Empuje hacia adelante (diferencial)

En geometría diferencial , la proyección directa es una aproximación lineal de aplicaciones suaves (variedad formulante) en espacios tangentes. Supongamos que es una aplicación suave entre variedades suaves ; entonces el diferencial de en un punto , denotado por , es, en cierto sentido, la mejor aproximación lineal de cerca de . Puede verse como una generalización de la derivada total del cálculo ordinario. Explícitamente, el diferencial es una aplicación lineal del espacio tangente de en al espacio tangente de en , . Por lo tanto, puede usarse para proyectar vectores tangentes en hacia adelante a vectores tangentes en . El diferencial de una aplicación también es llamado, por varios autores, la derivada o derivada total de .${\displaystyle \varphi \colon M\to N}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _ {x}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}\colon T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

Sea una aplicación suave de un subconjunto abierto de a un subconjunto abierto de . Para cualquier punto en , el jacobiano de en (con respecto a las coordenadas estándar) es la representación matricial de la derivada total de en , que es una aplicación lineal.${\displaystyle \varphi :U\to V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x}$

${\displaystyle d\varphi _{x}:T_{x}\mathbb {R} ^{m}\to T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}}$

entre sus espacios tangentes. Nótese que los espacios tangentes son isomorfos a y , respectivamente. El avance generaliza esta construcción al caso en que es una función suave entre cualesquiera variedades suaves y .${\displaystyle T_{x}\mathbb {R} ^{m},T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

Sea una aplicación suave de variedades suaves. Dado que el diferencial de en es una aplicación lineal${\displaystyle \varphi \colon M\to N}$${\displaystyle x\in M,}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x}$

${\displaystyle d\varphi _{x}\colon \ T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N\,}$

del espacio tangente de en al espacio tangente de en La imagen de un vector tangente bajo se denomina a veces empuje hacia adelante de por La definición exacta de este empuje hacia adelante depende de la definición que se utilice para los vectores tangentes (para las distintas definiciones, véase espacio tangente ).${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \varphi (x).}$${\displaystyle d\varphi _{x}X}$${\displaystyle X\in T_{x}M}$${\displaystyle d\varphi _{x}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varphi .}$

Si los vectores tangentes se definen como clases de equivalencia de las curvas para las cuales entonces el diferencial viene dado por${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma (0)=x,}$

${\displaystyle d\varphi _{x}(\gamma '(0))=(\varphi \circ \gamma )'(0).}$

Aquí, es una curva en con y es el vector tangente a la curva en En otras palabras, el empuje hacia adelante del vector tangente a la curva en es el vector tangente a la curva en${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \gamma (0)=x,}$${\displaystyle \gamma '(0)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle 0.}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \varphi \circ \gamma }$${\displaystyle 0.}$

Alternativamente, si los vectores tangentes se definen como derivadas que actúan sobre funciones reales suaves, entonces el diferencial viene dado por

${\displaystyle d\varphi _{x}(X)(f)=X(f\circ \varphi ),}$

para una función arbitraria y una derivación arbitraria en el punto (una derivación se define como una aplicación lineal que satisface la regla de Leibniz , véase: definición de espacio tangente mediante derivaciones ). Por definición, el avance de está en y, por lo tanto, es en sí mismo una derivación, .${\displaystyle f\in C^{\infty }(N)}$${\displaystyle X\in T_{x}M}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle X\colon C^{\infty }(M)\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle T_{\varphi (x)}N}$${\displaystyle d\varphi _{x}(X)\colon C^{\infty }(N)\to \mathbb {R} }$

Después de elegir dos gráficos alrededor y alrededor se determina localmente por un mapa suave entre conjuntos abiertos de y , y${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi (x),}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\widehat {\varphi }}\colon U\to V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle d\varphi _{x}\left({\frac {\partial }{\partial u^{a}}}\right)={\frac {\partial {\widehat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}{\frac {\partial }{\partial v^{b}}},}$

en la notación de suma de Einstein , donde las derivadas parciales se evalúan en el punto correspondiente a en la gráfica dada.${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$

Al extender por linealidad se obtiene la siguiente matriz

${\displaystyle \left(d\varphi _{x}\right)_{a}^{\;b}={\frac {\partial {\widehat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}.}$

Así, el diferencial es una transformación lineal, entre espacios tangentes, asociada a la aplicación suave en cada punto. Por lo tanto, en algunas coordenadas locales elegidas, se representa mediante la matriz jacobiana de la aplicación suave correspondiente de a . En general, el diferencial no tiene por qué ser invertible. Sin embargo, si es un difeomorfismo local , entonces es invertible, y la inversa da el retroceso de${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle d\varphi _{x}}$${\displaystyle T_{\varphi (x)}N.}$

El diferencial se expresa frecuentemente utilizando una variedad de otras notaciones, como

${\displaystyle D\varphi _{x},\left(\varphi _{*}\right)_{x},\varphi '(x),T_{x}\varphi .}$

De la definición se deduce que el diferencial de un compuesto es el compuesto de sus diferenciales (es decir, comportamiento funtorial ). Esta es la regla de la cadena para aplicaciones suaves.

Además, el diferencial de un difeomorfismo local es un isomorfismo lineal de espacios tangentes.

El diferencial de una aplicación suave induce, de manera obvia, una aplicación de fibrado (de hecho, un homomorfismo de fibrado vectorial ) del fibrado tangente de al fibrado tangente de , denotada por , que se ajusta al siguiente diagrama conmutativo :${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi }$

donde y denotan las proyecciones de fibrados de los fibrados tangentes de y respectivamente.${\displaystyle \pi _{M}}$${\displaystyle \pi _{N}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi }$induce un mapeo de haces desde el haz de retroceso a través de${\displaystyle TM}$${\displaystyle \varphi ^{*}TN}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle v\mapsto \operatorname {d} \!\varphi _{m}(v),}$

donde y El último mapa puede a su vez verse como una sección del fibrado vectorial Hom( TM , ) sobre M . El mapa fibrado también se denota por y se llama mapa tangente . De esta manera, es un functor .${\displaystyle m\in M}$${\displaystyle v\in T_{m}M.}$${\displaystyle \varphi ^{*}TN}$${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi }$${\displaystyle T\varphi }$${\displaystyle T}$

Dada una aplicación suave φ  : M → N y un campo vectorial X en M , no suele ser posible identificar una proyección de X mediante φ con algún campo vectorial Y en N. Por ejemplo, si la aplicación φ no es sobreyectiva, no existe una forma natural de definir dicha proyección fuera de la imagen de φ . Además, si φ no es inyectiva, puede haber más de una opción de proyección en un punto dado. Sin embargo, esta dificultad puede precisarse utilizando la noción de campo vectorial a lo largo de una aplicación.

Una sección de φ ^∗ TN sobre M se denomina campo vectorial a lo largo de φ . Por ejemplo, si M es una subvariedad de N y φ es la inclusión, entonces un campo vectorial a lo largo de φ es simplemente una sección del fibrado tangente de N a lo largo de M ; en particular, un campo vectorial en M define dicha sección mediante la inclusión de TM dentro de TN . Esta idea se generaliza a aplicaciones suaves arbitrarias.

Supongamos que X es un campo vectorial en M , es decir, una sección de TM . Entonces, se obtiene, en el sentido anterior, el empuje hacia adelante φ _∗ X , que es un campo vectorial a lo largo de φ , es decir, una sección de φ ^∗ TN sobre M.${\displaystyle \operatorname {d} \!\phi \circ X}$

Cualquier campo vectorial Y en N define una sección de retroceso φ ^∗ Y de φ ^∗ TN con ( φ ^∗ Y ) _x = Y _{φ ( x )} . Se dice que un campo vectorial X en M y un campo vectorial Y en N están relacionados por φ si φ _∗ X = φ ^∗ Y como campos vectoriales a lo largo de φ . En otras palabras, para todo x en M , dφ _x ( X ) = Y _{φ ( x )} .

En algunas situaciones, dado un campo vectorial X en M , existe un único campo vectorial Y en N que está relacionado con X mediante φ . Esto es cierto en particular cuando φ es un difeomorfismo . En este caso, el pushforward define un campo vectorial Y en N , dado por

${\displaystyle Y_{y}=\phi _{*}\left(X_{\phi ^{-1}(y)}\right).}$

Una situación más general surge cuando φ es sobreyectiva (por ejemplo, la proyección de un fibrado). En ese caso, se dice que un campo vectorial X en M es proyectable si para todo y en N , dφ _x ( X _x ) es independiente de la elección de x en φ ⁻¹ ({ y }). Esta es precisamente la condición que garantiza que una proyección directa de X , como campo vectorial en N , esté bien definida.

• Retroceso (geometría diferencial)
• Modelo generativo basado en flujo

• Lee, John M. (2003). Introducción a las variedades diferenciables . Springer Graduate Texts in Mathematics. Vol.  218.
• Jost, Jürgen (2002). Geometría riemanniana y análisis geométrico . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2.Véase la sección 1.6 .
• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de mecánica . Londres: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.Consulte las secciones 1.7 y 2.3 .