Funcional de Hitchin

El funcional de Hitchin es un concepto matemático con aplicaciones en la teoría de cuerdas , introducido por el matemático británico Nigel Hitchin . Los artículos originales sobre el funcional de Hitchin fueron publicados en 2000 y 2001 .

Al igual que la introducción de Hitchin de las variedades complejas generalizadas , este es un ejemplo de una herramienta matemática que ha resultado útil en la física matemática .

Esta es la definición de 6-variedades. La definición en el artículo de Hitchin es más general, pero más abstracta. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle M}$Sea una 6- variedad compacta y orientada con fibrado canónico trivial . Entonces, el funcional de Hitchin es un funcional sobre 3-formas definido por la fórmula:

${\displaystyle \Phi (\Omega )=\int _{M}\Omega \wedge *\Omega ,}$

dónde${\displaystyle \Omega }$es una 3-forma y * denota el operador estrella de Hodge .

• El funcional de Hitchin es análogo, para las variedades de seis dimensiones, al funcional de Yang-Mills para las variedades de cuatro dimensiones.
• El funcional de Hitchin es manifiestamente invariante bajo la acción del grupo de difeomorfismos que preservan la orientación .
• Teorema. Supongamos que${\displaystyle M}$es una variedad compleja tridimensional y${\displaystyle \Omega }$es la parte real de una 3-forma holomorfa no evanescente , entonces${\displaystyle \Omega }$es un punto crítico de la función${\displaystyle \Phi }$restringido a la clase de cohomología${\displaystyle [\Omega ]\in H^{3}(M,R)}$. Por el contrario, si${\displaystyle \Omega }$es un punto crítico de la función${\displaystyle \Phi }$en una clase de comohología determinada y${\displaystyle \Omega \wedge *\Omega <0}$, entonces${\displaystyle \Omega }$define la estructura de una variedad compleja, de tal manera que${\displaystyle \Omega }$es la parte real de una 3-forma holomorfa no evanescente en${\displaystyle M}$.

La demostración del teorema en los artículos de Hitchin ( 2000 ) y Hitchin ( 2001 ) es relativamente sencilla. El poder de este concepto reside en la afirmación recíproca: si la forma exacta  ${\displaystyle \Phi (\Omega)}$Se sabe, solo tenemos que observar sus puntos críticos para encontrar las posibles estructuras complejas.

Los funcionales de acción a menudo determinan la estructura geométrica ^{[ 2 ]} en${\displaystyle M}$y la estructura geométrica a menudo se caracterizan por la existencia de formas diferenciales particulares en${\displaystyle M}$que obedecen ciertas condiciones integrables.

Si una 2 -forma${\displaystyle \omega }$se puede escribir con coordenadas locales

${\displaystyle \omega =dp_{1}\wedge dq_{1}+\cdots +dp_{m}\wedge dq_{m}}$

y

${\displaystyle d\omega =0}$,

entonces${\displaystyle \omega }$define la estructura simpléctica .

Un formulario p${\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(M,\mathbb {R} )}$es estable si se encuentra en una órbita abierta del sistema local.${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$acción donde n=dim(M), es decir, si alguna pequeña perturbación${\displaystyle \omega \mapsto \omega +\delta \omega }$puede ser deshecho por un local${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$acción. Por lo tanto, cualquier 1 -forma que no se desvanezca en todas partes es estable; la estabilidad de la 2 -forma (o p -forma cuando p es par) es equivalente a la no degeneración.

¿Qué pasa con p = 3? Para n grande, la forma 3 es difícil debido a la dimensión de${\displaystyle \wedge ^{3}(\mathbb {R} ^{n})}$, es del orden de${\displaystyle n^{3}}$, crece más rápidamente que la dimensión de${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$que es${\displaystyle n^{2}}$. Pero existen algunos casos excepcionales muy afortunados, a saber:${\displaystyle n=6}$, cuando está oscuro${\displaystyle \wedge ^{3}(\mathbb {R} ^{6})=20}$, tenue${\displaystyle GL(6,\mathbb {R} )=36}$. Dejar${\displaystyle \rho }$sea ​​una 3 -forma real estable en dimensión 6. Entonces el estabilizador de${\displaystyle \rho }$bajo${\displaystyle GL(6,\mathbb {R} )}$tiene dimensión real 36-20=16 , de hecho o${\displaystyle SL(3,\mathbb {R} )\times SL(3,\mathbb {R} )}$o${\displaystyle SL(3,\mathbb {C} )}$.

Centrarse en el caso de${\displaystyle SL(3,\mathbb {C} )}$y si${\displaystyle \rho }$tiene un estabilizador en${\displaystyle SL(3,\mathbb {C} )}$Entonces se puede escribir con coordenadas locales de la siguiente manera:

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}(\zeta _{1}\wedge \zeta _{2}\wedge \zeta _{3}+{\bar {\zeta _{1}}}\wedge {\bar {\zeta _{2}}}\wedge {\bar {\zeta _{3}}})}$

dónde${\displaystyle \zeta _{1}=e_{1}+ie_{2},\zeta _{2}=e_{3}+ie_{4},\zeta _{3}=e_{5}+ie_{6}}$y${\displaystyle e_{i}}$son bases de${\displaystyle T^{*}M}$. Entonces${\displaystyle \zeta _{i}}$determina una estructura casi compleja en${\displaystyle M}$Además, si existen coordenadas locales${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3})}$de tal manera que${\displaystyle \zeta _{i}=dz_{i}}$entonces determina afortunadamente una estructura compleja en${\displaystyle M}$.

Dado el estable${\displaystyle \rho \in \Omega ^{3}(M,\mathbb {R} )}$:

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}(\zeta _{1}\wedge \zeta _{2}\wedge \zeta _{3}+{\bar {\zeta _{1}}}\wedge {\bar {\zeta _{2}}}\wedge {\bar {\zeta _{3}}})}$.

Podemos definir otro 3 real -de

${\displaystyle {\tilde {\rho }}(\rho )={\frac {1}{2}}(\zeta _{1}\wedge \zeta _{2}\wedge \zeta _{3}-{\bar {\zeta _{1}}}\wedge {\bar {\zeta _{2}}}\wedge {\bar {\zeta _{3}}})}$.

Y luego${\displaystyle \Omega =\rho +i{\tilde {\rho }}(\rho )}$es una 3 -forma holomorfa en la estructura casi compleja determinada por${\displaystyle \rho }$. Además, se convierte en la estructura compleja solo si${\displaystyle d\Omega =0}$es decir${\displaystyle d\rho =0}$ y${\displaystyle d{\tilde {\rho }}(\rho )=0}$. Este${\displaystyle \Omega }$es simplemente la forma 3${\displaystyle \Omega }$en la definición formal del funcional de Hitchin . Estas ideas inducen la estructura compleja generalizada .

Los funcionales de Hitchin aparecen en muchas áreas de la teoría de cuerdas. Un ejemplo son las compactificaciones de la cuerda de 10 dimensiones con una proyección de orientifold subsiguiente.${\displaystyle \kappa }$utilizando una involución${\displaystyle \nu }$. En este caso,${\displaystyle M}$es el espacio interno de Calabi-Yau de 6 dimensiones (reales) . Los acoplamientos a las coordenadas de Kähler complejizadas${\displaystyle \tau }$es dado por

${\displaystyle g_{ij}=\tau {\text{im}}\int \tau i^{*}(\nu \cdot \kappa \tau ).}$

La función potencial es la funcional${\displaystyle V[J]=\int J\wedge J\wedge J}$donde J es la estructura casi compleja . Ambos son funcionales de Hitchin. Grimm y Louis (2005)

Como aplicación a la teoría de cuerdas, la famosa conjetura OSV de Ooguri, Strominger y Vafa (2004) utilizó el funcional de Hitchin para relacionar la cuerda topológica con la entropía del agujero negro de 4 dimensiones. Utilizando una técnica similar en la${\displaystyle G_{2}}$holonomía Dijkgraaf et al. (2005) argumentaron sobre la teoría M topológica y en la${\displaystyle Spin(7)}$Podría argumentarse que existe una teoría F topológica de holonomía .

Más recientemente, E. Witten postuló la misteriosa teoría de campos superconformes en seis dimensiones, denominada teoría de campos superconformes 6D (2,0) Witten (2007) . El funcional de Hitchin proporciona una de sus bases.

• Hitchin, Nigel (2000). "La geometría de las tres formas en seis y siete dimensiones". arXiv : math/0010054 .
• Hitchin, Nigel (2001). "Formas estables y métrica especial". arXiv : math/0107101 .
• Grimm, Thomas; Louis, Jan (2005). "La acción efectiva de los orientifolds de Calabi-Yau de tipo IIA". Nuclear Physics B . 718 ( 1– 2): 153– 202. arXiv : hep-th/0412277 . Bibcode : 2005NuPhB.718..153G . CiteSeerX 10.1.1.268.839 . doi : 10.1016/j.nuclphysb.2005.04.007 . S2CID 119502508 .  
• Dijkgraaf, Robbert ; Gukov, Sergei; Neitzke, Andrew; Vafa, Cumrun (2005). "Teoría M topológica como unificación de teorías de forma de la gravedad". Adv. Theor. Math. Phys . 9 (4): 603– 665. arXiv : hep-th/0411073 . Bibcode : 2004hep.th...11073D . doi : 10.4310/ATMP.2005.v9.n4.a5 . S2CID 1204839 . 
• Ooguri, Hiroshi; Strominger, Andrew ; Vafa, Cumran (2004). "Atractores de agujeros negros y la cuerda topológica". Physical Review D. 70 ( 10): 6007. arXiv : hep-th/0405146 . Bibcode : 2004PhRvD..70j6007O . doi : 10.1103/PhysRevD.70.106007 . S2CID 6289773 . 
• Witten, Edward (2007). "Teoría de campos conformes en cuatro y seis dimensiones". arXiv : 0712.0157 [ math.RT ].