Empuje hacia adelante (diferencial)

En geometría diferencial , el avance es una aproximación lineal de aplicaciones suaves (variedad formulante) en espacios tangentes. Supongamos que${\displaystyle \varphi \colon M\to N}$es una aplicación suave entre variedades suaves ; entonces el diferencial de${\displaystyle \varphi }$en un punto${\displaystyle x}$, denotado${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _ {x}}$, es, en cierto sentido, la mejor aproximación lineal de${\displaystyle \varphi }$cerca${\displaystyle x}$. Puede considerarse como una generalización de la derivada total del cálculo ordinario. Explícitamente, el diferencial es una aplicación lineal del espacio tangente de${\displaystyle M}$en${\displaystyle x}$al espacio tangente de${\displaystyle N}$en${\displaystyle \varphi (x)}$,${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}\colon T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N}$Por lo tanto, se puede utilizar para empujar vectores tangentes en${\displaystyle M}$hacia adelante a vectores tangentes en${\displaystyle N}$. El diferencial de un mapa${\displaystyle \varphi }$También se denomina, por varios autores, la derivada o derivada total de${\displaystyle \varphi }$.

Dejar${\displaystyle \varphi :U\a V}$ser un mapa suave de un subconjunto abierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$a un subconjunto abierto${\displaystyle V}$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Por cualquier punto${\displaystyle x}$en${\displaystyle U}$, el jacobino de${\displaystyle \varphi }$en${\displaystyle x}$(con respecto a las coordenadas estándar) es la representación matricial de la derivada total de${\displaystyle \varphi }$en${\displaystyle x}$, que es un mapa lineal

${\displaystyle d\varphi _{x}:T_{x}\mathbb {R} ^{m}\to T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}}$

entre sus espacios tangentes. Observe los espacios tangentes${\displaystyle T_{x}\mathbb {R} ^{m},T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}}$son isomorfos a${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$y${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, respectivamente. El avance generaliza esta construcción al caso que${\displaystyle \varphi }$es una función suave entre cualquier colector suave${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$.

Dejar${\displaystyle \varphi \colon M\to N}$Sea una aplicación suave de variedades suaves. Dado${\displaystyle x\in M,}$el diferencial de${\displaystyle \varphi }$en${\displaystyle x}$es un mapa lineal

${\displaystyle d\varphi _{x}\colon \ T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N\,}$

del espacio tangente de${\displaystyle M}$en${\displaystyle x}$al espacio tangente de${\displaystyle N}$en${\displaystyle \varphi (x).}$La imagen${\displaystyle d\varphi _{x}X}$de un vector tangente${\displaystyle X\in T_{x}M}$bajo${\displaystyle d\varphi _{x}}$a veces se le llama el impulso hacia adelante de${\displaystyle X}$por${\displaystyle \varphi .}$La definición exacta de este avance depende de la definición que se utilice para los vectores tangentes (para las distintas definiciones, véase el espacio tangente ).

Si los vectores tangentes se definen como clases de equivalencia de las curvas${\displaystyle \gamma }$para qué${\displaystyle \gamma (0)=x,}$entonces el diferencial viene dado por

${\displaystyle d\varphi _ {x}(\gamma '(0))=(\varphi \circ \gamma )'(0).}$

Aquí,${\displaystyle \gamma }$es una curva en${\displaystyle M}$con${\displaystyle \gamma (0)=x,}$y${\displaystyle \gamma '(0)}$es el vector tangente a la curva${\displaystyle \gamma }$en${\displaystyle 0.}$En otras palabras, el avance del vector tangente a la curva${\displaystyle \gamma }$en${\displaystyle 0}$es el vector tangente a la curva${\displaystyle \varphi \circ \gamma }$en${\displaystyle 0.}$

Alternativamente, si los vectores tangentes se definen como derivadas que actúan sobre funciones reales suaves, entonces el diferencial viene dado por

${\displaystyle d\varphi _{x}(X)(f)=X(f\circ \varphi ),}$

para una función arbitraria${\displaystyle f\in C^{\infty }(N)}$y una derivación arbitraria${\displaystyle X\in T_{x}M}$en el punto${\displaystyle x\in M}$(una derivación se define como una aplicación lineal)${\displaystyle X\colon C^{\infty }(M)\to \mathbb {R} }$que satisface la regla de Leibniz , véase: definición de espacio tangente mediante derivaciones ). Por definición, el empuje hacia adelante de${\displaystyle X}$está en${\displaystyle T_{\varphi (x)}N}$y por lo tanto en sí misma es una derivación,${\displaystyle d\varphi _{x}(X)\colon C^{\infty }(N)\to \mathbb {R} }$.

Después de elegir dos gráficos alrededor${\displaystyle x}$y alrededor${\displaystyle \varphi (x),}$${\displaystyle \varphi }$está determinado localmente por un mapa suave${\displaystyle {\widehat {\varphi }}\colon U\to V}$entre conjuntos abiertos de${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$y${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, y

${\displaystyle d\varphi _{x}\left({\frac {\partial }{\partial u^{a}}}\right)={\frac {\partial {\widehat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}{\frac {\partial }{\partial v^{b}}},}$

en la notación de suma de Einstein , donde las derivadas parciales se evalúan en el punto en${\displaystyle U}$correspondiente a${\displaystyle x}$en el gráfico proporcionado.

Al extender por linealidad se obtiene la siguiente matriz

${\displaystyle \left(d\varphi _{x}\right)_{a}^{\;b}={\frac {\partial {\widehat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}.}$

Así, el diferencial es una transformación lineal, entre espacios tangentes, asociada a la aplicación suave.${\displaystyle \varphi }$en cada punto. Por lo tanto, en algunas coordenadas locales elegidas, está representada por la matriz jacobiana del mapa suave correspondiente de${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$a${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$En general, el diferencial no tiene por qué ser invertible. Sin embargo, si${\displaystyle \varphi }$es un difeomorfismo local , entonces${\displaystyle d\varphi _{x}}$es invertible, y la inversa da el retroceso de${\displaystyle T_{\varphi (x)}N.}$

El diferencial se expresa frecuentemente utilizando una variedad de otras notaciones, como

${\displaystyle D\varphi _{x},\left(\varphi _{*}\right)_{x},\varphi '(x),T_{x}\varphi .}$

De la definición se deduce que el diferencial de un compuesto es el compuesto de sus diferenciales (es decir, comportamiento funtorial ). Esta es la regla de la cadena para aplicaciones suaves.

Además, el diferencial de un difeomorfismo local es un isomorfismo lineal de espacios tangentes.

La diferencial de un mapa suave${\displaystyle \varphi }$induce, de manera obvia, un mapa de fibrado (de hecho, un homomorfismo de fibrado vectorial ) a partir del fibrado tangente de${\displaystyle M}$al fibrado tangente de${\displaystyle N}$, denotado por${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi }$, que encaja en el siguiente diagrama conmutativo :

dónde${\displaystyle \pi _{M}}$y${\displaystyle \pi _{N}}$denotan las proyecciones de fibrados de los fibrados tangentes de${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$respectivamente.

${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi }$induce un mapa de haces a partir de${\displaystyle TM}$al paquete de retroceso${\displaystyle \varphi ^{*}TN}$encima${\displaystyle M}$a través de

${\displaystyle v\mapsto \operatorname {d} \!\varphi _{m}(v),}$

dónde${\displaystyle m\in M}$y${\displaystyle v\in T_{m}M.}$Este último mapa puede a su vez ser visto como una sección del fibrado vectorial Hom( TM ,${\displaystyle \varphi ^{*}TN}$) sobre M . El mapa de fibrado${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi }$también se denota por${\displaystyle T\varphi }$y se denomina mapa tangente . De esta manera,${\displaystyle T}$es un functor .

Dada una aplicación suave φ  : M → N y un campo vectorial X en M , no suele ser posible identificar una proyección de X mediante φ con algún campo vectorial Y en N. Por ejemplo, si la aplicación φ no es sobreyectiva, no existe una forma natural de definir dicha proyección fuera de la imagen de φ . Además, si φ no es inyectiva, puede haber más de una opción de proyección en un punto dado. Sin embargo, esta dificultad puede precisarse utilizando la noción de campo vectorial a lo largo de una aplicación.

Una sección de φ ^∗ TN sobre M se denomina campo vectorial a lo largo de φ . Por ejemplo, si M es una subvariedad de N y φ es la inclusión, entonces un campo vectorial a lo largo de φ es simplemente una sección del fibrado tangente de N a lo largo de M ; en particular, un campo vectorial en M define dicha sección mediante la inclusión de TM dentro de TN . Esta idea se generaliza a aplicaciones suaves arbitrarias.

Supongamos que X es un campo vectorial en M , es decir, una sección de TM . Entonces,${\displaystyle \operatorname {d} \!\phi \circ X}$produce, en el sentido anterior, el empuje hacia adelante φ _∗ X , que es un campo vectorial a lo largo de φ , es decir, una sección de φ ^∗ TN sobre M .

Cualquier campo vectorial Y en N define una sección de retroceso φ ^∗ Y de φ ^∗ TN con ( φ ^∗ Y ) _x = Y _{φ ( x )} . Se dice que un campo vectorial X en M y un campo vectorial Y en N están relacionados por φ si φ _∗ X = φ ^∗ Y como campos vectoriales a lo largo de φ . En otras palabras, para todo x en M , dφ _x ( X ) = Y _{φ ( x )} .

En algunas situaciones, dado un campo vectorial X en M , existe un único campo vectorial Y en N que está relacionado con X mediante φ . Esto es cierto en particular cuando φ es un difeomorfismo . En este caso, el pushforward define un campo vectorial Y en N , dado por

${\displaystyle Y_{y}=\phi _{*}\left(X_{\phi ^{-1}(y)}\right).}$

Una situación más general surge cuando φ es sobreyectiva (por ejemplo, la proyección de un fibrado). En ese caso, se dice que un campo vectorial X en M es proyectable si para todo y en N , dφ _x ( X _x ) es independiente de la elección de x en φ ⁻¹ ({ y }). Esta es precisamente la condición que garantiza que una proyección directa de X , como campo vectorial en N , esté bien definida.

• Retroceso (geometría diferencial)
• Modelo generativo basado en flujo

• Lee, John M. (2003). Introducción a las variedades diferenciables . Springer Graduate Texts in Mathematics. Vol.  218.
• Jost, Jürgen (2002). Geometría riemanniana y análisis geométrico . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2.Véase la sección 1.6 .
• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de mecánica . Londres: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.Consulte las secciones 1.7 y 2.3 .