función gaussiana

En matemáticas , una función gaussiana , a menudo denominada simplemente gaussiana , es una función de la forma base $${\displaystyle f(x)=\exp(-x^{2})}$$ y con extensión paramétrica $${\displaystyle f(x)=a\exp \left(-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}\right)}$$ para constantes reales arbitrarias a , b y c distinto de cero . Recibe su nombre del matemático Carl Friedrich Gauss . La gráfica de una gaussiana tiene una característica forma simétrica de " campana ". El parámetro a es la altura del pico de la curva, b es la posición horizontal del centro del pico y c (la desviación estándar , a veces llamada amplitud RMS gaussiana ) controla la amplitud de la "campana".

^Las funciones gaussianas se utilizan a menudo para representar la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria con distribución normal con valor esperado μ = b y varianza σ² = ^c² . En este caso, la gaussiana tiene la forma ^{[ 1 ]} .

$${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right).}$$

Las funciones gaussianas se utilizan ampliamente en estadística para describir las distribuciones normales , en el procesamiento de señales para definir filtros gaussianos , en el procesamiento de imágenes donde se utilizan gaussianas bidimensionales para desenfoques gaussianos , y en matemáticas para resolver ecuaciones de calor y de difusión , así como para definir la transformada de Weierstrass . También se utilizan abundantemente en química cuántica para formar conjuntos de bases .

Las funciones gaussianas surgen al componer la función exponencial con una función cuadrática cóncava : $${\displaystyle f(x)=\exp \left(\alpha x^{2}+\beta x+\gamma \right),}$$ dónde $${\displaystyle \alpha =-{\tfrac {1}{2c^{2}}},\qquad \beta ={\frac {b}{c^{2}}},\qquad \gamma =\ln a-{\frac {b^{2}}{2c^{2}}}.}$$ (Nota:${\textstyle a={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}$en${\displaystyle \ln a}$, no confundir con${\textstyle \alpha =-{\tfrac {1}{2c^{2}}}}$)

Las funciones gaussianas son, por lo tanto, aquellas funciones cuyo logaritmo es una función cuadrática cóncava.

El parámetro c está relacionado con el ancho completo a media altura (FWHM) del pico según

$${\displaystyle {\text{FWHM}}=2{\sqrt {2\ln 2}}\,c\approx 2.35482\,c.}$$

La función puede expresarse entonces en términos del FWHM, representado por w : $${\displaystyle f(x)=a\exp \left(-{\frac {4(\ln 2)(xb)^{2}}{w^{2}}}\right).}$$

Alternativamente, el parámetro c puede interpretarse diciendo que los dos puntos de inflexión de la función ocurren en x = b ± c .

El ancho completo a la décima parte del máximo (FWTM) para una gaussiana podría ser de interés y es $${\displaystyle {\text{FWTM}}=2{\sqrt {2\ln 10}}\,c\approx 4.29193\,c.}$$

Las funciones gaussianas son analíticas y su límite cuando x → ∞ es  0 (para el caso anterior de b = 0 ).

Las funciones gaussianas se encuentran entre aquellas funciones que son elementales pero carecen de antiderivadas elementales ; la integral de la función gaussiana es la función de error :

$${\displaystyle \int \exp \left(-x^{2}\right)\,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} x+C.}$$

No obstante, sus integrales impropias sobre toda la recta real pueden evaluarse exactamente utilizando la integral gaussiana.$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-x^{2}\right)\,dx={\sqrt {\pi }},}$$ y uno obtiene $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }a\exp \left(-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}\right)\,dx=a|c|{\sqrt {2\pi }}.}$$

Esta integral es 1 si y solo si${\textstyle a={\tfrac {1}{c{\sqrt {2\pi }}}}}$(la constante de normalización ), y en este caso la gaussiana es la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria con distribución normal con valor esperado μ = b y varianza σ ² = c ² : $${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).}$$

Estas funciones gaussianas se representan gráficamente en la figura adjunta.

El producto de dos funciones gaussianas es una función gaussiana, y la convolución de dos funciones gaussianas también es una función gaussiana, siendo la varianza la suma de las varianzas originales:${\displaystyle c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}$Sin embargo, el producto de dos funciones de densidad de probabilidad gaussianas (FDP) no es, en general, una FDP gaussiana.

El principio de incertidumbre de Fourier se convierte en una igualdad si y solo si se consideran funciones gaussianas (moduladas). ^{[ 2 ]}

Al aplicar la transformada de Fourier (unitaria, convención de frecuencia angular) a una función gaussiana con parámetros a = 1 , b = 0 y c, se obtiene otra función gaussiana con parámetros${\displaystyle c}$, b = 0 y ⁠ 1 / c ⁠ . ^{[ 3 ]} Así, en particular, las funciones gaussianas con b = 0 y c = a se mantienen fijas mediante la transformada de Fourier (son autofunciones de la transformada de Fourier con autovalor  1). Una realización física es la del patrón de difracción : por ejemplo, una diapositiva fotográfica cuya transmitancia tiene una variación gaussiana es también una función gaussiana.

El hecho de que la función gaussiana sea una autofunción de la transformada continua de Fourier nos permite derivar la siguiente identidad interesante a partir de la fórmula de suma de Poisson : $${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot \left({\frac {k}{c}}\right)^{2}\right)=c\cdot \sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot (kc)^{2}\right).}$$

La integral de una función gaussiana arbitraria es $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }a\exp \left(-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}\right)\,dx=\ a\,|c|\,{\sqrt {2\pi }}.}$$

Una forma alternativa es $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }k\exp \left(-fx^{2}+gx+h\right)\,dx&=\int _{-\infty }^{\infty }k\exp \left(-f\left(x-{\frac {g}{2f}}\right)^{2}+{\frac {g^{2}}{4f}}+h\right)\,dx\\&=k\,{\sqrt {\frac {\pi }{f}}}\,\exp \left({\frac {g^{2}}{4f}}+h\right),\end{aligned}}}$$ donde f debe ser estrictamente positiva para que la integral converja.

Forma base: $${\displaystyle f(x,y)=\exp \left(-x^{2}-y^{2}\right)}$$

En dos dimensiones, el argumento de la función exponencial en la función gaussiana es cualquier forma cuadrática definida negativa . Por consiguiente, los conjuntos de nivel de la gaussiana siempre serán elipses.

Un ejemplo particular de una función gaussiana bidimensional es $${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)\right).}$$

Aquí, el coeficiente A es la amplitud, x ₀ , y ₀ es el centro, y σ _x , σ _y son las dispersiones x e y del blob. La figura de la derecha se creó usando A = 1, x ₀ = 0, y ₀ = 0, σ _x = σ _y = 1.  

El volumen bajo la función gaussiana viene dado por $${\displaystyle V=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dx\,dy=2\pi A\sigma _{X}\sigma _{Y}.}$$

En general, una función gaussiana elíptica bidimensional se expresa como $${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left(a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0})+c(y-y_{0})^{2}\right)\right),}$$ donde la matriz $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}}$$ es definida positiva .

Utilizando esta formulación, la figura de la derecha se puede crear usando A = 1 , ( x ₀ , y ₀ ) = (0, 0) , a = c = ⁠ 1 / 2 ⁠ , b = 0 .

A = 1 ; x0 = 0 ; y0 = 0 ;sigma_X = 1 ; sigma_Y = 2 ;[ X , Y ] = meshgrid ( - 5 :. 1 : 5 , - 5 :. 1 : 5 );para theta = 0 : pi / 100 : pi a = cos ( theta ) ^ 2 / ( 2 * sigma_X ^ 2 ) + sin ( theta ) ^ 2 / ( 2 * sigma_Y ^ 2 ); b = sin ( 2 * theta ) / ( 4 * sigma_X ^ 2 ) - sin ( 2 * theta ) / ( 4 * sigma_Y ^ 2 ); c = sin ( theta ) ^ 2 / ( 2 * sigma_X ^ 2 ) + cos ( theta ) ^ 2 / ( 2 * sigma_Y ^ 2 );Z = A * exp ( - ( a * ( X - x0 ) .^ 2 + 2 * b * ( X - x0 ) .* ( Y - y0 ) + c * ( Y - y0 ) .^ 2 ));surf ( X , Y , Z ); sombreado interp ; vista ( - 36 , 36 ) esperar a presionar el botón fin

En un${\displaystyle n}$En un espacio de -dimensiones, una función gaussiana puede definirse como $${\displaystyle f(x)=\exp \left(-x^{\mathsf {T}}Cx\right),}$$ dónde${\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}}$es una columna de${\displaystyle n}$coordenadas,${\displaystyle C}$es un positivo definido${\displaystyle n\times n}$matriz y${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$denota transposición de matriz .

La integral de esta función gaussiana sobre todo${\displaystyle n}$El espacio -dimensional se da como $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp \left(-x^{\mathsf {T}}Cx\right)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det C}}}.}$$

Se puede calcular fácilmente diagonalizando la matriz.${\displaystyle C}$y cambiando las variables de integración a los autovectores de${\displaystyle C}$.

De forma más general, una función gaussiana desplazada se define como $${\displaystyle f(x)=\exp \left(-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x\right),}$$ dónde${\displaystyle s={\begin{bmatrix}s_{1}&\cdots &s_{n}\end{bmatrix}}}$es el vector de desplazamiento y la matriz${\displaystyle C}$se puede suponer que es simétrico,${\displaystyle C^{\mathsf {T}}=C}$y definida positiva. Las siguientes integrales con esta función se pueden calcular con la misma técnica: $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det {C}}}}\exp \left({\tfrac {1}{4}}v^{\mathsf {T}}C^{-1}v\right)\equiv {\mathcal {M}}.}$$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\left(a^{\mathsf {T}}x\right)\,dx=\left(a^{\mathsf {T}}u\right)\cdot {\mathcal {M}},{\text{ where }}u={\tfrac {1}{2}}C^{-1}v.}$$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\left(x^{\mathsf {T}}Dx\right)\,dx=\left(u^{\mathsf {T}}Du+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(DC^{-1}\right)\right)\cdot {\mathcal {M}}.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}C'x+s'^{\mathsf {T}}x}\left(-{\frac {\partial }{\partial x}}\Lambda {\frac {\partial }{\partial x}}\right)e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x}\,dx\\&\qquad =\left(2\operatorname {tr} \left(C'\Lambda CB^{-1}\right)+4u^{\mathsf {T}}C'\Lambda Cu-2u^{\mathsf {T}}\left(C'\Lambda s+C\Lambda s'\right)+s'^{\mathsf {T}}\Lambda s\right)\cdot {\mathcal {M}},\end{aligned}}}$$ dónde $${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}B^{-1}v,\quad v=s+s',\quad B=C+C'.}$$

Varios campos, como la fotometría estelar , la caracterización de haces gaussianos y la espectroscopia de líneas de emisión/absorción, trabajan con funciones gaussianas muestreadas y necesitan estimar con precisión los parámetros de altura, posición y anchura de la función. Hay tres parámetros desconocidos para una función gaussiana unidimensional ( a , b , c ) y cinco para una función gaussiana bidimensional.${\displaystyle (A;x_{0},y_{0};\sigma _{X},\sigma _{Y})}$.

El método más común para estimar los parámetros gaussianos es tomar el logaritmo de los datos y ajustar una parábola al conjunto de datos resultante. ^{[ 7 ] [ 8 ]} Si bien esto proporciona un procedimiento simple de ajuste de curvas , el algoritmo resultante puede estar sesgado al ponderar excesivamente los valores de datos pequeños, lo que puede producir grandes errores en la estimación del perfil. Se puede compensar parcialmente este problema mediante la estimación de mínimos cuadrados ponderados , reduciendo el peso de los valores de datos pequeños, pero esto también puede estar sesgado al permitir que la cola de la gaussiana domine el ajuste. Para eliminar el sesgo, se puede utilizar un procedimiento de mínimos cuadrados reponderados iterativamente , en el que los pesos se actualizan en cada iteración. ^{[ 8 ]} También es posible realizar una regresión no lineal directamente sobre los datos, sin involucrar la transformación logarítmica de los datos ; para más opciones, consulte el ajuste de la distribución de probabilidad .

Se puede solicitar un análogo discreto de la gaussiana; esto es necesario en aplicaciones discretas, particularmente en el procesamiento de señales digitales . Una respuesta sencilla consiste en muestrear la gaussiana continua, obteniendo así el núcleo gaussiano muestreado . Sin embargo, esta función discreta no posee las propiedades análogas a las de la función continua y puede generar efectos indeseados, como se describe en el artículo sobre la implementación en el espacio de escala .

Un enfoque alternativo es utilizar el núcleo gaussiano discreto : ^{[ 11 ]}$${\displaystyle T(n,t)=e^{-t}I_{n}(t)}$$ dónde${\displaystyle I_{n}(t)}$denota las funciones de Bessel modificadas de orden entero.

Este es el análogo discreto de la gaussiana continua, ya que es la solución de la ecuación de difusión discreta (espacio discreto, tiempo continuo), al igual que la gaussiana continua es la solución de la ecuación de difusión continua. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

Las funciones gaussianas aparecen en muchos contextos de las ciencias naturales , las ciencias sociales , las matemáticas y la ingeniería . Algunos ejemplos incluyen:

• En estadística y teoría de la probabilidad , las funciones gaussianas aparecen como la función de densidad de la distribución normal , que es una distribución de probabilidad límite de sumas complicadas, según el teorema del límite central .
• Las funciones gaussianas son la función de Green para la ecuación de difusión (homogénea e isotrópica) (y para la ecuación del calor , que es lo mismo), una ecuación diferencial parcial que describe la evolución temporal de una densidad de masa bajo difusión . Específicamente, si la densidad de masa en el tiempo t = 0 está dada por una delta de Dirac , lo que esencialmente significa que la masa está inicialmente concentrada en un solo punto, entonces la distribución de masa en el tiempo t estará dada por una función gaussiana, con el parámetro a relacionado linealmente con 1 / √ t y c relacionado linealmente con √ t ; esta gaussiana variable en el tiempo está descrita por el núcleo de calor . Más generalmente, si la densidad de masa inicial es φ ( x ), entonces la densidad de masa en tiempos posteriores se obtiene tomando la convolución de φ con una función gaussiana. La convolución de una función con una gaussiana también se conoce como transformada de Weierstrass .
• Una función gaussiana es la función de onda del estado fundamental del oscilador armónico cuántico .
• Los orbitales moleculares utilizados en química computacional pueden ser combinaciones lineales de funciones gaussianas llamadas orbitales gaussianos (véase también conjunto de bases (química) ).
• Matemáticamente, las derivadas de la función gaussiana se pueden representar mediante funciones de Hermite . Para una varianza unitaria, la n -ésima derivada de la gaussiana es la propia función gaussiana multiplicada por el n -ésimo polinomio de Hermite , hasta cierto punto.
• En consecuencia, las funciones gaussianas también están asociadas con el estado de vacío en la teoría cuántica de campos .
• Los haces gaussianos se utilizan en sistemas ópticos, sistemas de microondas y láseres.
• En la representación del espacio de escalas , las funciones gaussianas se utilizan como núcleos de suavizado para generar representaciones multiescala en visión artificial y procesamiento de imágenes . En concreto, las derivadas de las gaussianas ( funciones de Hermite ) se utilizan como base para definir un gran número de tipos de operaciones visuales.
• Las funciones gaussianas se utilizan para definir algunos tipos de redes neuronales artificiales .
• En la microscopía de fluorescencia se utiliza una función gaussiana bidimensional para aproximar el disco de Airy , que describe la distribución de intensidad producida por una fuente puntual .
• En el procesamiento de señales, sirven para definir filtros gaussianos , como en el procesamiento de imágenes , donde se utilizan gaussianas 2D para desenfoques gaussianos . En el procesamiento digital de señales , se utiliza un núcleo gaussiano discreto , que puede aproximarse mediante el coeficiente binomial ^{[ 13 ]} o muestreando una gaussiana.
• En geoestadística se han utilizado para comprender la variabilidad entre los patrones de una imagen de entrenamiento compleja . Se utilizan con métodos de kernel para agrupar los patrones en el espacio de características. ^{[ 14 ]}

• Función en forma de campana
• Distribución de Cauchy
• Distribución normal
• Núcleo de función de base radial

• Haberman, Richard (2013). "10.3.3 Transformada inversa de Fourier de una gaussiana". Ecuaciones diferenciales parciales aplicadas . Boston: PEARSON. ISBN 978-0-321-79705-6.

• Mathworld incluye una demostración de las relaciones entre c y FWHM.
• "Integrando la curva de campana" . MathPages.com .
• Implementación de la distribución gaussiana en Haskell, Erlang y Perl
• Bensimhoun Michael, Función acumulativa N -dimensional y otros datos útiles sobre gaussianas y densidades normales (2009)
• Código para ajustar funciones gaussianas en ImageJ y Fiji.