Campo vectorial fundamental

En el estudio de las matemáticas , y especialmente de la geometría diferencial , los campos vectoriales fundamentales son instrumentos que describen el comportamiento infinitesimal de una acción de grupo de Lie suave sobre una variedad diferenciable . Dichos campos vectoriales encuentran aplicaciones importantes en el estudio de la teoría de Lie , la geometría simpléctica y el estudio de las acciones de grupos hamiltonianos .

Importante para las aplicaciones en matemáticas y física ^{[ 1 ]} es la noción de flujo en una variedad. En particular, si${\displaystyle M}$es un colector liso y${\displaystyle X}$es un campo vectorial suave , uno está interesado en encontrar curvas integrales para${\displaystyle X}$. Más precisamente, dado${\displaystyle p\in M}$a uno le interesan las curvas${\displaystyle \gamma _{p}:\mathbb {R} \to M}$de tal manera que:

${\displaystyle \gamma _{p}'(t)=X_{\gamma _{p}(t)},\qquad \gamma _{p}(0)=p,}$

para las cuales las soluciones locales están garantizadas por el Teorema de Existencia y Unicidad de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias . Si${\displaystyle X}$es además un campo vectorial completo , entonces el flujo de${\displaystyle X}$, definida como la colección de todas las curvas integrales para${\displaystyle X}$, es un difeomorfismo de${\displaystyle M}$El flujo${\displaystyle \phi _{X}:\mathbb {R} \times M\to M}$dado por${\displaystyle \phi _{X}(t,p)=\gamma _{p}(t)}$es de hecho una acción del grupo de Lie aditivo${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$en${\displaystyle M}$.

Por el contrario, cada acción suave${\displaystyle A:\mathbb {R} \times M\to M}$define un campo vectorial completo${\displaystyle X}$mediante la ecuación:

${\displaystyle X_{p}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}A(t,p).}$

Es entonces un resultado simple ^{[ 2 ]} que existe una correspondencia biyectiva entre${\displaystyle \mathbb {R} }$-acciones en${\displaystyle M}$y campos vectoriales completos en${\displaystyle M}$.

En el lenguaje de la teoría del flujo, el campo vectorial${\displaystyle X}$se denomina generador infinitesimal . ^{[ 3 ]} Intuitivamente, el comportamiento del flujo en cada punto corresponde a la "dirección" indicada por el campo vectorial. Es una pregunta natural preguntarse si se puede establecer una correspondencia similar entre campos vectoriales y acciones de grupos de Lie más arbitrarias en${\displaystyle M}$.

Dejar${\displaystyle G}$ser un grupo de Lie con álgebra de Lie correspondiente${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Además, dejemos${\displaystyle M}$ser un colector liso dotado de una acción suave${\displaystyle A:G\times M\to M}$. Denotemos el mapa${\displaystyle A_{p}:G\to M}$de tal manera que${\displaystyle A_{p}(g)=A(g,p)}$, llamado mapa orbital de${\displaystyle A}$correspondiente a${\displaystyle p}$. ^{[ 4 ]} Para${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$, el campo vectorial fundamental${\displaystyle X^{\#}}$correspondiente a${\displaystyle X}$se da mediante cualquiera de las siguientes definiciones equivalentes: ^{[ 2 ] [ 4 ] [ 5 ]}

• ${\displaystyle X_{p}^{\#}=d_{e}A_{p}(X)}$
• ${\displaystyle X_{p}^{\#}=d_{(e,p)}A\left(X,0_{T_{p}M}\right)}$
• ${\displaystyle X_{p}^{\#}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}A\left(\exp(tX),p\right)}$

dónde${\displaystyle d}$es la diferencial de un mapa suave y${\displaystyle 0_{T_{p}M}}$es el vector cero en el espacio vectorial${\displaystyle T_{p}M}$.

El mapa${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \Gamma (TM),X\mapsto -X^{\#}}$Se puede demostrar entonces que es un homomorfismo de álgebra de Lie . ^{[ 5 ]}