Operador de composición

En matemáticas , el operador de composición con símbolo es un operador lineal definido por la regla donde denota la composición de una función . ${\displaystyle C_{\phi}}$${\estilo de visualización \phi}$$${\displaystyle C_{\phi}(f)=f\circ \phi}$$${\estilo de visualización f\circ \phi}$

El estudio de los operadores de composición está cubierto por la categoría 47B33 de AMS.

En física , y especialmente en el área de sistemas dinámicos , el operador de composición se conoce generalmente como operador de Koopman ^{[1] [2]} (y su aumento salvaje en popularidad ^[3] a veces se llama en broma "Koopmania" ^[4] ), llamado así en honor a Bernard Koopman . Es el adjunto izquierdo del operador de transferencia de Frobenius-Perron.

Usando el lenguaje de la teoría de categorías , el operador de composición es un pull-back en el espacio de funciones mensurables ; es adjunto al operador de transferencia de la misma manera que el pull-back es adjunto al push-forward ; el operador de composición es el funtor de imagen inversa .

Dado que el dominio considerado aquí es el de las funciones de Borel , lo anterior describe el operador Koopman tal como aparece en el cálculo funcional de Borel .

El dominio de un operador de composición puede tomarse de manera más restringida, como un espacio de Banach , que a menudo consiste en funciones holomorfas : por ejemplo, un espacio de Hardy o un espacio de Bergman . En este caso, el operador de composición se encuentra en el ámbito de algún cálculo funcional , como el cálculo funcional holomorfo .

Las preguntas interesantes que se plantean en el estudio de los operadores de composición a menudo se relacionan con la forma en que las propiedades espectrales del operador dependen del espacio de funciones . Otras preguntas incluyen si es compacto o de clase traza ; las respuestas generalmente dependen de cómo se comporta la función en el límite de algún dominio. ${\displaystyle C_{\phi}}$${\estilo de visualización \varphi}$

Cuando el operador de transferencia es un operador de desplazamiento a la izquierda , el operador de Koopman, como su adjunto, puede tomarse como el operador de desplazamiento a la derecha. Una base apropiada, que manifiesta explícitamente el desplazamiento, a menudo se puede encontrar en los polinomios ortogonales . Cuando estos son ortogonales en la línea de números reales, el desplazamiento está dado por el operador de Jacobi . ^[5] Cuando los polinomios son ortogonales en alguna región del plano complejo (es decir, en el espacio de Bergman ), el operador de Jacobi se reemplaza por un operador de Hessenberg . ^[6]

En matemáticas, los operadores de composición aparecen comúnmente en el estudio de los operadores de desplazamiento , por ejemplo, en el teorema de Beurling-Lax y la descomposición de Wold . Los operadores de desplazamiento pueden estudiarse como redes de espín unidimensionales . Los operadores de composición aparecen en la teoría de las medidas de Aleksandrov-Clark .

La ecuación de valor propio del operador de composición es la ecuación de Schröder , y la función propia principal a menudo se denomina función de Schröder o función de Koenigs . ${\estilo de visualización f(x)}$

El operador de composición se ha utilizado en técnicas basadas en datos para sistemas dinámicos en el contexto de algoritmos de descomposición de modos dinámicos , que aproximan los modos y valores propios del operador de composición.

• Matriz de Carleman
• Linealización de Carleman
• Anillo de composición
• Operador de multiplicación  : operador unario que asigna una función a otra función.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Transposición de una función lineal  – Función inducida entre los espacios duales de los dos espacios vectoriales
• Descomposición en modo dinámico

• CC Cowen y BD MacCluer , Operadores de composición en espacios de funciones analíticas . Estudios en Matemáticas Avanzadas. CRC Press, Boca Raton, Florida, 1995. xii+388 pp. ISBN 0-8493-8492-3 . 
• JH Shapiro , Operadores de composición y teoría clásica de funciones. Universitext: Tracts in Mathematics. Springer-Verlag, Nueva York, 1993. xvi+223 pp. ISBN 0-387-94067-7 .