tensor de contorsión

El tensor de contorsión (o tensor de contorsión ) en geometría diferencial es la diferencia entre una conexión con y sin torsión . Suele aparecer en el estudio de las conexiones de espín . Así, por ejemplo, un vielbein junto con una conexión de espín, cuando se somete a la condición de torsión nula, proporciona una descripción de la gravedad de Einstein. Para la supersimetría , la misma restricción, de torsión nula, da (las ecuaciones de campo de) la supergravedad de once dimensiones . ^{[ 1 ]} Es decir, el tensor de contorsión, junto con la conexión, se convierte en uno de los objetos dinámicos de la teoría, relegando la métrica a un papel secundario y derivado.

La eliminación de la torsión en una conexión se denomina absorción de torsión y es uno de los pasos del método de equivalencia de Cartan para establecer la equivalencia de estructuras geométricas.

En geometría métrica , el tensor de contorsión expresa la diferencia entre una conexión afín compatible con la métrica mediante el símbolo de Christoffel y la única conexión de Levi-Civita sin torsión para la misma métrica. ${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}}$

El tensor de contorsión se define en términos del tensor de torsión , por lo que la definición de este último tensor es importante: ${\displaystyle K_{kji}}$

${\displaystyle {T^{l}}_{ij}={\Gamma ^{l}}_{ij}-{\Gamma ^{l}}_{ji}}$

Nótese que el tensor de torsión es antisimétrico en sus dos últimos índices. Ahora se puede definir el tensor de contorsión, y obviamente es antisimétrico en sus dos primeros índices:

${\displaystyle K_{ijk}={\tfrac {1}{2}}(T_{ijk}-T_{jik}-T_{kij})}$

donde los índices se elevan y se reducen con respecto a la métrica:

${\displaystyle T_{ijk}\equiv g_{il}{T^{l}}_{jk}}$.

La razón de la suma no obvia en la definición del tensor de contorsión se debe a la diferencia suma-suma que impone la compatibilidad métrica. La conexión afín totalmente compatible con la métrica se puede escribir como:

${\displaystyle {\Gamma ^{l}}_{ij}={\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ij}+{K^{l}}_{ij},}$

¿Dónde está la conexión Levi-Civita sin torsión? ${\displaystyle {\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ji}}$

${\displaystyle {\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ji}={\tfrac {1}{2}}g^{lk}(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij})}$

Debido a que el tensor de contorsión es antisimétrico en sus dos primeros índices (no necesariamente en sus dos últimos índices), el tensor de contorsión normalmente agregará (a la conexión de Levi-Civita) no solo un término que es antisimétrico en "i" y "j", sino que también agregará un término que es simétrico en "i" y "j".

En geometría afín , no se dispone de métrica ni de conexión métrica, por lo que no es posible elevar ni descender índices a voluntad. Sin embargo, se puede lograr un efecto similar utilizando la forma de soldadura , lo que permite relacionar el fibrado con lo que ocurre en su espacio base. Este es un punto de vista explícitamente geométrico, donde los tensores son ahora objetos geométricos en los fibrados vertical y horizontal de un fibrado , en lugar de ser objetos algebraicos indexados definidos únicamente en el espacio base. En este caso, se puede construir un tensor de contorsión, que reside como una 1-forma en el fibrado tangente .

Recordemos que la torsión de una conexión se puede expresar como ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \Theta _{\omega }=D\theta =d\theta +\omega \wedge \theta }$

donde está la forma de soldadura ( una forma tautológica ). El subíndice sirve únicamente como recordatorio de que este tensor de torsión se obtuvo de la conexión. ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \omega }$

Por analogía con la disminución del índice en el tensor de torsión en la sección anterior, se puede realizar una operación similar con la forma de soldadura y construir un tensor.

${\displaystyle \Sigma _{\omega }(X,Y,Z)=\langle \theta (Z),\Theta _{\omega }(X,Y)\rangle +\langle \theta (Y),\Theta _{\omega }(Z,X)\rangle -\langle \theta (X),\Theta _{\omega }(Y,Z)\rangle }$

Aquí está el producto escalar. Este tensor se puede expresar como ^{[ 2 ]}${\displaystyle \langle ,\rangle }$

${\displaystyle \Sigma _{\omega }(X,Y,Z)=2\langle \theta (Z),\sigma _{\omega }(X)\theta (Y)\rangle }$

La cantidad es la forma de contorsión y es exactamente lo que se necesita añadir a una conexión arbitraria para obtener la conexión de Levi-Civita sin torsión. Es decir, dada una conexión de Ehresmann , existe otra conexión que no presenta torsión. ${\displaystyle \sigma _{\omega }}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega +\sigma _{\omega }}$

La desaparición de la torsión es entonces equivalente a tener

${\displaystyle \Theta _{\omega +\sigma _{\omega }}=0}$

o

${\displaystyle d\theta =-(\omega +\sigma _{\omega })\wedge \theta }$

Esto puede considerarse como una ecuación de campo que relaciona la dinámica de la conexión con la del tensor de contorsión.

Una forma de obtener rápidamente una conexión afín compatible con la métrica es repetir la idea de la diferencia suma-suma utilizada en la derivación de la conexión Levi-Civita, pero sin considerar la torsión como cero. A continuación se muestra una derivación.

Convención para la derivación (Elegimos definir los coeficientes de conexión de esta manera. La motivación es la de las formas de conexión uno en la teoría de gauge ):

${\displaystyle \nabla _{i}v^{j}=\partial _{i}v^{j}+{\Gamma ^{j}}_{ki}v^{k},}$

${\displaystyle \nabla _{i}\omega _{j}=\partial _{i}\omega _{j}-{\Gamma ^{k}}_{ji}\omega _{k},}$

Comenzamos con la condición de compatibilidad métrica:

${\displaystyle \nabla _{i}g_{jk}=\partial _{i}g_{jk}-{\Gamma ^{l}}_{ji}g_{lk}-{\Gamma ^{l}}_{ki}g_{jl}=0,}$

Ahora usamos la diferencia suma-suma (recorremos los índices en ciclo según la condición):

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}-{\Gamma ^{l}}_{ji}g_{lk}-{\Gamma ^{l}}_{ki}g_{jl}+\partial _{j}g_{ki}-{\Gamma ^{l}}_{kj}g_{li}-{\Gamma ^{l}}_{ij}g_{kl}-\partial _{k}g_{ij}+{\Gamma ^{l}}_{ik}g_{lj}+{\Gamma ^{l}}_{jk}g_{il}=0}$

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}-\Gamma _{kji}-\Gamma _{jki}-\Gamma _{ikj}-\Gamma _{kij}+\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}=0}$

Ahora utilizamos la siguiente definición de tensor de torsión (para un marco holonómico) para reescribir la conexión:

${\displaystyle {T^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ij}-{\Gamma ^{k}}_{ji}}$

${\displaystyle \Gamma _{kij}=T_{kij}+\Gamma _{kji}}$

Cabe señalar que esta definición de torsión tiene el signo opuesto a la definición habitual cuando se utiliza la convención anterior para el ordenamiento de índices inferiores de los coeficientes de conexión; es decir, tiene el signo opuesto a la definición independiente de coordenadas que se presenta en la sección sobre geometría. Corregir esta inconsistencia (que parece ser común en la literatura) daría como resultado un tensor de torsión con el signo opuesto. ${\displaystyle \nabla _{i}v^{j}=\partial _{i}v^{j}+{\Gamma ^{j}}_{ki}v^{k}}$${\displaystyle \Theta _{\omega }=D\theta }$

Sustituimos la definición del tensor de torsión en lo que tenemos:

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}-(T_{kji}+\Gamma _{kij})-\Gamma _{jki}-(T_{ikj}+\Gamma _{ijk})-\Gamma _{kij}+(T_{jik}+\Gamma _{jki})+\Gamma {ijk}=0}$

Límpialo y combina términos similares.

${\displaystyle 2\Gamma _{kij}=\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}-T_{kji}-T_{ikj}+T_{jik}}$

Los términos de torsión se combinan para formar un objeto que se transforma tensorialmente. Dado que estos términos se combinan de forma métricamente compatible, se les denomina tensor de contorsión, que determina la parte antisimétrica de una conexión afín métricamente compatible.

Lo definiremos aquí con la motivación de que coincida con los índices del lado izquierdo de la ecuación anterior.

${\displaystyle K_{kij}={\tfrac {1}{2}}(-T_{kji}-T_{ikj}+T_{jik})}$

La limpieza mediante el uso de la antisimetría del tensor de torsión produce lo que definiremos como el tensor de contorsión:

${\displaystyle K_{kij}={\tfrac {1}{2}}(T_{kij}+T_{ijk}-T_{jki})}$

Sustituyendo esto de nuevo en nuestra expresión, tenemos:

${\displaystyle 2\Gamma _{kij}=\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}+2K_{kij}}$

Ahora aísle los coeficientes de conexión y agrupe los términos de torsión:

${\displaystyle {\Gamma ^{l}}_{ij}={\tfrac {1}{2}}g^{lk}(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij})+{\tfrac {1}{2}}g^{lk}(2K_{kij})}$

Recordemos que el primer término con las derivadas parciales es la expresión de conexión de Levi-Civita, utilizada frecuentemente por los relativistas.

Siguiendo este ejemplo, definamos la siguiente conexión Levi-Civita sin torsión:

${\displaystyle {\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ij}={\tfrac {1}{2}}g^{lk}(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij})}$

Entonces tenemos que la conexión afín totalmente compatible con la métrica ahora se puede escribir como:

${\displaystyle {\Gamma ^{l}}_{ij}={\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ij}+{K^{l}}_{ij},}$

En la teoría del teleparalelismo , se encuentra una conexión, la conexión de Weitzenböck , que es plana (curvatura de Riemann nula) pero tiene una torsión no nula. La planitud es precisamente lo que permite construir campos de marcos paralelos. Estas nociones pueden extenderse a supervariedades . ^{[ 3 ]}

• Tensor de energía-tensión de Belinfante-Rosenfeld