Función en forma de campana

Una función en forma de campana, o simplemente «curva de campana», es una función matemática que presenta una curva característica en forma de campana . Estas funciones suelen ser continuas o suaves, tienden asintóticamente a cero para valores grandes de x (positivos o negativos) y tienen un único máximo unimodal para valores pequeños de x. Por lo tanto, la integral de una función en forma de campana suele ser una función sigmoide . Además, las funciones en forma de campana suelen ser simétricas.

Muchas funciones de distribución de probabilidad comunes son curvas de campana.

Algunas funciones con forma de campana, como la función gaussiana y la distribución de probabilidad de Cauchy , pueden utilizarse para construir secuencias de funciones con varianza decreciente que se aproximan a la distribución delta de Dirac . ^{[ 1 ]} De hecho, la delta de Dirac puede considerarse, a grandes rasgos, como una curva de campana con varianza que tiende a cero.

Algunos ejemplos incluyen:

• Función gaussiana , la función de densidad de probabilidad de la distribución normal . Esta es la función arquetípica en forma de campana y se encuentra frecuentemente en la naturaleza como consecuencia del teorema del límite central .

${\displaystyle f(x)=ae^{-(xb)^{2}/(2c^{2})}}$

• Función generalizada en forma de campana de pertenencia a lógica difusa ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+\left|{\frac {xc}{a}}\right|^{2b}}}}$

• Secante hiperbólica . Esta es también la derivada de la función de Gudermann .

${\displaystyle f(x)=\operatorname {sech} (x)={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}$

• La función de densidad de probabilidad de la distribución de Cauchy es también una versión escalada de la derivada de la función arcotangente .

${\displaystyle f(x)={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}}$

• Función de golpe

${\displaystyle \varphi _{b}(x)={\begin{cases}\exp {\frac {b^{2}}{x^{2}-b^{2}}}&|x|<b,\\0&|x|\geq b.\end{cases}}}$

• Tipo de coseno elevado como la distribución de coseno elevado o el filtro de coseno elevado

${\displaystyle f(x;\mu ,s)={\begin{cases}{\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\pi \right)\right]&{\text{para }}\mu -s\leq x\leq \mu +s,\\[3pt]0&{\text{en otro caso.}}\end{cases}}}$

• La mayoría de las funciones de la ventana son similares a las de la ventana Kaiser.

• La derivada de la función logística . Esta es una versión escalada de la derivada de la función tangente hiperbólica .

${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}}}$

• Algunas funciones algebraicas . Por ejemplo

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{(1+x^{2})^{3/2}}}}$

• Algunas funciones logarítmicas . Por ejemplo

${\displaystyle f(x)=\log {\frac {x^{2}+e}{x^{2}+1}}.}$

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  sech( x ) (en azul)
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  La bruja de Agnesi
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  φ _b para b = 1
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  PDF de coseno elevado
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  Ventana Kaiser