Heegaard se separa

En el campo matemático de la topología geométrica , una división de Heegaard ( danés: [ ˈhe̝ˀˌkɒˀ ]^ⓘ ) es una descomposición de una 3-variedadcompacta orientadaque resulta de dividirla en doscuerpos de asa.

Sean V y W cuerpos con asas de género g , y sea ƒ un homeomorfismo de inversión de orientación desde el borde de V hasta el borde de W. Al pegar V a W a lo largo de ƒ obtenemos la 3-variedad compacta orientada.

${\displaystyle M=V\cup _{f}W.}$

Toda variedad tridimensional cerrada y orientable puede obtenerse de esta manera; esto se deduce de los profundos resultados sobre la triangulación de variedades tridimensionales obtenidos por Moise . Esto contrasta notablemente con las variedades de dimensiones superiores, que no necesariamente admiten estructuras suaves o lineales a trozos. Suponiendo suavidad, la existencia de una descomposición de Heegaard también se deduce del trabajo de Smale sobre descomposiciones de asas de la teoría de Morse.

La descomposición de M en dos cuerpos de asa se llama una división de Heegaard , y su frontera común H se llama superficie de Heegaard de la división. Las divisiones se consideran hasta la isotopía .

El mapa de pegado ƒ solo necesita especificarse hasta tomar una clase lateral doble en el grupo de clases de mapeo de H. Esta conexión con el grupo de clases de mapeo fue establecida por primera vez por WBR Lickorish .

Las divisiones de Heegaard también pueden definirse para 3-variedades compactas con frontera reemplazando los cuerpos de asa por cuerpos de compresión . El mapa de pegado se encuentra entre las fronteras positivas de los cuerpos de compresión.

Una curva cerrada se denomina esencial si no es homotópica a un punto, una perforación o un componente de frontera. ^{[ 1 ]}

Una descomposición de Heegaard es reducible si existe una curva cerrada simple esencial.${\displaystyle \alpha }$en H que delimita un disco tanto en V como en W. Una descomposición es irreducible si no es reducible. Del lema de Haken se deduce que en una variedad reducible toda descomposición es reducible.

Una descomposición de Heegaard se estabiliza si existen curvas cerradas simples esenciales.${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$en H donde${\displaystyle \alpha }$delimita un disco en V ,${\displaystyle \beta }$delimita un disco en W y${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$se intersecan exactamente una vez. Del teorema de Waldhausen se deduce que toda descomposición reducible de una variedad irreducible es estabilizada.

Una descomposición de Heegaard es débilmente reducible si existen curvas cerradas simples esenciales disjuntas.${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$en H donde${\displaystyle \alpha }$delimita un disco en V y${\displaystyle \beta }$delimita un disco en W. Una escisión es fuertemente irreducible si no es débilmente reducible.

Una división de Heegaard es mínima o de género mínimo si no existe otra división de la variedad tridimensional ambiente de género inferior . El valor mínimo g de la superficie de división es el género de Heegaard de M.

Tres esferas

La triple esfera${\displaystyle S^{3}}$es el conjunto de vectores en${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$con longitud uno. Intersectando esto con el${\displaystyle xyz}$El hiperplano da como resultado una esfera doble . Esta es la división estándar de género cero de${\displaystyle S^{3}}$. Por el contrario, según el truco de Alexander , todas las variedades que admiten una división de género cero son homeomorfas a${\displaystyle S^{3}}$.

Bajo la identificación habitual de${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$con${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$podemos ver${\displaystyle S^{3}}$como viviendo en${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$. Entonces, el conjunto de puntos donde cada coordenada tiene norma${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$forma un toro de Clifford ,${\displaystyle T^{2}}$. Esta es la división estándar del género uno de${\displaystyle S^{3}}$(Véase también la discusión en el paquete de Hopf ).

Estabilización

Dada una descomposición de Heegaard H en M, la estabilización de H se forma tomando la suma conexa del par${\displaystyle (M,H)}$con la pareja${\displaystyle \left(S^{3},T^{2}\right)}$Es fácil demostrar que el procedimiento de estabilización produce divisiones estabilizadas. Inductivamente, una división es estándar si es la estabilización de una división estándar.

Espacios de lentes

Todos tienen una división estándar de género uno. Esta es la imagen del toro de Clifford en${\displaystyle S^{3}}$bajo el mapa cociente utilizado para definir el espacio lente en cuestión. De la estructura del grupo de clases de mapeo del toro bidimensional se deduce que solo los espacios lente tienen descomposiciones de género uno.

Toro trigonal

Recuerde que el toro de tres lados${\displaystyle T^{3}}$es el producto cartesiano de tres copias de${\displaystyle S^{1}}$( círculos ). Dejemos${\displaystyle x_{0}}$ser un punto de${\displaystyle S^{1}}$y considere el gráfico${\displaystyle \Gamma =S^{1}\times \{x_{0}\}\times \{x_{0}\}\cup \{x_{0}\}\times S^{1}\times \{x_{0}\}\cup \{x_{0}\}\times \{x_{0}\}\times S^{1}}$Es un ejercicio sencillo demostrar que V , un entorno regular de${\displaystyle \Gamma }$, es un handlebody como es${\displaystyle T^{3}-V}$. Por lo tanto, el límite de V en${\displaystyle T^{3}}$es una división de Heegaard y esta es la división estándar de${\displaystyle T^{3}}$Charles Frohman y Joel Hass demostraron que cualquier otra descomposición de Heegaard de género 3 del toro tridimensional es topológicamente equivalente a esta. Michel Boileau y Jean-Pierre Otal demostraron que, en general, cualquier descomposición de Heegaard del toro tridimensional es equivalente al resultado de estabilizar este ejemplo.

El lema de Alejandro

Hasta la isotopía, existe una incrustación única ( lineal a trozos ) de la esfera bidimensional en la esfera tridimensional. (En dimensiones superiores, esto se conoce como el teorema de Schoenflies . En dimensión dos, es el teorema de la curva de Jordan ). Esto puede reformularse de la siguiente manera: la división de género cero de${\displaystyle S^{3}}$es único.

Teorema de Waldhausen

Cada división de${\displaystyle S^{3}}$se obtiene estabilizando la división única de género cero.

Supongamos ahora que M es una variedad tridimensional cerrada y orientable.

Teorema de Reidemeister-Singer

Para cualquier par de divisiones${\displaystyle H_{1}}$y${\displaystyle H_{2}}$en M hay una tercera división${\displaystyle H}$en M que es una estabilización de ambos.

El lema de Haken

Supongamos que${\displaystyle S_{1}}$es una esfera doble esencial en M y H es una división de Heegaard. Entonces hay una esfera doble esencial${\displaystyle S_{2}}$en M encontrándose con H en una sola curva.

Hay varias clases de variedades tridimensionales donde el conjunto de descomposiciones de Heegaard es completamente conocido. Por ejemplo, el teorema de Waldhausen muestra que todas las descomposiciones de${\displaystyle S^{3}}$son estándar. Lo mismo ocurre con los espacios de las lentes (como demostraron Francis Bonahon y Otal).

Las divisiones de los espacios de fibras de Seifert son más sutiles. Aquí, todas las divisiones pueden ser isotópicas para ser verticales u horizontales (como lo demostraron Yoav Moriah y Jennifer Schultens ).

Cooper y Scharlemann (1999) clasificaron las escisiones de los fibrados de toro (que incluyen todas las variedades tridimensionales con geometría Sol ). De su trabajo se deduce que todos los fibrados de toro tienen una única escisión de género mínimo. Todas las demás escisiones del fibrado de toro son estabilizaciones de la de género mínimo.

Un artículo de Kobayashi (2001) clasifica las divisiones de Heegaard de variedades hiperbólicas tridimensionales que son complementos de nudos de dos puentes.

Se pueden utilizar métodos computacionales para determinar o aproximar el género de Heegaard de una 3-variedad. El software Heegaard de John Berge estudia las divisiones de Heegaard generadas por el grupo fundamental de una variedad.

La idea de una división de Heegaard fue introducida por Poul Heegaard ( 1898 ) . Si bien las divisiones de Heegaard fueron estudiadas extensamente por matemáticos como Wolfgang Haken y Friedhelm Waldhausen en la década de 1960, no fue hasta unas décadas más tarde que el campo fue revitalizado por Andrew Casson y Cameron Gordon ( 1987 ) , principalmente a través de su concepto de irreducibilidad fuerte .  

• Descomposición de variedades
• Descomposiciones de variedades tridimensionales
• Cuerpo de compresión

• Farb, Benson ; Margalit, Dan, Introducción a la representación gráfica de grupos de clases , Princeton University Press
• Casson, Andrew J .; Gordon, Cameron McA. (1987), "Reducción de descomposiciones de Heegaard", Topology and Its Applications , 27 (3): 275–283 , doi : 10.1016/0166-8641(87)90092-7 , ISSN 0166-8641 , MR 0918537  
• Cooper, Daryl; Scharlemann, Martin (1999), "La estructura de las divisiones de Heegaard de una variedad de solución" , Turkish Journal of Mathematics , 23 (1): 1– 18, ISSN 1300-0098 , MR 1701636 , archivado del original el 22-08-2011 , recuperado el 11-01-2020  
• Heegaard, Poul (1898), Forstudier til en topologisk Teori for de algebraiske Fladers Sammenhang (PDF) , Tesis (en danés), JFM 29.0417.02 
• Hempel, John (1976), 3-variedades , Annals of Mathematics Studies, vol.  86, Princeton University Press , ISBN 978-0-8218-3695-8, MR 0415619 
• Kobayashi, Tsuyoshi (2001), "Heegaard splittings of exteriors of two bridge knots", Geometry and Topology , 5 (2): 609– 650, arXiv : math/0101148 , doi : 10.2140/gt.2001.5.609 , S2CID 13991798