyle HE}$son subfibrados del fibrado tangente${\displaystyle TE}$de${\displaystyle E}$cuya suma Whitney satisface${\displaystyle VE\oplus HE\cong TE}$. Esto significa que, sobre cada punto${\displaystyle e\in E}$, las fibras${\displaystyle V_{e}E}$y${\displaystyle H_{e}E}$forman subespacios complementarios del espacio tangente${\displaystyle T_{e}E}$El fibrado vertical consta de todos los vectores que son tangentes a las fibras, mientras que el fibrado horizontal requiere la elección de algún subfibrado complementario.

Para que esto sea preciso, defina el espacio vertical.${\displaystyle V_{e}E}$en${\displaystyle e\in E}$ser${\displaystyle \ker(d\pi _ {e})}$. Es decir, el diferencial${\displaystyle d\pi _{e}\colon T_{e}E\to T_{b}B}$(dónde${\displaystyle b=\pi (e)}$) es una sobreyección lineal cuyo núcleo tiene la misma dimensión que las fibras de${\displaystyle \pi }$. Si escribimos${\displaystyle F=\pi ^{-1}(b)}$, entonces${\displaystyle V_{e}E}$consta exactamente de los vectores en${\displaystyle T_{e}E}$que también son tangentes a${\displaystyle F}$El nombre está motivado por ejemplos de baja dimensión como el fibrado de líneas trivial sobre un círculo, que a veces se representa como un cilindro vertical que se proyecta sobre un círculo horizontal. Un subespacio${\displaystyle H_{e}E}$de${\displaystyle T_{e}E}$se denomina espacio horizontal si${\displaystyle T_{e}E}$es la suma directa de${\displaystyle V_{e}E}$y${\displaystyle H_{e}E}$.

La unión disjunta de los espacios verticales V _e E para cada e en E es el subfibrado V E de T E; este es el fibrado vertical de E. Asimismo, siempre que los espacios horizontales${\displaystyle H_{e}E}$varían suavemente con e , su unión disjunta es un fibrado horizontal. El uso de las palabras "el" y "un" aquí es intencional: cada subespacio vertical es único, definido explícitamente por${\displaystyle \ker(d\pi _ {e})}$Exceptuando los casos triviales, en cada punto existen infinitos subespacios horizontales. Cabe destacar también que las elecciones arbitrarias de espacio horizontal en cada punto no formarán, en general, un fibrado vectorial suave; además, deben variar de forma suficientemente suave.

El fibrado horizontal es una forma de formular la noción de una conexión de Ehresmann en un fibrado . Así, por ejemplo, si E es un fibrado principal G , entonces el fibrado horizontal generalmente debe ser G -invariante: tal elección es equivalente a una conexión en el fibrado principal . ^{[ 1 ]} Esto ocurre notablemente cuando E es el fibrado de marcos asociado a algún fibrado vectorial, que es un fibrado principal${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$manojo.

Sea π : E → B un fibrado liso sobre una variedad lisa B. El fibrado vertical es el núcleo V E  :=  ker(d π ) de la aplicación tangente d π  :  T E  →  T B . ^{[ 2 ]}

Dado que dπ _e es sobreyectiva en cada punto e , produce un subfibrado regular de T E . Además, el fibrado vertical V E también es integrable .

Una conexión de Ehresmann en E es una elección de un subfibrado complementario H E a V E en T E , llamado fibrado horizontal de la conexión. En cada punto e en E , los dos subespacios forman una suma directa , de modo que T _e E = V _e E ⊕ H _e E .

La cinta de Möbius es un haz de líneas sobre un círculo, y el círculo puede representarse como el anillo central de la cinta. En cada punto${\displaystyle e}$En la tira, el mapa de proyección la proyecta hacia el anillo central, y la fibra es perpendicular al anillo central. El haz vertical en este punto${\displaystyle V_{e}E}$es el espacio tangente a la fibra.

Un ejemplo sencillo de fibrado liso es un producto cartesiano de dos variedades . Consideremos el fibrado B ₁  :=  ( M × N , pr ₁ ) con proyección de fibrado pr ₁ : M × N → M : ( x , y ) → x . Aplicando la definición del párrafo anterior para hallar el fibrado vertical, consideramos primero un punto (m,n) en M × N . Entonces la imagen de este punto bajo pr ₁ es m. La preimagen de m bajo este mismo pr ₁ es {m} × N , de modo que T _(m,n) ({m} × N ) = {m} × T N . El fibrado vertical es entonces V B ₁ = M × T N , que es un subfibrado de T( M × N ). Si tomamos la otra proyección pr ₂ : M × N → N : ( x , y ) → y para definir el fibrado B ₂ := ( M × N , pr ₂ ) entonces el fibrado vertical será V B ₂ = T M × N .                      

En ambos casos, la estructura del producto da lugar a una elección natural del haz horizontal y, por lo tanto, a una conexión de Ehresmann: el haz horizontal de B ₁ es el haz vertical de B ₂ y viceversa.

Diversos tensores y formas diferenciales importantes de la geometría diferencial adquieren propiedades específicas en los fibrados verticales y horizontales, o incluso pueden definirse en términos de ellos. Algunos ejemplos son:

• Un campo vectorial vertical es un campo vectorial que pertenece al fibrado vertical. Es decir, para cada punto e de E , se elige un vector.${\ Displaystyle v_ {e} \ en V_ {e} E}$dónde${\displaystyle V_{e}E\subset T_{e}E=T_{e}(E_{\pi (e)})}$es el espacio vectorial vertical en e . ^{[ 2 ]}
• Una forma r diferenciable${\displaystyle \alpha }$Se dice que en E es una forma horizontal si${\displaystyle \alpha (v_{1},...,v_{r})=0}$siempre que al menos uno de los vectores${\displaystyle v_{1},...,v_{r}}$es vertical.
• La forma de conexión se anula en el fibrado horizontal y solo es distinta de cero en el fibrado vertical. De este modo, la forma de conexión puede utilizarse para definir el fibrado horizontal: el fibrado horizontal es el núcleo de la forma de conexión.
• La forma de soldadura o forma tautológica única se anula en el haz vertical y solo es distinta de cero en el haz horizontal. Por definición, la forma de soldadura toma sus valores completamente en el haz horizontal.
• Para el caso de un fibrado de marco , la forma de torsión se anula en el fibrado vertical y puede usarse para definir exactamente la parte que se necesita agregar a una conexión arbitraria para convertirla en una conexión de Levi-Civita , es decir, para hacer que una conexión sea sin torsión. De hecho, si se escribe θ para la forma de soldadura, entonces el tensor de torsión Θ viene dado por Θ = D θ (con D la derivada covariante exterior ). Para cualquier conexión ω dada, hay una única 1-forma σ en T E , llamada tensor de contorsión , que se anula en el fibrado vertical y es tal que ω+σ es otra 1-forma de conexión que es libre de torsión. La 1-forma resultante ω+σ no es otra cosa que la conexión de Levi-Civita. Se puede tomar esto como una definición: ya que la torsión viene dada por${\displaystyle \Theta =D\theta =d\theta +\omega \wedge \theta }$, la desaparición de la torsión es equivalente a tener${\displaystyle d\theta =-(\omega +\sigma )\wedge \theta }$y no es difícil demostrar que σ debe anularse en el fibrado vertical, y que σ debe ser G -invariante en cada fibra (más precisamente, que σ se transforma en la representación adjunta de G ). Nótese que esto define la conexión de Levi-Civita sin hacer ninguna referencia explícita a ningún tensor métrico (aunque el tensor métrico puede entenderse como un caso especial de una forma de soldadura, ya que establece una correspondencia entre los fibrados tangente y cotangente del espacio base, es decir, entre los subespacios horizontal y vertical del fibrado de marco).
• En el caso de que E sea un fibrado principal, entonces el campo vectorial fundamental debe necesariamente existir en el fibrado vertical y desaparecer en cualquier fibrado horizontal.

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