Descomposición de Wold

En matemáticas , particularmente en la teoría de operadores , la descomposición de Wold o descomposición de Wold-von Neumann , que recibe su nombre de Herman Wold y John von Neumann , es un teorema de clasificación para operadores lineales isométricos en un espacio de Hilbert dado . Este teorema establece que toda isometría es una suma directa de copias del desplazamiento unilateral y un operador unitario .

En el análisis de series temporales , el teorema implica que todo proceso estocástico estacionario de tiempo discreto puede descomponerse en un par de procesos no correlacionados, uno determinista y el otro un proceso de media móvil .

Sea H un espacio de Hilbert , L ( H ) los operadores acotados en H , y V ∈ L ( H ) una isometría. La descomposición de Wold establece que toda isometría V toma la forma

${\displaystyle V=\left(\bigoplus _{\alpha \in A}S\right)\oplus U}$

para algún conjunto de índices A , donde S es el desplazamiento unilateral en un espacio de Hilbert H _α , y U es un operador unitario (posiblemente vacío). La familia { H _α } consta de espacios de Hilbert isomorfos.

Una demostración puede esbozarse de la siguiente manera. Las aplicaciones sucesivas de V dan lugar a secuencias descendentes de copias de H incrustadas isomórficamente en sí misma:

${\displaystyle H=H\supset V(H)\supset V^{2}(H)\supset \cdots =H_{0}\supset H_{1}\supset H_{2}\supset \cdots ,}$

donde V ( H ) denota el rango de V . El H _i  ​​definido anteriormente es V ⁱ ( H ). Si se define 

${\displaystyle M_{i}=H_{i}\ominus H_{i+1}=V^{i}(H\ominus V(H))\quad {\text{para}}\quad i\geq 0\;,}$

entonces

${\displaystyle H=\left(\bigoplus _{i\geq 0}M_{i}\right)\oplus \left(\bigcap _{i\geq 0}H_{i}\right)=K_{1}\oplus K_{2}.}$

Es evidente que K ₁ y K ₂ son subespacios invariantes de V.

Entonces V ( K ₂ ) = K ₂ . En otras palabras, V restringido a K ₂ es una isometría sobreyectiva, es decir, un operador unitario U .

Además, cada M _i es isomorfo a otro, siendo V un isomorfismo entre M _i y M _{i +1} : V "desplaza" M _i a M _{i +1} . Supongamos que la dimensión de cada M _i es algún número cardinal α . Vemos que K ₁ puede escribirse como una suma directa de espacios de Hilbert

${\displaystyle K_{1}=\oplus H_{\alpha }}$

donde cada H _α es un subespacio invariante de V y V restringido a cada H _α es el desplazamiento unilateral S . Por lo tanto

${\displaystyle V=V\vert _{K_{1}}\oplus V\vert _{K_{2}}=\left(\bigoplus _{\alpha \in A}S\right)\oplus U,}$

que es una descomposición de Wold de V.

La descomposición anterior se puede generalizar ligeramente a una secuencia de isometrías, indexadas por los números enteros.

Consideremos una isometría V ∈ L ( H ). Denotemos por C* ( V ) el álgebra C* generada por V , es decir, C* ( V ) es la clausura en norma de los polinomios en V y V* . La descomposición de Wold se puede aplicar para caracterizar C* ( V ).

Sea C ( T ) la función continua en el círculo unitario T . Recordemos que el álgebra C * ( S ) generada por el desplazamiento unilateral S toma la siguiente forma

C* ( S ) = { T _f + K | T _f es un operador de Toeplitz con símbolo continuo f ∈ C ( T ) y K es un operador compacto }.

En esta identificación, S = T _z donde z es la función identidad en C ( T ). El álgebra C* ( S ) se llama álgebra de Toeplitz .

Teorema (Coburn) C* ( V ) es isomorfo al álgebra de Toeplitz y V es la imagen isomorfa de T _z .

La demostración se basa en las conexiones con C ( T ), en la descripción del álgebra de Toeplitz y en que el espectro de un operador unitario está contenido en el círculo T .

Se necesitarán las siguientes propiedades del álgebra de Toeplitz:

1. ${\displaystyle T_{f}+T_{g}=T_{f+g}.\,}$
2. ${\displaystyle T_{f}^{*}=T_{\bar {f}}.}$
3. El semiconmutador${\displaystyle T_{f}T_{g}-T_{fg}\,}$es compacto.

La descomposición de Wold dice que V es la suma directa de copias de T _z y luego algún U unitario :

${\displaystyle V=\left(\bigoplus _{\alpha \in A}T_{z}\right)\oplus U.}$

Entonces recurrimos al cálculo funcional continuo f → f ( U ), y definimos

${\displaystyle \Phi :C^{*}(S)\rightarrow C^{*}(V)\quad {\text{por}}\quad \Phi (T_{f}+K)=\bigoplus _{\alpha \in A}(T_{f}+K)\oplus f(U).}$

Ahora se puede verificar que Φ es un isomorfismo que mapea el desplazamiento unilateral a V :

Por la propiedad 1 anterior, Φ es lineal. La aplicación Φ es inyectiva porque T _f no es compacta para ningún f ∈ C ( T ) distinto de cero y, por lo tanto, T _f + K = 0 implica f = 0. Dado que el rango de Φ es un álgebra C*, Φ es sobreyectiva por la minimalidad de C* ( V ). La propiedad 2 y el cálculo funcional continuo aseguran que Φ conserva la operación *. Finalmente, la propiedad del semiconmutador muestra que Φ es multiplicativa. Por lo tanto, el teorema se cumple.

• Coburn, L. (1967). "El álgebra C* de una isometría" . Bull. Amer. Math. Soc. 73 (5): 722– 726. doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11845-7 .
• Constantinescu, T. (1996). Parámetros de Schur, factorización y problemas de dilatación . Teoría de operadores, avances y aplicaciones. Vol.  82. Birkhäuser. ISBN 3-7643-5285-X.
• Douglas, RG (1972). Técnicas de álgebra de Banach en teoría de operadores . Academic Press. ISBN 0-12-221350-5.
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1985). Hardy Classes and Operator Theory . Oxford University Press. ISBN 0-19-503591-7.