Gradiente

En el sistema de coordenadas cartesianas tridimensional con una métrica euclidiana , el gradiente, si existe, viene dado por

$${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,}$$

donde i , j , k son los vectores unitarios estándar en las direcciones de las coordenadas x , y y z , respectivamente.

Por ejemplo, el gradiente de la función $${\displaystyle f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)}$$ es $${\displaystyle \nabla f(x,y,z)=2\mathbf {i} +6y\mathbf {j} -\cos(z)\mathbf {k} .}$$ o $${\displaystyle \nabla f(x,y,z)={\begin{bmatrix}2\\6y\\-\cos z\end{bmatrix}}.}$$

En algunas aplicaciones, es habitual representar el gradiente como un vector fila o un vector columna de sus componentes en un sistema de coordenadas rectangulares; este artículo sigue la convención de que el gradiente sea un vector columna, mientras que la derivada es un vector fila.

En coordenadas cilíndricas , el gradiente viene dado por: ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle \nabla f(\rho ,\varphi ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _ {z},}$$

donde ρ es la distancia axial, φ es el ángulo azimutal, z es la coordenada axial y e _ρ , e _φ y e _z son vectores unitarios que apuntan a lo largo de las direcciones de las coordenadas.

En coordenadas esféricas con una métrica euclidiana, el gradiente viene dado por: ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle \nabla f(r,\theta ,\varphi )={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _ {\varphi },}$$

donde r es la distancia radial, φ es el ángulo azimutal y θ es el ángulo polar, y e _r , e _θ y e _φ son nuevamente vectores unitarios locales que apuntan en las direcciones de las coordenadas (es decir, la base covariante normalizada ).

Para el gradiente en otros sistemas de coordenadas ortogonales , consulte Coordenadas ortogonales (Operadores diferenciales en tres dimensiones) .

Consideramos coordenadas generales , que escribimos como x ¹ , …, x ⁱ , …, x ⁿ , donde n es el número de dimensiones del dominio. Aquí, el índice superior se refiere a la posición en la lista de la coordenada o componente, por lo que x ² se refiere a la segunda componente, no a la cantidad x al cuadrado. La variable de índice i se refiere a un elemento arbitrario x ⁱ . Usando la notación de Einstein , el gradiente se puede escribir como:

$${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}\mathbf {e} _{j}}$$(Tenga en cuenta que su dual es${\textstyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} ^{i}}$),

dónde${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\mathrm {d} x^{i}}$y${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\partial \mathbf {x} /\partial x^{i}}$se refieren respectivamente a las bases covariantes y contravariantes locales no normalizadas ,${\displaystyle g^{ij}}$es el tensor métrico inverso , y la convención de suma de Einstein implica la suma sobre i y j .

Si las coordenadas son ortogonales podemos expresar fácilmente el gradiente (y el diferencial ) en términos de las bases normalizadas, a las que nos referimos como ${\displaystyle {\sombrero {\mathbf {e} }}_{i}}$y ${\displaystyle {\sombrero {\mathbf {e} }}^{i}}$, utilizando los factores de escala (también conocidos como coeficientes de Lamé ) ${\displaystyle h_{i}=\lVert \mathbf {e} _{i}\rVert ={\sqrt {g_{ii}}}=1\,/\lVert \mathbf {e} ^{i}\rVert }$ :

$${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}{\sqrt {g_{jj}}}=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} _{i}}$$(y${\textstyle \mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} ^{i}}$),

donde no podemos usar la notación de Einstein, ya que es imposible evitar la repetición de más de dos índices. A pesar del uso de índices superiores e inferiores,${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$,${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} ^{i}}$, y${\displaystyle h_{i}}$no son ni contravariantes ni covariantes.

Esta última expresión se evalúa a las expresiones dadas anteriormente para coordenadas cilíndricas y esféricas.

El gradiente está estrechamente relacionado con la derivada total ( diferencial total ).${\displaystyle df}$: son transpuestas ( duales ) entre sí. Usando la convención de que los vectores en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$están representados por vectores columna , y esos covectores (mapas lineales)${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$) están representados por vectores fila , ^{[ a ]} ​​el gradiente${\displaystyle \nabla f}$y el derivado${\displaystyle df}$se expresan como un vector columna y un vector fila, respectivamente, con los mismos componentes, pero transpuestos entre sí:

$${\displaystyle \nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}};}$$$${\displaystyle df_{p}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.}$$

Aunque ambos tienen los mismos componentes, difieren en el tipo de objeto matemático que representan: en cada punto, la derivada es un vector cotangente , una forma lineal (o covector) que expresa cuánto cambia la salida (escalar) para un cambio infinitesimal dado en la entrada (vectorial), mientras que en cada punto, el gradiente es un vector tangente , que representa un cambio infinitesimal en la entrada (vectorial). En símbolos, el gradiente es un elemento del espacio tangente en un punto,${\displaystyle \nabla f(p)\in T_{p}\mathbb {R} ^{n}}$, mientras que la derivada es una aplicación del espacio tangente a los números reales,${\displaystyle df_{p}\colon T_{p}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$. Los espacios tangentes en cada punto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$puede identificarse "naturalmente" ^{[ e ]} con el espacio vectorial${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$en sí mismo, y de manera similar el espacio cotangente en cada punto puede identificarse naturalmente con el espacio vectorial dual.${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{*}}$de covectores; por lo tanto, el valor del gradiente en un punto puede pensarse como un vector en el original.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, no solo como un vector tangente.

Desde el punto de vista computacional, dado un vector tangente, este se puede multiplicar por su derivada (como matrices), lo cual equivale a tomar el producto escalar con el gradiente: $${\displaystyle (df_{p})(v)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)v_{i}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\nabla f(p)\cdot v}$$

Sea U un conjunto abierto en R ⁿ . Si la función f  : U → R es diferenciable, entonces el diferencial de f es la derivada de Fréchet de f . Por lo tanto , ∇ f es una función de U al espacio R ⁿ tal que $${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {|f(x+h)-f(x)-\nabla f(x)\cdot h|}{\|h\|}}=0,}$$ donde · es el producto escalar.

En consecuencia, las propiedades habituales de la derivada se mantienen para el gradiente, aunque el gradiente no es una derivada en sí mismo, sino más bien dual a la derivada:

Linealidad

El gradiente es lineal en el sentido de que si f y g son dos funciones de valor real diferenciables en el punto a ∈ R ⁿ , y α y β son dos constantes, entonces αf + βg es diferenciable en a , y además$${\displaystyle \nabla \left(\alpha f+\beta g\right)(a)=\alpha \nabla f(a)+\beta \nabla g(a).}$$

Regla del producto

Si f y g son funciones de valor real diferenciables en un punto a ∈ R ⁿ , entonces la regla del producto afirma que el producto fg es diferenciable en a , y$${\displaystyle \nabla (fg)(a)=f(a)\nabla g(a)+g(a)\nabla f(a).}$$

Regla de la cadena

Supongamos que f  : A → R es una función de valores reales definida en un subconjunto A de R ⁿ , y que f es diferenciable en un punto a . Hay dos formas de la regla de la cadena que se aplican al gradiente. Primero, supongamos que la función g es una curva paramétrica ; es decir, una función g  : I → R ⁿ mapea un subconjunto I ⊂ R en R ⁿ . Si g es diferenciable en un punto c ∈ I tal que g ( c ) = a , entonces$${\displaystyle (f\circ g)'(c)=\nabla f(a)\cdot g'(c),}$$donde ∘ es el operador de composición : ( f ∘ g )( x ) = f ( g ( x )) .

De forma más general, si en cambio I ⊂ R ^k , entonces se cumple lo siguiente: $${\displaystyle \nabla (f\circ g)(c)={\big (}Dg(c){\big )}^{\mathsf {T}}{\big (}\nabla f(a){\big )},}$$ donde ( Dg ) ^T denota la matriz jacobiana transpuesta .

Para la segunda forma de la regla de la cadena, supongamos que h  : I → R es una función de valor real en un subconjunto I de R , y que h es diferenciable en el punto f ( a ) ∈ I . Entonces $${\displaystyle \nabla (h\circ f)(a)=h'{\big (}f(a){\big )}\nabla f(a).}$$

Una superficie de nivel, o isosuperficie , es el conjunto de todos los puntos donde una función determinada tiene un valor dado.

Si f es diferenciable, entonces el producto escalar (∇ f ) _x ⋅ v del gradiente en un punto x con un vector v da la derivada direccional de f en x en la dirección v . De ello se deduce que, en este caso, el gradiente de f es ortogonal a los conjuntos de nivel de f . Por ejemplo, una superficie de nivel en el espacio tridimensional se define mediante una ecuación de la forma F ( x , y , z ) = c . El gradiente de F es entonces normal a la superficie.

En términos más generales, cualquier hipersuperficie incrustada en una variedad riemanniana puede ser recortada por una ecuación de la forma F ( P ) = 0 tal que dF no sea cero en ningún punto. El gradiente de F es entonces normal a la hipersuperficie.

De forma similar, una hipersuperficie algebraica afín puede definirse mediante la ecuación F ( x ₁ , ..., x _n ) = 0 , donde F es un polinomio. El gradiente de F es cero en un punto singular de la hipersuperficie (esta es la definición de un punto singular). En un punto no singular, es un vector normal distinto de cero.

El gradiente de una función se denomina campo gradiente. Un campo gradiente (continuo) es siempre un campo vectorial conservativo : su integral de línea a lo largo de cualquier trayectoria depende únicamente de los extremos de dicha trayectoria y puede evaluarse mediante el teorema del gradiente (el teorema fundamental del cálculo para integrales de línea). A la inversa, un campo vectorial conservativo (continuo) es siempre el gradiente de una función.

El gradiente de una función${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$En el punto x también se encuentra la dirección de su ascenso más pronunciado, es decir, maximiza su derivada direccional :

Dejar${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$Sea un vector unitario arbitrario. Con la derivada direccional definida como

$${\displaystyle \nabla _{v}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+vh)-f(x)}{h}},}$$

obtenemos, sustituyendo la función${\displaystyle f(x+vh)}$con su serie Taylor ,

$${\displaystyle \nabla _{v}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(f(x)+\nabla f\cdot vh+R)-f(x)}{h}},}$$

dónde${\displaystyle R}$denota términos de orden superior en${\displaystyle vh}$.

Dividiendo por${\displaystyle h}$y tomando el límite se obtiene un término que está acotado superiormente por la desigualdad de Cauchy-Schwarz ^{[ 8 ].}

$${\displaystyle |\nabla _{v}f(x)|=|\nabla f\cdot v|\leq ||\nabla f||||v||=||\nabla f||.}$$

Elegir${\displaystyle v^{*}=\nabla f/||\nabla f||}$maximiza la derivada direccional y es igual al límite superior

$${\displaystyle |\nabla _{v^{*}}f(x)|=||\nabla f||^{2}/||\nabla f||=||\nabla f||.}$$

La matriz jacobiana es la generalización del gradiente para funciones con valores vectoriales de varias variables y aplicaciones diferenciables entre espacios euclidianos o, más generalmente, variedades . ^{[ 9 ] [ 10 ]} Una generalización adicional para una función entre espacios de Banach es la derivada de Fréchet .

Supongamos que f  : R ⁿ → R ^m es una función tal que cada una de sus derivadas parciales de primer orden existe en ℝ ⁿ . Entonces, la matriz jacobiana de f se define como una matriz m × n , denotada por${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbb {f} }(\mathbb {x} )}$o simplemente${\displaystyle \mathbf {J} }$. La entrada ( i , j ) es${\textstyle \mathbf {J} _{ij}={\partial f_{i}}/{\partial x_{j}}}$Explícitamente $${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathsf {T}}f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathsf {T}}f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}.}$$

Dado que la derivada total de un campo vectorial es una aplicación lineal de vectores a vectores, se trata de una magnitud tensorial .

En coordenadas rectangulares, el gradiente de un campo vectorial f = ( f ¹ , f ² , f ³ ) se define por:

$${\displaystyle \nabla \mathbf {f} =g^{jk}{\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},}$$

(donde se utiliza la notación de sumatoria de Einstein y el producto tensorial de los vectores e _i y e _k es un tensor diádico de tipo (2,0)). En general, esta expresión es igual a la transpuesta de la matriz jacobiana:

$${\displaystyle {\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}={\frac {\partial (f^{1},f^{2},f^{3})}{\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}.}$$

En coordenadas curvilíneas, o más generalmente en una variedad curva , el gradiente involucra símbolos de Christoffel :

$${\displaystyle \nabla \mathbf {f} =g^{jk}\left({\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}+{\Gamma ^{i}}_{jl}f^{l}\right)\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},}$$

donde g ^jk son los componentes del tensor métrico inverso y e _i son los vectores base de coordenadas.

Expresado de forma más invariante, el gradiente de un campo vectorial f puede definirse mediante la conexión de Levi-Civita y el tensor métrico: ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle \nabla ^{a}f^{b}=g^{ac}\nabla _{c}f^{b},}$$

donde ∇ _c es la conexión.

Para cualquier función suave f en una variedad riemanniana ( M , g ) , el gradiente de f es el campo vectorial ∇ f tal que para cualquier campo vectorial X , $${\displaystyle g(\nabla f,X)=\partial _{X}f,}$$ eso es, $${\displaystyle g_{x}{\big (}(\nabla f)_{x},X_{x}{\big )}=(\partial _{X}f)(x),}$$ donde g _x ( , ) denota el producto interno de vectores tangentes en x definidos por la métrica g y ∂ _X f es la función que transforma cualquier punto x ∈ M en la derivada direccional de f en la dirección X , evaluada en x . En otras palabras, en una carta de coordenadas φ de un subconjunto abierto de M a un subconjunto abierto de R ⁿ , (∂ _X f )( x ) viene dada por: $${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}X^{j}{\big (}\varphi (x){\big )}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(f\circ \varphi ^{-1}){\Bigg |}_{\varphi (x)},}$$ donde X ^j denota el j -ésimo componente de X en este diagrama de coordenadas.

Así pues, la forma local del gradiente toma la forma:

$${\displaystyle \nabla f=g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\textbf {e}}_{i}.}$$

Generalizando el caso M = R ⁿ , el gradiente de una función está relacionado con su derivada exterior, ya que $${\displaystyle (\partial _{X}f)(x)=(df)_{x}(X_{x}).}$$ Más precisamente, el gradiente ∇ f es el campo vectorial asociado a la 1-forma diferencial df utilizando el isomorfismo musical .$${\displaystyle \sharp =\sharp ^{g}\colon T^{*}M\to TM}$$ (llamada "aguda") definida por la métrica g . La relación entre la derivada exterior y el gradiente de una función en R ⁿ es un caso especial de esto en el que la métrica es la métrica plana dada por el producto escalar.