Operador Jacobi

Un operador de Jacobi , también conocido como matriz de Jacobi , es un operador lineal simétrico que actúa sobre secuencias y que viene dado por una matriz tridiagonal infinita . Se utiliza comúnmente para especificar sistemas de polinomios ortonormales sobre una medida de Borel finita y positiva . Este operador recibe su nombre de Carl Gustav Jacob Jacobi .

El nombre deriva de un teorema de Jacobi, que data de 1848, que establece que toda matriz simétrica sobre un dominio ideal principal es congruente con una matriz tridiagonal.

El caso más importante es el de los operadores de Jacobi autoadjuntos que actúan sobre el espacio de Hilbert de secuencias sumables al cuadrado sobre los enteros positivos.${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$En este caso viene dado por

${\displaystyle Jf_{0}=a_{0}f_{1}+b_{0}f_{0},\quad Jf_{n}=a_{n}f_{n+1}+b_{n}f_{n}+a_{n-1}f_{n-1},\quad n>0,}$

donde se supone que los coeficientes satisfacen

${\displaystyle a_{n}>0,\quad b_{n}\in \mathbb {R} .}$

El operador estará acotado si y solo si los coeficientes están acotados.

Hay estrechas conexiones con la teoría de los polinomios ortogonales . De hecho, la solución${\displaystyle p_{n}(x)}$de la relación de recurrencia

${\displaystyle J\,p_{n}(x)=x\,p_{n}(x),\qquad p_{0}(x)=1{\text{ y }}p_{-1}(x)=0,}$

es un polinomio de grado n y estos polinomios son ortonormales con respecto a la medida espectral correspondiente al primer vector base.${\displaystyle \delta _{1,n}}$.

Esta relación de recurrencia también se escribe comúnmente como

${\displaystyle xp_{n}(x)=a_{n+1}p_{n+1}(x)+b_{n}p_{n}(x)+a_{n}p_{n-1}(x)}$

Aparece en muchas áreas de las matemáticas y la física. El caso a ( n )  = 1 se conoce como el operador de Schrödinger  discreto unidimensional . También aparece en:

• El par Lax de la red de Toda .
• La relación de recurrencia de tres términos de polinomios ortogonales , ortogonales sobre una medida de Borel positiva y finita .
• Algoritmos ideados para calcular reglas de cuadratura gaussiana , derivadas de sistemas de polinomios ortogonales. ^{[ 1 ]}
• La teoría de los procesos de nacimiento y muerte ^{[ 2 ]} donde la matriz de transición infinita puede transformarse en un operador de Jacobi autoadjunto que actúa sobre el espacio de Hilbert${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {C} )}$.

Cuando se considera el espacio de Bergman , es decir, el espacio de funciones holomorfas de cuadrado integrable sobre algún dominio, entonces, bajo circunstancias generales, se puede dar a ese espacio una base de polinomios ortogonales, los polinomios de Bergman . En este caso, el análogo del operador de Jacobi tridiagonal es un operador de Hessenberg : una matriz de Hessenberg de dimensión infinita . El sistema de polinomios ortogonales viene dado por

${\displaystyle zp_{n}(z)=\sum _ {k=0}^{n+1}D_{kn}p_{k}(z)}$

y${\displaystyle p_{0}(z)=1}$Aquí, D es el operador de Hessenberg que generaliza el operador de Jacobi tridiagonal J para esta situación. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Nótese que D es el operador de desplazamiento a la derecha en el espacio de Bergman: es decir, está dado por

${\displaystyle [Df](z)=zf(z)}$

Los ceros del polinomio de Bergman${\displaystyle p_{n}(z)}$corresponden a los valores propios del principal${\displaystyle n\times n}$submatriz de D. Es decir, los polinomios de Bergman son los polinomios característicos de las submatrices principales del operador de desplazamiento.

• Matriz de Hankel

• Teschl, Gerald (2000), Operadores de Jacobi y retículos no lineales completamente integrables , Providence: Amer. Math. Soc., ISBN 0-8218-1940-2

• "Matriz de Jacobi" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]